現(xiàn)象教學(xué)視域下提升高階思維能力的課堂探究

《21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究》指出，培養(yǎng)與提升學(xué)生的高階思維能力是目前乃至未來(lái)較長(zhǎng)時(shí)間的重要教育目標(biāo).[1高階思維的形成不是自然發(fā)生的，是面對(duì)“真實(shí)世界的困惑”和“復(fù)雜的問(wèn)題情境”形成的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造能力.高階思維的發(fā)展具有一定的復(fù)雜性與不確定性，在培養(yǎng)目標(biāo)上表現(xiàn)為問(wèn)題解決、思辨能力、批判性思維等能力的綜合，在深度學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決等學(xué)習(xí)活動(dòng)中呈現(xiàn)螺旋上升式發(fā)展（如圖1）.

以促進(jìn)學(xué)習(xí)者高階思維發(fā)展為目標(biāo)指向的教學(xué)活動(dòng)與課程學(xué)習(xí)，是實(shí)現(xiàn)高階思維培養(yǎng)的有效方式.本文以人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》第八章“祖恒原理與柱體、錐體的體積”為例，首先，引導(dǎo)學(xué)生體悟不規(guī)則幾何體體積求解的困難，感受千百年來(lái)中外數(shù)學(xué)家定量研究不規(guī)則幾何體的困難，幫助學(xué)生親歷思維遷移和化歸的過(guò)程；其次，通過(guò)類比，將二維平面中不規(guī)則平面多邊形面積相等的條件遷移到三維空間中不規(guī)則幾何體體積相等的結(jié)論，理解祖恒原理，深度學(xué)習(xí)柱體、錐體體積公式的證明和推理，引導(dǎo)學(xué)生自主探究牟合方蓋，掌握將復(fù)雜幾何體體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的組合體體積問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模方法，實(shí)現(xiàn)從記憶、理解、應(yīng)用為主的低階思維到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造為主的高階思維提升的目標(biāo).[2]

1案例教學(xué)過(guò)程

1.1反思已有經(jīng)驗(yàn)，生成數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題1請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你學(xué)過(guò)哪些平面幾何圖形的面積公式？

生：矩形、正方形、梯形、菱形、平行四邊形、三角形、圓形、扇形.

師：長(zhǎng)方形的面積公式是小學(xué)三年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，定義一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的面積為1，長(zhǎng)方形面積公式為 S=ab，a，b 代表的是長(zhǎng)和寬分別為 a 和b 個(gè)單位長(zhǎng)度.為什么我們?cè)谶@里要強(qiáng)調(diào) a 和 b 的意義？在物理學(xué)、化學(xué)等自然學(xué)科中這樣的定義是很常見的，如質(zhì)量量值以保存在法國(guó)國(guó)際計(jì)量局的鉑銥合金千克原器實(shí)物為唯一基準(zhǔn)器，質(zhì)量為 ψ_m 的物體指的是質(zhì)量為 ψ_m 個(gè)單位質(zhì)量.等底等高的矩形和平行四邊形的面積是什么關(guān)系？

生：相等.

師：為什么相等？你們是如何得到相等這個(gè)結(jié)論的？能否證明？

師：平行四邊形、三角形、梯形這些規(guī)則圖形我們可以通過(guò)切割和補(bǔ)形的方式構(gòu)造成規(guī)則圖形進(jìn)行面積的求解，如果是不規(guī)則的平面多邊形我們應(yīng)該如何求解面積？我們動(dòng)手操作一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，

實(shí)驗(yàn)探究：在白紙上畫兩條平行直線，每位同學(xué)從筆盒里取一支筆（把筆看成固定長(zhǎng)度的一條線）在兩平行直線之間移動(dòng)可以形成什么樣的圖形？

（1）如果沿垂直于兩條平行直線的方向移動(dòng)，筆所形成的軌跡是矩形，

（2）如果筆與平行直線形成一個(gè)夾角（不等于90^°. ），沿著與實(shí)驗(yàn)步驟（1）同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離所形成的軌跡是一個(gè)普通的平行四邊形；不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形與實(shí)驗(yàn)步驟（1）所得到的矩形是等底等高的關(guān)系，通過(guò)切割能夠發(fā)現(xiàn)兩個(gè)平面圖形的面積相等.

