一類經(jīng)典的素變數(shù)混合次冪丟番圖不等式問題研究

中圖分類號(hào)：O156.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

A Study on a Class of Classical Diophantine Inequality Problems with Prime Variable Mixed Powers

LI Meng （College of Mathematics and Statistics， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 45O046，China）

Abstract：In this paper，the Davenport-Heilbronn method was used to prove the exceptional set problem of the mixed power variable Diophantine inequality with exponents 2，2，3，3，4 4.Letλ ¹ ， λ₂，…，λ₆ be non-zero real numbers，not all negative， δgt;0 . Then for any εgt;0 and z∈V ， ，the number of v for which the inequality +λ₆p₆⁴-v|-δ has no prime solutions ρ₁，ρ₂，…，ρ₆ is at most ：

Key words：Diophantine inequality; prime;Davenport-Heilbronn method; exceptional set

0引言

在數(shù)論領(lǐng)域，丟番圖逼近和素?cái)?shù)論是兩個(gè)重要的研究方向，很多解析數(shù)論學(xué)者對(duì)此進(jìn)行深入研究并取得相應(yīng)成果.1996年，BRUDERNJ等[]首先研究了素變數(shù)雙線型的例外集問題.蔡迎春[2]和王玉超[3]對(duì)此做了進(jìn)一步的改進(jìn).2001年，COOKRJ等[4研究了二次素變數(shù)丟番圖不等式的例外集問題.HARMAN G^[5] 對(duì)此做了進(jìn)一步改進(jìn).近些年來，COOKKJ[，LIW P等[7]，李偉平等[8]和MUQW等[9]還研究證明了一些有關(guān)素變數(shù)混合次冪的相關(guān)問題.為了便于研究，首先引入一個(gè)良好間隔的定義.如果存在正常數(shù) ∣cgt;0 ，使得對(duì) V 中任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)u，v ，都有 |u-v|gt;c ，遞增的正實(shí)數(shù)序列 V 稱為具有良好間隔的序列.

設(shè) λ₁，λ₂，…，λ₆ 為不全為負(fù)的非零實(shí)數(shù)，λ₁/λ₂ 是代數(shù)數(shù)和無理數(shù)， V 是具有良好間隔的序列， δgt;0 .設(shè) ε（V，X，δ） 表示使素變數(shù)不等式∣λ₁?₁²+λ₂?₂²+λ₃?₃³+λ₄?₄³+λ₅?₅⁴+λ₆?₆⁴-v∣ -δ 無素?cái)?shù)解 ρ₁°₂…，ρ₆ 的 v∈V 且 v?X 的集合．對(duì)于任意 εgt;0 ，令 E（V，X，δ）= 一 $＼textbf { ＼^ { ＼varepsilon } } （ V ， X ， ＼delta ） ＼ |$ ，當(dāng) λ₁/λ₂ 是代數(shù)數(shù)和無理數(shù)時(shí)，2022 年，劉華峰等[10]證明了 E（V，X，δ）?

在此基礎(chǔ)上，本文主要利用KUMCHEVAV^[11] 處理余區(qū)間的思路，結(jié)合文獻(xiàn)[12]中的方法，進(jìn)一步改進(jìn)了結(jié)果，得到以下定理.

定理1設(shè) λ₁，λ₂，…，λ₆ 為不全為負(fù)的非零實(shí)數(shù)， λ₁/λ₂ 是代數(shù)數(shù)和無理數(shù)， V 是具有良好間隔的序列， ，那么對(duì)于任意的 X?1 和εgt;0 ，有

定理2 設(shè) λ₁，λ₂，…，λ₆ 為不全為負(fù)的非零實(shí)數(shù)， λ₁/λ₂ 為無理數(shù)， V 是具有良好間隔的序列， 那么對(duì)任意 εgt;0 ，存在一個(gè)序列 X_j ∞ ，滿足

此外，如果無理數(shù) λ₁/λ₂ 的有理逼近分?jǐn)?shù)序列的分母 q_j 滿足

q_j+1^1-ω?q_j，

其中 ω∈{0，1） ，則對(duì)任意 X?1 和 εgt;0 ，有

其中

1符號(hào)和方法概要

本文中的 Σ_P 有或沒有下標(biāo)都表示素?cái)?shù)，字母h 表示整數(shù)， δ 表示正常數(shù)， O 是Landau符號(hào)， ? 和 ? 是Vinogradov符號(hào)，其中 Landau和Vinogradov符號(hào)中的常數(shù)僅僅依賴于 λ₁，…，λ₆ ，ε 表示任意小的正實(shí)數(shù)，在不同的位置取值不同.記

首先，遵循Davenport和 Heilbronn對(duì)Hardy-Littlewood圓法的修改，假設(shè) X 是一充分大的正數(shù)， 0lt;τlt;1 ，令函數(shù)

其中

由文獻(xiàn)[2]易知

K_τ（α）?min（τ²，∣α∣^-2），

f（x）=max（0，τ-|x|）.

