要講反套路，就不能只講套路

一談到要如何幫助學(xué)生取得高分，就不得不提到數(shù)學(xué)的解題套路，解題套路是指利用固化的結(jié)論、解題方式、思維經(jīng)驗(yàn)求解問題，雖然在短期內(nèi)可能幫助學(xué)生在考試中取得較好成績，但長遠(yuǎn)來看存在諸多弊端，特別是與培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)之間存在沖突.要走出“多刷題，算得快”的誤區(qū)，就需要思考如何引導(dǎo)教學(xué)重新回歸課程標(biāo)準(zhǔn)，如何注重對核心概念的理解，如何強(qiáng)調(diào)概念在提升學(xué)生核心素養(yǎng)上的作用，這樣才能減量提質(zhì)，真正培養(yǎng)學(xué)生的思維和素養(yǎng).

1反套路講理解和應(yīng)用

例1（2024年新高考Ⅱ卷6）設(shè)函數(shù) f（x）= a（x+1）²-1，g（x）=cosx+2ax ，當(dāng) x∈（-1，1） 時(shí)，曲線 y=f（x） 與 y=g（ρ_x） 恰有一個(gè)交點(diǎn)，則ω_a=（ω） ：

分析由 f（x）=g（x） ，可得 ax²+a-1= cos x ，分離常數(shù)得 ，問題轉(zhuǎn)化為 y=a 與 的圖像只有一個(gè)交點(diǎn).接著對 y= 進(jìn)行求導(dǎo)，分析其單調(diào)性.易知

計(jì)算到這里，后面的求解難度增大，幾乎不大可能解出此題.既然分離常數(shù)不行，那是不是可以構(gòu)造函數(shù)，換另一種思路繼續(xù)試探？令 h（x）=ax²+a-1- cos x ，使 y=h（x） 在 （-1，1） 上只有一個(gè)零點(diǎn).由h^′（x）=2ax+sinx ，可得 h^′′（x）=2a+cosx ，后續(xù)大概率是要進(jìn)行煩瑣的分類討論，這個(gè)思路是“小題大做”，顯然這樣的解法也不合適.當(dāng)套路失靈了，怎么辦？此時(shí)應(yīng)該回到最基本的概念、定理、性質(zhì)，分析和思考函數(shù)的基本性質(zhì)：函數(shù)除了單調(diào)性之外，是否還有其他性質(zhì)？顯然，還有奇偶性.不妨考慮函數(shù)的奇偶性， 是偶函數(shù)，故 y= h（x） 的圖像關(guān)于 軸對稱.若 y=h（x） 有一個(gè)大于0的零點(diǎn)，則 y=h（x） 必然有一個(gè)小于0的零點(diǎn)，正負(fù)零點(diǎn)成對出現(xiàn)，而 y=h（x） 的零點(diǎn)只有一個(gè)，這說明y=h（x） 的零點(diǎn)為 x=0 ，故 h（0）=a-2=0 ，解得a=2 ，故選D.

應(yīng)試教育模式過分強(qiáng)調(diào)對具體知識點(diǎn)的記憶和常規(guī)題型的反復(fù)操練，忽視培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念深入理解和靈活運(yùn)用的能力.過分強(qiáng)調(diào)歸納套路解題模式與培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)、批判性思維和問題解決能力相沖突.這啟示學(xué)生需要適應(yīng)新高考的變化，從基本、核心的概念和定理出發(fā)，去解決問題.

2反套路講遷移和拓展

例2 （2024年新高考I卷11，多選題）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型可以看作圖1中曲線 c 的一部分.已知 C 過坐標(biāo)原點(diǎn) O ，且 C 上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于一2，到點(diǎn) F（2，0） 的距離與到定直線x=a（alt;0） 的距離之積為4，則.

A. a=-2

B.點(diǎn) 在 C 上

C. C 在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn) （x₀，y₀） 在 C 上時(shí)，

分析設(shè)曲線上的動點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （x，y） ，則 且 xgt;-2 依題意可知 ，解得 a=-2 ，故A正確.由 ，可得

顯然 滿足曲線方程，故B正確.特別地，當(dāng) 時(shí)， ，故C錯(cuò)誤.由于 y₀²= 則 即 故D正確.

對于橢圓的定義學(xué)生再熟悉不過，即動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，且該定值大于兩定點(diǎn)之間的距離；雙曲線的定義，即動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值，且該定值小于兩定點(diǎn)之間的距離；進(jìn)一步地，阿波羅尼斯圓的定義為動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比是定值，且該定值大于0且不等于1.那么我們是否可以引導(dǎo)學(xué)生去探討動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值的曲線是什么曲線？類似地，橢圓、雙曲線和拋物線有一個(gè)統(tǒng)一的第二定義，即動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到定直線的距離之比是定值，且該定值大于0，當(dāng)學(xué)生知道這個(gè)定理后，可以探討動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到定直線的距離之和、差的值為定值的曲線類型是什么.套路的運(yùn)用只講功利、看分?jǐn)?shù)，而反套路更關(guān)注的是發(fā)現(xiàn)、探究、熱情和興趣，在發(fā)現(xiàn)問題和研究問題的過程中對問題本質(zhì)進(jìn)行深入挖掘，對問題遷移理解、類比推廣.過度重視考試分?jǐn)?shù)會使學(xué)生的學(xué)習(xí)動力趨向于短期功利，削減他們的學(xué)習(xí)熱情與創(chuàng)造性思維.這與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和終身學(xué)習(xí)理念背道而馳.

