穩(wěn)變有致，回歸本原

在我國教育體系里，高考無疑是人才選拔與教育教學進程中的關(guān)鍵節(jié)點，對教育生態(tài)有著深遠影響.數(shù)學學科在高考中始終占據(jù)舉足輕重的地位，其試題的命制不僅直接關(guān)聯(lián)到學生升學，更如同一面鏡子，映射出教育理念與教學要求的變化.深入剖析2025年數(shù)學新高考I卷，對把握后續(xù)高考命題走向以及科學開展復習備考都有著不可忽視的價值.

1總體評析

1.1 穩(wěn)中有變

與2024年相比，2025年數(shù)學新高考I卷在命題上呈現(xiàn)出更為靈活的特征，考查內(nèi)容的廣度和深度都有所拓展，高度重視對學生基礎(chǔ)能力的檢驗.試題難度保持相對穩(wěn)定，遵循低起點、階梯遞進、由淺入深的設(shè)計思路，從多個維度、不同層次對學生知識掌握情況進行考查.選擇題與填空題設(shè)置巧妙，從基礎(chǔ)易解題目到需要深入理解才能作答的題目合理分布，分散了難點，且多題設(shè)置為壓軸題，為不同學習水平的學生提供了充分展示能力的舞臺.

許多試題的命題背景緊密依托教材，嚴格遵循“題在書外，根在書內(nèi)\"的原則.大多數(shù)試題（如表1）聚焦于數(shù)學基本知識、方法以及規(guī)律，在知識考查的范圍、深度、廣度以及學科核心素養(yǎng)要求方面，與數(shù)學課程標準高度契合.這一導向旨在引導學校嚴格依照課程標準開展教學，切實提升課堂教學的有效性.

注：表1中的必修一、二分別指人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊、第二冊，選擇性必修一、二、三分別指人教A版普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊、第二冊、第三冊.

1.2 變中求新

1）貼近實際應(yīng)用

數(shù)學是高度抽象且自成體系的學科，部分學生易養(yǎng)成“模式化”解題習慣.2025年數(shù)學新高考1卷設(shè)計了有實際背景的客觀題，難度不大，能反映學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識和方法的應(yīng)用能力，如第6題帆船比賽情境考查向量知識，第15題研究疾病與超聲波檢查結(jié)果關(guān)系，體現(xiàn)統(tǒng)計知識的應(yīng)用.

2）高思維量與開放性

試卷解答題篇幅不長但思維量高，關(guān)注學生分析和解決問題的能力，知識點覆蓋面廣，通過創(chuàng)新設(shè)問方式，增強試題探索性、綜合性和解法的開放性，考查學生學科關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)，引導學生摒棄固化復習備考模式，如第8題在題目形式和語言敘述上創(chuàng)新，第19題設(shè)置三角函數(shù)情境考查創(chuàng)新思維，

3）鼓勵嘗試精神

對于難度較大的試題，如第17題、第18題和第19題，學生解答困難，得分不高.研究新問題需從試探開始，教學中應(yīng)鼓勵學生勇于嘗試，失敗不等于失分，摒棄“知難而退\"的應(yīng)試策略.

4）靈活布局與創(chuàng)新立意

內(nèi)容布局靈活：試卷各主題內(nèi)容試題排布順序靈活，知識模塊難易度動態(tài)調(diào)整，考查學生應(yīng)變和創(chuàng)新能力，如立體幾何外接球問題調(diào)整到解答題，概率中離散型隨機變量分布列與期望調(diào)整到填空題.

命題立意創(chuàng)新：凸顯數(shù)學思維，讓學生“多想少算”，鼓勵創(chuàng)造性、發(fā)散性思維，如第8題和第10題有多種解法，體現(xiàn)“多想少算”的重要性.

打破常規(guī)結(jié)構(gòu)：教學應(yīng)克服“經(jīng)驗主義”，每個主題內(nèi)容都可能作為壓軸題載體，“機械刷題”和“套路訓練\"非有效方法，考點和考法遵循數(shù)學課程標準.

2 對比分析

下面分析近幾年數(shù)學新高考I卷的知識點分值分布情況（如表2）考查內(nèi)容比較（如表 3～5） 。

2.1 知識點分值分布

新結(jié)構(gòu)試卷的題量減少，有利于考生發(fā)揮創(chuàng)新能力，提升壓軸題的思維量與難度，注重考查思維過程和品質(zhì)，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔.

2.2 考查內(nèi)容對比

表 3～5 分別分析了2022—2025年數(shù)學新高考I卷選擇題、填空題、解答題的考查內(nèi)容對比.