（3）如果我們可以拿筆在兩平行直線之間保持向上運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)隨意移動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)如何移動(dòng)所形成的軌跡圖形面積最大？隨機(jī)移動(dòng)得到的不規(guī)則圖形面積與平行四邊形和矩形的面積有什么關(guān)系？

問(wèn)題2通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)?zāi)隳軌虻玫绞裁唇Y(jié)論？能否用語(yǔ)言描述你得到的結(jié)論？這個(gè)結(jié)論可以幫助你解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究得到以下結(jié)論：夾在兩平行直線中的兩個(gè)平面圖形，被平行于這兩直線的任意直線所截，如果截得的兩線段的長(zhǎng)度相等，那么這兩個(gè)圖形的面積相等.

師：進(jìn)一步思考，如果把“任意”兩個(gè)字省略，結(jié)論是否依然成立？圓形的面積公式能否應(yīng)用這一結(jié)論進(jìn)行證明？我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論可以幫助我們將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形面積進(jìn)行求解，能否將這一結(jié)論從二維平面推廣到三維空間？

【設(shè)計(jì)意圖】教師以學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察生活現(xiàn)象[3]，反思已有的生活經(jīng)驗(yàn)，生成數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手操作感知?jiǎng)狱c(diǎn)成線、動(dòng)線成面得到等面積原理并充分理解這一結(jié)論，從二維平面拓展到三維空間可以幫助學(xué)生更好地理解祖原理.學(xué)生普遍知道等底等高的平行四邊形的面積相等，也知道三角形、梯形、圓形和扇形的面積公式，但并不會(huì)證明，不知道為什么.追問(wèn)學(xué)生能否證明，不是讓學(xué)生證明，而是引導(dǎo)學(xué)生思考圓的面積是通過(guò)微分的思想轉(zhuǎn)化為矩形的面積，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引起學(xué)生持續(xù)思考.

1.2類比遷移獲新知，提升思辨思維

師：觀察講臺(tái)上的一擦?xí)?，?dāng)我們改變書的擺放方式（如圖2），這擦?xí)捏w積是否會(huì)因?yàn)閿[放方式的變化發(fā)生改變？由此現(xiàn)象你能否得到有關(guān)幾何體體積的什么結(jié)論？

生：體積不變.

師：擺放的方式發(fā)生了變化，為什么你們認(rèn)為體積沒有發(fā)生變化？我們是如何定義幾何體體積的？

生：一個(gè)幾何體所占空間的大小稱為幾何體的體積，擺放的方式雖然發(fā)生了變化，幾何體本身沒有發(fā)生變化.

師：我們?cè)谛W(xué)階段學(xué)習(xí)過(guò)長(zhǎng)方體和正方體的體積，類比長(zhǎng)方形的面積，我們定義一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體的體積為1，長(zhǎng)方體體積公式 V=abc 中的 a 、b，c 代表的是長(zhǎng)、寬、高分別為 a，b，c 個(gè)單位長(zhǎng)度.在小學(xué)階段我們也學(xué)習(xí)了圓柱體的體積公式 V= πr²h ，你能否根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)圓柱體的體積？

學(xué)生搖頭.

師：我們知道動(dòng)點(diǎn)成線、動(dòng)線成面，那么移動(dòng)平面能夠構(gòu)成空間幾何體.類比我們?cè)诙S平面中的等面積實(shí)驗(yàn)探究出的結(jié)論推廣到三維空間中，應(yīng)該如何表述？

生：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體體積相等.

師：推廣到三維空間的結(jié)論我們能否設(shè)計(jì)一個(gè)定量實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證我們的猜想？

實(shí)驗(yàn)探究：一累書的擺放我們?cè)跍y(cè)量體積的過(guò)程中會(huì)有一些困難.我們可以取三十枚硬幣、一個(gè)量筒、水（十枚硬幣為一組），根據(jù)阿基米德原理來(lái)測(cè)量硬幣的體積. ① 十枚硬幣為一組豎直擺放成圓柱并用細(xì)線固定，量筒中注入 50mL 清水，緩慢將硬幣完全浸入清水中，液面穩(wěn)定后讀取數(shù)據(jù)，得到硬幣的體積并記錄下來(lái)； ② 十枚硬幣為一組沿一個(gè)方向形成一個(gè)柱體用細(xì)線固定，量筒中注入 50mL 清水，緩慢將硬幣完全浸人清水中，液面穩(wěn)定后讀取數(shù)據(jù)，得到硬幣的體積并記錄下來(lái)； ③ 十枚硬幣一枚一枚緩慢放入注入 50mL 清水的量筒中，液面穩(wěn)定后讀取數(shù)據(jù)，得到硬幣的體積并記錄下來(lái).