3反套路講創(chuàng)新和探究

例3（2024年新高考I卷19，節(jié)選）設(shè) Ψ_m 為正整數(shù)，數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng) a_i 和 a_j（im 組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） -可分?jǐn)?shù)列.

（1）寫出所有的 （i，j），1?i1 a₂…，…，a₆ 是 （i，j） -可分?jǐn)?shù)列；

（2）當(dāng) m?3 時(shí)，證明：數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是（2，13）-可分?jǐn)?shù)列.

分析在第（1）問中，去掉兩項(xiàng)后，剩余的四項(xiàng)仍是等差數(shù)列，為了便于理解，將這六項(xiàng)標(biāo)記為 a，a+ d，a+2d，a+3d，a+4d，a+5d， 由于這連續(xù)六項(xiàng)相鄰的后項(xiàng)與前項(xiàng)之間的差為 d （公差），那么這六項(xiàng)的任意兩項(xiàng)（后面的項(xiàng)減去前面的項(xiàng)）的差值只能是 d .2d，3d，4d，5d ，這些取值就是新數(shù)列公差的“嫌疑值”.對剩下四項(xiàng)的公差進(jìn)行討論，若公差是 d ，則只能是 a，a+d，a+2d，a+3d;a+d，a+2d，a+3d，a+ 4d ； a+2d，a+3d，a+4d，a+5d 這三種情況.若公差是 2d ，則這組數(shù)列的最后一項(xiàng)要等于第一項(xiàng)加 3× 2d ，顯然在 a，a+d，a+2d，a+3d，a+4d，a+5d 沒有這樣的項(xiàng).同理，若新數(shù)列的公差為 3d，4d，5d ，也不可能存在.

因此，第（1）問的答案是 （5，6），（1，6），（1，2）

在第（2）問中，對 m=3 進(jìn)行分析，當(dāng) m=3 時(shí)，a₁，a₂，…，a₁₄ ，去掉 a₂，a₁₃ 后得到 a₁，a₃，a₄，a₅，… a₁₂，a₁₄ ，將這12個(gè)數(shù)分成四組，仍然采用第（1）問的分析方式對公差的取值進(jìn)行探究，經(jīng)過試探：第一組為 a₁，a₄，a₇，a₁₀ ；第二組為 a₃，a₆，a₉，a₁₂ ；第三組為a₅，a₈，a₁₁，a₁₄ ，這三組都是等差數(shù)列.當(dāng) m=4 時(shí)去掉a₂，a₁₃ 得到 a₁，a₃，a₄，a₅，…，a₁₂，a₁₄，a₁₅，a₁₆，a₁₇， a₁₈ ，這種情況比起 m=3 的情況只是多了最后四項(xiàng)（20號 α₁₅，α₁₆，α₁₇，α₁₈ ，而這四項(xiàng)是等差數(shù)列，則可將最后四項(xiàng)作為一組，即第一組為 a₁，a₄，a₇，a₁₀ ;第二組為 a₃ ，a₆，a₉，a₁₂ ；第三組為 a₅，a₈，a₁₁，a₁₄ ；第四組為 a_?15 ，a₁₆，a₁₇，a₁₈ .同理可得，當(dāng) mgt;4 時(shí)，數(shù)列 a_l，a₂，… a_4m+2 是（2，13）-可分?jǐn)?shù)列.

綜上，當(dāng) m?3 時(shí)，數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是（2，13）-可分?jǐn)?shù)列.

以某個(gè)知識點(diǎn)為背景，創(chuàng)新設(shè)問方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義，搭建思維平臺，引導(dǎo)學(xué)生在思考的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，自主選擇路徑和策略分析問題、解決問題，這類題型旨在考查學(xué)生對概念、原理、方法的深入理解和綜合應(yīng)用，考查學(xué)生對知識之間內(nèi)在聯(lián)系的理解和分析.求解這類問題需要學(xué)生具備創(chuàng)新、獨(dú)立探究問題的能力，所以“機(jī)械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”在新高考背景下是無效的；“重結(jié)果輕過程”的學(xué)生難以成功求解這類問題；“模式化教學(xué)”下死記硬背公式、一味追求套路的學(xué)生無法成功解決這類問題.只有重新引導(dǎo)教學(xué)方向，使教學(xué)回歸課程標(biāo)準(zhǔn)，重視教材和概念教學(xué)，積極主動激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)熱情，讓他們體驗(yàn)知識的探索和發(fā)現(xiàn)過程，才能培養(yǎng)其創(chuàng)新思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及解決問題的能力.