3試題分析展示

3.1 基礎(chǔ)試題增加與難度調(diào)整

2025年數(shù)學新高考I卷試題中基礎(chǔ)性試題占比大幅提升，降低了試卷整體難度.其中 1～5 題，學生憑借基礎(chǔ)知識即可快速得出答案；第9題、第12題、第13題、第15題、第16題的第（1）問、第17題的第（1）問以及第18題的第（1）問，均屬于基礎(chǔ)性試題范疇，這些題目分值累計超過70分，約占總分值的 50% 第6題、第7題、第10題、第16題的第（2）問、第17題第（2）問的第（i）小問、第18題第（2）問的第（i）小問、第19題的第（1）問為中檔題，分值超過40分，約占總分值的 30% ；第8題、第11題、第14題、第18題第（2）問的第（i）小問以及第19題的第（2）問、第（3）問則屬于難題，分值超過30分，約占總分值的 20% .整份試卷易、中、難試題分值的比例約為 5：3：2 ，這種分布結(jié)構(gòu)既保證了對基礎(chǔ)的考查，又能區(qū)分不同層次的學生.基礎(chǔ)性試題比例的增加，讓學生在答題初期能夠迅速建立信心，快速完成簡單題目，從而為后續(xù)解答思維含量較高的題目預留了充足的時間.

3.2知識覆蓋與主干聚焦

試題涵蓋知識面廣，著重考查三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計、函數(shù)與導數(shù)六大主干知識板塊，六大主干知識分值占比約 90% （如表6），體現(xiàn)對主干知識考查的重視.

例1 （2025年新高考I卷8）若實數(shù) x，y，z 滿足 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，則 x，y，z 的大小關(guān)系不可能是（ ）.

A. Φ_xgt;Φ_ygt;Φ_z B. Φ_xgt;zgt;Φ_y

C. _ygt;_xgt;z D. ygt;zgt;x

（解析

由 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，得

則

將 看作自變量 Ψ_t 的取值，易知

考查三個函數(shù) ln 2*y2 ln3'y3= y₃= ，由三個一次函數(shù)圖像可知選項ACD均有可能，選項B不可能，故選B.

本題考查學生對“增長速度”的直觀感受，運用數(shù)形結(jié)合思想求解會簡單很多.當然，從特殊值人手也是很好的一種思路.有的學生可能覺得這道題和不再考比較大小問題背道而馳，實則不然，非固定值的比較大小問題是非常有趣的一個問題，在數(shù)學研究中也非常重要.

例2 （2025年新高考Ⅰ卷11，多選題）已知△ABC的面積為 ，若cos 2A+cos2B+2sinC=2 ，cos A cos B sin 則（ ）.

A. sin C=sin²A+sin²B B. C. sin D. AC²+BC²=3

由cos 2A+cos2B+2sinC=2 ，得

所以 2sin C=2sin²A+2sin²B ，即sin C=sin²A+ sin²B ，故A正確.

又 sin²A+sin²B=sinC≥sin²C ，所以 a²+b²? c² .若 a²+b²gt;c² ，則 ΔABC 為銳角三角形，故 A+ ，則

sinC=sin²A+sin²Bgt;cos²B+sin²B=1， 矛盾，所以 a²+b²=c² . ΔABC 為直角三角形.由cos A cos ，得cosAcos 戈

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=0， 所以

又△ABC的面積為 ，所以 則 設(shè) ΔABC 外接圓的半徑為 R ，則 ，所以 ，則 AB= 2R sin ，故B正確.

因為 （sinA+sinB）²=sin²A+sin²B+2sinA. sin 所以 故C正確.由于 AC²+BC²=AB²=2 ，故D不正確.

綜上，選ABC.

此題很有意思，但是學生在考場上必須得出“ C 是直角”——這其實也是個二級結(jié)論，根據(jù) C 是直角，這道題就非常容易求解了.

1 例3（2025年新高考I卷17）如圖1所示，在四棱錐 P ABCD中， PA⊥ 平面 ABCD，BC//AD AB⊥AD

（1）證明：平面 PAB 上平面 PAD （2）若 ， ， BC=2，P ，

B，C，D 在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為 O （i）證明： O 在平面ABCD上；（ii）求直線 AC 與直線 PO 所成角的余弦值

此題是一道經(jīng)典的立體幾何題，創(chuàng)新點是引入了外接球的球心，一些學生可能不知道如何下手.事實上，只要建立空間直角坐標系計算即可.雖然這道題用幾何法求解也很簡單，但是用幾何法求點 O 的位置時，很容易出現(xiàn)分類討論遺漏的情況.立體幾何中多面體的外接球問題一般以小題的形式呈現(xiàn)，而2025年卻把該問題調(diào)整為解答題第17題，考查了外接球球心的定義.