比較三次測(cè)量的數(shù)據(jù)并驗(yàn)證猜想，

師：這個(gè)結(jié)論我們稱為等體積原理，其實(shí)小學(xué)階段我們已經(jīng)應(yīng)用了“祖晅原理”推導(dǎo)圓柱的體積（如圖3）.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖恒在推導(dǎo)球體積公式的過(guò)程中提出“冪勢(shì)相同，則積不容異\"（祖晅原理），其中“冪\"是水平截面的面積，“勢(shì)”是高，“積”是體積，這就是我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究的空間等積原理.意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（B.Cavalieri）也在17世紀(jì)給出了相同的結(jié)論，比祖晅晚了1100多年.祖晅原理可以幫助你解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：我們可以將不熟悉的幾何體體積轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何體體積.

師：你們能不能運(yùn)用“祖恒原理”解釋一擦?xí)鴶[放方式不同，體積沒有發(fā)生改變的現(xiàn)象？

生： ① 書本的高度沒有發(fā)生變化（高不變）； ② 同一層上每頁(yè)紙大小一樣（截面面積相等）； ③ 每層與放書本的桌面平行（平行底面）.

【設(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題設(shè)置在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)，有利于遷移學(xué)習(xí)的發(fā)生.運(yùn)用已有的“等面積原理\"來(lái)學(xué)習(xí)“等體積原理”，兩個(gè)原理高度相似，而核心內(nèi)容中的“兩平行直線\"換成“兩平行平面”“長(zhǎng)度相等的平行線段\"換成“面積相等的平行截面\"的變化都是一維轉(zhuǎn)化為二維，這種變化本身也是相似的，通過(guò)這種相似性的遷移可以達(dá)到遷移學(xué)習(xí)的目的，達(dá)到是舉一反三的效果.

1.3體悟祖晅原理，延伸問(wèn)題解決能力

問(wèn)題3回顧“祖晅原理\"推導(dǎo)圓柱體積的過(guò)程，等底等高柱體的體積是什么關(guān)系？能否用祖恒原理進(jìn)行解釋？

生：柱體可以理解為底面各點(diǎn)沿相同方向移動(dòng)相同距離所形成的幾何體，底面面積相等的柱體，用平行于底面的平面所截的截面積相等，符合祖原理.等底等高的柱體體積相等，轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求柱體的體積.若柱體底面積為S，高為 h ，則體積 V=Sh

問(wèn)題4等底等高的錐體體積相等嗎？能否用祖恒原理解釋？錐體轉(zhuǎn)化成怎樣的特殊幾何體求體積呢？能否直接驗(yàn)證錐體體積是等底等高的柱體體積的？

生：圖4中的三棱錐和圓錐是兩個(gè)等底等高的錐體，用平行于底面的平面截取兩個(gè)幾何體，所截平面圖形均與底面相似. ，所以 S₁=S₂ .符合祖晅原理，所以等底等高的錐體體積相等.

如圖5所示，與三棱錐等底等高的三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 可以切割成三個(gè)三棱錐 C₁-ABC 、 C₁ 1A₁AB、C₁–A₁B₁B. 三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，對(duì)角線平分三棱柱側(cè)面面積，所以Vc1-ABC=VB-ACC，V_C1-A1AB=V_B-A1C1A ，即 V_B°AC1C=V_B°A1C1A .同理V_C1-A1B1B=V_C1-A1AB .因此， V_?B-AC1C=V_?B-A1C1A=

因?yàn)殄F體都可以轉(zhuǎn)化為等底等高的三棱錐，等底等高的錐體體積相等，是與它等底等高的柱體體積的 ，所以

生：我們?cè)谛W(xué)六年級(jí)做過(guò)容積實(shí)驗(yàn)，用等底等

高的圓柱和圓錐的容器裝滿細(xì)沙或者裝滿水，驗(yàn)證

過(guò)錐體體積是等底等高的柱體體積的 業(yè)