4反套路講思考和聯(lián)想

一例4設(shè)函數(shù) ，若f（x）?0 ，則 a²+b² 的最小值為

分析看到恒成立的條件，首先會考慮參數(shù)分離

法，但在 中有兩個(gè)參數(shù)，似乎很難進(jìn)行參數(shù)分離.既然參數(shù)分離法行不通，換個(gè)套路去解，從構(gòu)造函數(shù)求最值的方面去嘗試.由于

則 ，算到這里，后續(xù)還需要進(jìn)行二次求導(dǎo)和分類討論，這個(gè)解法看起來不是那么可靠.當(dāng)常規(guī)解法再次失效時(shí)，我們該如何應(yīng)對？此時(shí)需要學(xué)生擁有獨(dú)立思考和自主探究問題的能力，盡管無法從題目中迅速得出函數(shù)的最值和單調(diào)性，但容易得到函數(shù)的零點(diǎn)，即令 f（x）=0 ，解得x=-a 或 1-b ，將條件 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)與問題f（x）?0 （圖像始終在 x 軸上方）聯(lián)系，這正是拋物線的零點(diǎn)問題.

共零點(diǎn)的兩個(gè)函數(shù)，如果它們的單調(diào)性相同，則其在零點(diǎn)附近的函數(shù)值正負(fù)號相同.例如， b ）與 y=x-1+b 共零點(diǎn)且單調(diào)性相同，則它們在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值正負(fù)號一樣.因此，可將 f（x）=（x+ 近似地用 g（x）=（x+a）（x-1+b） （20（xgt;-b） 替換，顯然 1-bgt;-b ，所以圖2、圖3、圖4的情況都不符合題意.因此，當(dāng) g（x）=（x+a）（x- 1+b ）有兩個(gè)相等的根，如圖5所示，則當(dāng) -a=1-b ，即 b=1+a 時(shí)， g（x）?0 （即 f（x）?0 ）符合題意.代人a²+b² 得

a²+b²=a²+（1+a）²=2a²+2a+1，

故當(dāng) 時(shí)， a²+b² 取得最小值

例5 （2024年新高考 I 卷18，節(jié)選）已知函數(shù) ，證明：曲線 y= f（x） 是中心對稱圖形.

分析如何處理函數(shù)的中心對稱問題？通常對函數(shù)進(jìn)行平移，再證明平移后的新函數(shù)是奇函數(shù)；或利用函數(shù) f（x） 圖像對稱中心的性質(zhì)（如果 y=f（x） 的圖像關(guān)于點(diǎn) （m，n） 成中心對稱，則 f（x）=2n- f（2m-x） ）進(jìn)行分析；或利用軌跡的思路，在曲線上取動點(diǎn)，證明該點(diǎn)的對稱點(diǎn)也落在曲線上.但在此例中，函數(shù) f（x） 中存在 這樣的特殊結(jié)構(gòu)，我們也無法預(yù)測將來遇到的問題會涉及哪種類型結(jié)構(gòu)的函數(shù)，這就無法用以往的套路來解決問題.在這種情況下，套路和模式化解題失去作用.于是回到函數(shù)基本的定義和概念中來尋找解題的方向，對稱中心是函數(shù)奇偶性的延伸，而奇偶函數(shù)的前置條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，也就是如果一個(gè)函數(shù)的圖像有對稱中心，那么它的定義域是關(guān)于這個(gè)對稱中心對稱的.

的定義域?yàn)椋?，2），所以其對稱中心的橫坐標(biāo)為 代入函數(shù) y=f（x） 得到對稱中心的縱坐標(biāo) y₀=a ，即對稱中心為點(diǎn) M（1，a） .將函數(shù) y=f（x） 的圖像先向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移 Ω_a 個(gè)單位長度，得到函數(shù) 的圖像.因?yàn)?/p>

所以 y=h（x） 是奇函數(shù)，則函數(shù) y=f（x） 是中心對稱圖形，且圖像的對稱中心是點(diǎn) M（1，a）

點(diǎn)學(xué)生不應(yīng)該只會套套路，而應(yīng)懂得如何獨(dú)立思考，如何利用所掌握的知識、經(jīng)驗(yàn)解決問題.因此，在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生應(yīng)學(xué)會自主進(jìn)行探究，自主總結(jié)經(jīng)驗(yàn).通過這種方式，學(xué)生對知識和定理的理解將更加深刻，從而真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

套路與反套路并非對立，而是相輔相成的.套路為學(xué)生提供了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和基本技能，而反套路則在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深人思考和創(chuàng)新.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中應(yīng)注重將兩者進(jìn)行結(jié)合，使學(xué)生在掌握基本數(shù)學(xué)知識和技能的同時(shí)，具備靈活運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，從而全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（完）