（1）因為PA」平面 ABCD，ABC 平面 ABCD ，所以 PA⊥AB .又 AB⊥AD ， AD∩PA=A ， AD? 平面 PAD，PAC 平面 PAD ，所以 AB⊥ 平面 PAD ，而AB? 平面 PAB ，則平面 PAB 工平面 PAD

（2）（i）因為 PA⊥ 平面 ABCD，PA⊥AD ，則AB?AD?AP 兩兩垂直，分別以 AB?AD，AP 所在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系 A-xyz ，如圖2所示，則

設(shè)球心為 O（x，y，z） ，半徑為 R ，則

?x=0 .y=1，

解得x=0， ·因為 O（0，1，0） ，所以 O 在平面ABCD上.（i）由（i）得 ！

）.設(shè)直線 AC 與直線 PO 所成角為 θ ，則cos 0= （204號

例4（2025年新高考I卷19）設(shè)函數(shù) f（x）= 5cos x-cos5x ：

（1）求 f（x） 在 上的最大值;

（2）給定 θ∈（0，π） ，設(shè) Δ_a 為實數(shù)，證明：存在 [a-θ，a+θ] ，使得cos y?cosθ ：

（3）若存在 φ 使得對任意 x ，都有5cos x- cos（5x+φ）?b ，求 b 的最小值.

本題以三角函數(shù)為情境，對導數(shù)符號的分析需轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像相交情況來定，尤其是第（2）問需要使用反證法證明，這在新高考卷中也是少見的，學生需利用三角函數(shù)的周期性和導數(shù)的幾何意義求解；第（3）問是一道難題，但第（1）問、第（2）問給了很好的階梯，可以從必要性探路和主元法切入，這本該是一道競賽中的試題，但命題組通過給出巧妙的臺階，將它改編成了一道高考壓軸題，是不錯的命題思路.

（1）易知 f^′（x）=-5sinx+5sin5x= 10cos ，3xsin2x .因為 ，所以 故sin 2x?0. 當 時，cos 3xgt;0 ，即 f^′（x）gt; 0；當 時，cos 3xlt;0 ，即 f^′（x）lt;0 ，故 f（x） 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，則f（x） 在[0， 上的最大值為

（2）由余弦函數(shù)的性質(zhì)得cos x?cosθ 的解為

若任意 [2kπ+θ，2kπ+2π-θ]（k∈Z） 與 [a-θ ，a+θ] 的交集為空，則 且 a+θlt; 2kπ+2π+θ ，此時 Ψ_a 無解，矛盾，故無解.因此，存在k∈Z ，使得 [2kπ-θ，2kπ+θ]∩（a-θ，a+θ）≠?

（3）結(jié)合余弦函數(shù)的周期可知 φ∈[0，2π） 可表示所有 φ 的情況，結(jié)合 5cosx 的周期為 2π，cos（5x+φ） 的周期為 可知5cosx-cos（5x+Φ）的周期為2π，故只需討論 x∈[0，2π]，φ∈[0，2π] 的情況.

當 φ=0 時，5cos x-cos（5x+φ）=5cosx- cos 5x=f（x） ，由（1）可知 f（x） 在 上的最大值3√3gt;1.當∈（π， 時，結(jié)合 f^′（x）=10cos 3x sin 2x 可知 f^′（x）lt;0，f（x） 在 上單調(diào)遞減，則f（x）lt;3√3;當x∈（π， 時，由于cos x?0 ，則 ；當 時， f^′（x）gt;0，f（x） 單調(diào)遞增；當 時， f^′（x）lt;0，f（x） 單調(diào)遞減，故當 時，有

則 b 的最小值為 ：

當 φ∈（0，2π） 時，取 ，則

（20號

當 φ=2π 時，5c ，前面已求 b 的最小值為 ·

綜上， b 的最小值為

此題也是2025年影響力較大的一道題，不得不驚嘆命題組的“反押題\"能力，此題突破了去年新定義題的命題模式，將三角函數(shù)與導數(shù)巧妙結(jié)合，第（2）問、第（3）問對學生的思維能力提出了極高要求，這種新穎的題型在日常練習中極為少見，能夠精準識別出真正的拔尖創(chuàng)新人才.

4備考啟示

1）認真研讀《中國高考評價體系》

《中國高考評價體系》是深化新時代高考內(nèi)容改革的基礎(chǔ)工程、理論支撐和實踐指南.以《中國高考評價體系》為指導，明確高考數(shù)學學科功能的基礎(chǔ)，確定考查理性思維、數(shù)學應(yīng)用、數(shù)學探索、數(shù)學文化四類學科素養(yǎng)，突出考查邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力、創(chuàng)新能力，彰顯試題具有基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.