問(wèn)題5結(jié)合等面積原理推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形面積公式的過(guò)程，你能否類比猜想柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式是否具有類似的關(guān)系？如何推導(dǎo)臺(tái)體體積公式？你能否結(jié)合祖恒原理推導(dǎo)球體的體積？

生：臺(tái)體是用一個(gè)平行于某錐體底面的平面去截該錐體，底面與截面之間的部分稱為臺(tái)體.錐體體積滿足祖晅原理，所以等底等高的臺(tái)體體積也相等.

師：我們將半個(gè)球放在桌面上，用平行于桌面且高度為 h 的平面截取半球的截面面積為 S=π（R²- h²）=πR²-πh² ，根據(jù)祖恒原理，我們需要構(gòu)造一個(gè)怎么樣的幾何體滿足和半球等高且高度為 h 處的截面面積為 S=πR²-πh² ，如圖6所示，本質(zhì)是一個(gè)環(huán)形.

生：一個(gè)和半球等底等高的圓柱去掉一個(gè)等底等高的錐體符合要求.半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，所以 V_??=2（V_??-V_??）= （204

問(wèn)題6觀察祖恒原理的條件，如果將“截面面積相等”改成“截面面積成比例”，那么兩個(gè)幾何體的體積又有怎么變化？

生：兩個(gè)等高的幾何體在等高處的水平截面的面積之比等于它的體積之比

延伸探究：夏季到了，我們用兩個(gè)半圓支蚊帳，請(qǐng)各小組利用祖晅原理探究半徑為 R 的蚊帳內(nèi)的空間.

進(jìn)一步探究：能否結(jié)合球體積公式的思想探究橢球的體積公式？

【設(shè)計(jì)意圖】思維的過(guò)程是面對(duì)真實(shí)世界探索的序列鏈.這一思維過(guò)程從反思到探究，再到批判性思維，最后生成更具體的“可以推導(dǎo)分析的結(jié)論”.高階思維的提升是教師開展課堂教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)無(wú)法提供問(wèn)題解決的方案，但具備可延伸與遷移性特征.而“解決方案的需要”，維持和引導(dǎo)著反思性思維的整個(gè)過(guò)程

2 回顧與反思

2.1高階思維的教學(xué)組織要關(guān)注繼承與創(chuàng)新

阿基米德、劉徽、祖沖之父子、卡瓦列里等古今中外的數(shù)學(xué)家在完善不規(guī)則幾何體體積求解的道路上，都經(jīng)歷了繼承與創(chuàng)新.提升思維水平的教學(xué)應(yīng)以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的組織從學(xué)生熟悉的平面圖形出發(fā)，回顧平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，尋找面積公式的共性.通過(guò)等底等高的矩形面積與平行四邊形面積相等，生成“等面積原理”的猜想，深入分析“等面積原理”的核心條件，類比遷移生成“等體積原理”（祖恒原理）.通過(guò)任務(wù)鏈的方式引導(dǎo)學(xué)生自主探索，引發(fā)認(rèn)知沖突.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探索新知過(guò)程所得到的猜想進(jìn)行歸納闡述和分析論證，搭建新舊知識(shí)之間的橋梁，完善已有知識(shí)體系.高階思維的提升不僅體現(xiàn)在新知的生成方面，還體現(xiàn)在對(duì)已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的批判性分析和深度思考上.

2.2高階思維的教學(xué)內(nèi)容要重視解構(gòu)與再構(gòu)

“解構(gòu)”概念源于德國(guó)哲學(xué)家海德格爾（M.Heidegger）的著作《存在與時(shí)間》中的“deconstruction”一詞，原意為分解、消解、拆解、揭示等.[4“解構(gòu)”一詞由錢鐘書先生翻譯，或譯為“結(jié)構(gòu)分解”.在教學(xué)過(guò)程中用于對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)背后蘊(yùn)含的觀點(diǎn)、內(nèi)涵、外延、價(jià)值進(jìn)行分解.本節(jié)課將等面積原理的兩個(gè)核心條件進(jìn)行解構(gòu)：等高（夾在兩平行直線間）和等底（被平行于這兩平行直線的任意直線所截得的兩線段的長(zhǎng)度總相等）.重新認(rèn)識(shí)平行四邊形、三角形、梯形的面積，拓展理解圓的面積，類比遷移得到等體積原理（祖恒原理）的兩個(gè)核心條件：等高（夾在兩平行平面間）和等底（被平行于這兩平行平面間的任意平面所截得的截面面積總相等）.