設(shè)區(qū)間

對(duì)于 j=1，2;k=3，4;l=5，6 ，定義

為方便起見，對(duì)于任意可測(cè)量子集 X?R ，設(shè)

F（v，X;X）=

S₃（λ₃α）S₃（λ₄α）S₄（λ₅α）

由式（2）易知

τ-|λ₁p₁²+λ₂p₂²+

其中 N（v，X） 表示不等式

的素?cái)?shù)解 ρ₁，…，ρ₆ 的 υ 的個(gè)數(shù).

為了估計(jì)式（6）左邊的積分，將實(shí)數(shù)區(qū)間，劃分為3部分：

M={α：∣α∣??}，

m={α：?lt;|α|?ξ}，t={α：|α|gt;ξ} 分別稱之為主區(qū)間、余區(qū)間和平凡區(qū)間，其中 ?= .即

2 預(yù)備引理

引理 1^[13] 設(shè) k?1 是一實(shí)數(shù)，對(duì)任意固定實(shí)數(shù) A?6 ，有

引理 2^[1] 設(shè) ，若∣S₂（λ₂α）∣gt;Z₂ ，則存在互素的兩個(gè)整數(shù) a₂，q₂ ，滿足

引理 3^[14] （204 設(shè) ，若∣S₃（λ₃α）∣gt;Z₃ ，存在兩個(gè)互素整數(shù) a₃?q₃ 滿足

引理 4^[15] （204號(hào) 設(shè) α 是實(shí)數(shù)，存在整數(shù) a，q?1 滿足

（a，q）=1，∣qα-a∣-1.

對(duì)于任意實(shí)數(shù) εgt;0 ，正整數(shù) k?2 ，有

推論1 設(shè) ，有

證明 在式（1）中，取 q=[|λα|^-1] ， a=1 滿足 ∣qλα-a∣-1 .此時(shí) ，由引理4及 S₄（λα） 的定義知， ∣S₄（λα）∣? ，證畢.

引理 5^[13] 對(duì)于任意正整數(shù) m，1?m?k ，2?k?4 ，有

引理6[17] 對(duì)于任意的 εgt;0 ，有

引理7 設(shè) λ₃ 和 λ₄ 是非零常數(shù)， ?₃ 和 ?₄ 是素?cái)?shù)， α₃ 和 q₃ 是整數(shù)， ，定義

當(dāng) l=3，4 時(shí)，有

證明 利用文獻(xiàn)[17]中的方法，通過變量替換，證明 λ₃=1 的情形.設(shè) ，定義區(qū)間

定義函數(shù)

V₃（α） 是定義在 α∈（Q₃X^-1，1+Q₃X^-1] ，周期為1的一個(gè)分段函數(shù)，其中 （a₃，q₃）=1，1?a₃? q₃?Q₃ .令 β₃^′ 是所有區(qū)間 β₃^′（q₃?，a₃） 的并集，在1?q₃?Q₃，a₃∈Z 且 （a₃，q₃）=1 條件下， β₃^*= β₃^′∪z 是所有區(qū)間 β₃^′（q₃，a₃） 的并集，從而有

β（Z₃）?β₃^*.

當(dāng) α∈β（Z₃） ，由引理3和式（8），有

其中

v=λ₃p₃³-λ₄p₄³.

由文獻(xiàn)[17]有

得

注意當(dāng) X∞ 時(shí)， .由素?cái)?shù)定理有

將式（10）和式（11）代入式（9），引理得證.

3 主區(qū)間

在這一部分中，將主區(qū)間 M 進(jìn)一步劃分為兩個(gè)小區(qū)間 M_i 和 M₂ ，分別定義為

3.1 區(qū)間 M₁

在這一小節(jié)中，先給出在主區(qū)間 M₁ 上積分的下界.式（5）通過三角積分的一階導(dǎo)數(shù)估計(jì)得

引理8

證明 易知

其中

J₁=

I₃（λ₄α）I₄（λ₅α）I₄（λ₆α）K_τ（α）e（-vα）dα;

J₆=

下面將逐一證明 和 J_j

首先，由式（2）和式（12）得

由文獻(xiàn)[10]知

由式（15）和（16）得

然后接著處理 J_j，1?j?6 ，由Euler求和公式有

∣U_k（α）-I_k（α）∣?1+∣α∣X，k=2，3，4.