傳統(tǒng)課堂教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的問(wèn)題聚焦具有“孤立、封閉、結(jié)構(gòu)良好\"特征的典型例題，在很大程度上忽略了與真實(shí)世界的聯(lián)系，拘泥于新舊知識(shí)內(nèi)容的串聯(lián)與重組，難以引發(fā)思維沖突.教師應(yīng)設(shè)計(jì)開放性問(wèn)題來(lái)重新構(gòu)建教學(xué)內(nèi)容并引領(lǐng)學(xué)生自主開展反思、批判、創(chuàng)新等思維活動(dòng)，促進(jìn)高階思維的培養(yǎng)，

2.3高階思維的課堂評(píng)價(jià)要重視過(guò)程

高階思維是一種包含了創(chuàng)造、分析、綜合、關(guān)系建立和元認(rèn)知等一系列認(rèn)知成分的復(fù)雜思維過(guò)程，傳統(tǒng)測(cè)驗(yàn)很難適配高階思維的評(píng)價(jià).基于這些以記憶、理解、應(yīng)用為主的低階思維水平問(wèn)題，如“半徑為5的球體的體積” 1，求-+ 2b的最小值”，教師有必要去總結(jié)什么樣的任務(wù)適合用來(lái)評(píng)價(jià)高階思維.

首先，任務(wù)的性質(zhì)不應(yīng)是選擇、判斷、簡(jiǎn)答等限制性問(wèn)題.這類問(wèn)題通常傾向于在封閉的、有限的答案范圍內(nèi)讓學(xué)生做出回答，學(xué)生調(diào)用的知識(shí)技能有限，往往以單元內(nèi)或者學(xué)科內(nèi)的知識(shí)為基礎(chǔ)進(jìn)行分析與整合，距離知識(shí)的遷移和抽象擴(kuò)展的要求存在顯著差距.高階思維的課堂評(píng)價(jià)應(yīng)體現(xiàn)出學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)技能形成原創(chuàng)性的成果，如論文、調(diào)查報(bào)告、小課題、實(shí)踐作業(yè)設(shè)計(jì)等.其次，從任務(wù)的結(jié)構(gòu)來(lái)看，適合評(píng)價(jià)高階思維的問(wèn)題應(yīng)具有開放性或結(jié)構(gòu)不良等特征，即解決問(wèn)題所需的條件具有發(fā)散性（創(chuàng)造性），需要學(xué)生與問(wèn)題情境進(jìn)行交互和理解，如任務(wù)問(wèn)題“如何用神奇的‘牟合方蓋'計(jì)算球體體積”“談?wù)剰?fù)數(shù)與平面向量之間的區(qū)別與聯(lián)系”.問(wèn)題的本質(zhì)決定了思考的結(jié)果，思考的結(jié)果控制著思維的過(guò)程.

3結(jié)語(yǔ)

提升高階思維是當(dāng)下課堂教學(xué)改革的重要趨勢(shì).目前相關(guān)研究多聚焦于高階思維的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、發(fā)生機(jī)制等，缺少對(duì)于如何開展提升高階思維的課堂教學(xué)實(shí)踐的研究.本研究通過(guò)現(xiàn)象教學(xué)視域下提升高階思維的實(shí)踐研究，從具體案例出發(fā)，呈現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中提升高階思維的詳細(xì)步驟，旨在某種程度上能夠深化學(xué)界對(duì)于高階思維的認(rèn)識(shí)，同時(shí)能為廣大一線教師提供實(shí)踐案例參考.由于時(shí)間及能力限制，本研究給出的教學(xué)建議尚屬探索性成果，期待有更多的研究能深入課堂教學(xué)中，不斷優(yōu)化和完善在課堂教學(xué)中提升高階思維的方法，從而真正推動(dòng)課程教學(xué)改革，促進(jìn)人才培養(yǎng)質(zhì)量的提升，

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