由式（2）有

由Cauchy's不等式，引理1和式（12）有

由式（12）和（18）有

由式（19）－（21）有

接著計(jì)算 J₂ ，由式（2）有

根據(jù)Cauchys不等式，引理1和式（12）知

對(duì)于 B₂ ，由式（12）和（18）有

由式（23）—（25），有

同理得

聯(lián)立式（17），（22），（26）和（27），引理得證.

3.2 區(qū)間 M₂

引理9

證明 根據(jù)Cauchy's不等式和 S₂（α） 的平凡估計(jì)，引理1和推論1，有

引理得證.

4平凡區(qū)間 t

這一部分中，將完成對(duì)平凡區(qū)間 Ψ_tΨ_Ψ 的積分估計(jì).

引理10

證明 由 Cauchy's不等式及 S₃（λ_kα） ，S₄（λ_lα） 的平凡估計(jì)，其中 k=3，4，l=5，6 ，可得

由式 （2），S₂（λ₁α） 的周期性和引理5，有

同理可證

結(jié)合式（31）－（33）有

引理得證.

5 余區(qū)間 m

選取合適的復(fù)數(shù) （204 ，由引理 8-10 可得

其中， 由Cauchy-Schwarz不等式得

對(duì)于余區(qū)間來說，將 Ψ_m 進(jìn)行劃分，設(shè)

引理11[18]

引理12

證明 對(duì)于 m^′ 的定義， m₁ 和 m₂ 的情形類似，這里只給出 m₂ 的證明，根據(jù)Cauchy's不等式及引理6和引理7以及 S₄（λ_kα），k=5，6 的平凡估計(jì)，有

引理得證.

引理13

證明 利用文獻(xiàn)[5]的方法，將區(qū)間 m^* 分為互不相交的子集 S（Z_？，Z₃，y） ，

S（Z_：，Z_：，y）={α∈m^*：

Z₂?∣S₂（λ₂α）∣lt;2Z₂，

其中 為正整數(shù)，那么由引理2和3知，存在兩對(duì)互素整數(shù) （a₂，q₂），（a₃，q₃） ，滿足 a₁a₂≠ 0，

S（Z₂，Z₃，y） 中的 α 滿足 ，有

進(jìn)一步，把集合 S（Z₂，Z₃，y） 分為一些更小的集合 S（Z₂，Z₃，y，Q₁，Q₂） ，其中 Q₁?q₂lt; ，有

對(duì)于 和式（37），有

?RX^εmin

設(shè) |a₃q₂| 取 R 個(gè)不同的值，由鴿巢原理和最佳有理逼近原理知 由除數(shù)函數(shù)經(jīng)典的上界估計(jì)知，每一個(gè) |a₃q₂| 最多對(duì)應(yīng) ?X^ε ，可知集合 S（Z_？，Z₃，y，Q₁，Q₂） 的長度不超過

有 ∣a₃q₂∣?∣q₂q₃α∣?yQ₁Q₂

下面計(jì)算 S（Z₂，Z₃，y，Q₁，Q₂） 上的積分.由式 （2），S₃（λα） 和 S₄（λα） 的平凡估計(jì)知

接著，用二分法對(duì) Z₂，Z₃，y，Q₁，Q₂ 所有可能的取值求和得

6 定理2的證明

由著名的Roth定理知，當(dāng) λ₁/λ₂ 是代數(shù)數(shù)和無理數(shù)時(shí)，ω取任意充分小的正數(shù)和x= ，定理1由定理2易得，因此下面只需證明定理2.

首先證明定理2的第一部分.設(shè) τ=X^-δ .由式（35），引理12和引理13得

又由于 有 ，必有

顯然存在一個(gè)無窮序列 ，從而有一個(gè)無窮序列 ，使得

定理2的第一部分得證.

下面證明定理2的第二部分.把 ρ 替換為 χ ，其中 x 由定理2中給出，由引理12和13的證明過程可知，

將引理11和12代入式（34）得

由定理的條件 x，有τxx+ ，必有

E（V，X，δ）?

定理2的第二部分證明完畢.

7結(jié)語

本文探討了混合次冪素變數(shù)丟番圖不等式問題，運(yùn)用Davenport-Heilbronn方法、Cauchy's不等式及積分的估計(jì)等，得到了較為精確的余區(qū)間估計(jì)，進(jìn)而有效確定了該問題的例外集上界，不僅推廣了經(jīng)典Davenport-Heilbronn方法的應(yīng)用范圍，也為研究更多的混合次冪丟番圖問題提供新思路，未來可考慮將該方法推廣到更高維的冪次組合即主區(qū)間上的積分為主項(xiàng)，余區(qū)間和平凡區(qū)間上的積分為余項(xiàng)，從而得到更加精確的結(jié)果.

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[責(zé)任編輯：趙慧霞]