當前高考命題以素養(yǎng)為導向，學生若想在高考中脫穎而出，必須注重優(yōu)化自身思維品質(zhì).在教學實踐中，教師應(yīng)更加關(guān)注知識的發(fā)生發(fā)展過程，引導學生深入探究數(shù)學本質(zhì).通過開展數(shù)學思想方法的顯性化教學、加強探究性教學活動等方式，培養(yǎng)學生的高階思維能力，全面提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，使學生能夠靈活運用所學知識解決各類復雜問題.

2）夯實基礎(chǔ)，落實“四基”

2025年高考試題中基礎(chǔ)知識占比較大，這一現(xiàn)象表明，僅依靠高三一年的復習來夯實基礎(chǔ)遠遠不夠，在高一、高二的教學過程中，教師應(yīng)引導學生對每一個知識點進行深人理解和扎實訓練.例如，第15題中的獨立性檢驗、第16題中的差比數(shù)列求和（錯位相減法）等基礎(chǔ)試題，雖然在高三復習時也會涉及，但通常不會作為復習的重點內(nèi)容.然而，這些基礎(chǔ)知識在高考中具有隨機性考查的特點，學生只有在新課學習階段就透徹掌握，才能在高考中從容應(yīng)對.因此，教師必須高度重視高一、高二的教學工作，避免將備考壓力過度集中于高三一年.

高中數(shù)學傳統(tǒng)意義上的主干知識（如函數(shù)與導數(shù)、解三角形、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計等）是構(gòu)筑“高中數(shù)學”這座大廈的根基，無論高考改革到什么程度，相信對這些主干知識的考查一定不會冷落.因此，要“吃透教材、抓實基礎(chǔ)、注意通法通性，理解中心思想”，唯有如此才能在高考中考出理想成績

3）回歸教材，回歸真題

課程標準是高考命題的依據(jù)，2025年高考數(shù)學考查知識內(nèi)容的范圍、深度、廣度以及對學科核心素養(yǎng)水平的要求均與課程標準保持一致.要嚴格按照課程標準實施教學，上足課時、不趕進度，做到應(yīng)教盡教，把精力放在講透教材的內(nèi)容上，提升課堂的教學效果.因此，復習備考要回歸到對教材題或往年高考真題的研究上，并將這樣的回歸備考貫穿高三復習備考的始終.

4）不比題量，追求質(zhì)量

在復習的過程中，教師應(yīng)嚴格把控復習內(nèi)容的難度，對高中階段所學的全部數(shù)學知識進行全面、細致的梳理與復習，確保不遺漏任何知識點.通過系統(tǒng)的復習，幫助學生構(gòu)建完整的知識體系，為后續(xù)的深入學習和能力提升奠定堅實基礎(chǔ).靠做題的數(shù)量是不可能取得好成績的，應(yīng)讓學生注重經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生過程，以及問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的全過程，充分挖掘典型問題的內(nèi)在價值與遷移功能，培養(yǎng)思維的靈活性與創(chuàng)新性.教學實踐表明，要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，最重要的就是給足時間讓他們深度思考，讓學生從數(shù)學的角度去發(fā)現(xiàn)問題、明確目標、厘清邏輯、合理分析、實踐檢驗、總結(jié)反思.

5）規(guī)范答題，確保得分

隨著基礎(chǔ)性試題的增加，高考閱卷對答題規(guī)范性的要求將更加嚴格.為避免學生出現(xiàn)“會而不對、對而不全\"的情況，在平時訓練中應(yīng)規(guī)范解答題的解題步驟，在答題過程中詳細書寫關(guān)鍵步驟，不得隨意省略.教師自身要在課堂教學中做好示范，及時糾正學生書寫不規(guī)范的問題，并進行示范性講解，幫助學生養(yǎng)成良好的答題習慣，從而在考試中最大限度地減少失分，實現(xiàn)得分最大化.

總之，2025年高考數(shù)學試卷是高考內(nèi)容改革的風向標，發(fā)揮著育人功能和正向積極的導向作用，踐行《中國高考評價體系》提出的命題理念.高考數(shù)學命題在傳承經(jīng)典題型的同時不斷探索創(chuàng)新，核心目標聚焦于對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的深度考查.處理好考試時間和題量的關(guān)系，給學生充足的思考時間，適度增加試題的思維量等命題原則，能夠助推高考內(nèi)容和高中育人方式改革，有效引導中學數(shù)學教學，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔.

本文系湖南省教育科學“十四五”規(guī)劃課題““項目式學習’在高中數(shù)學建模教學中的應(yīng)用研究\"（課題編號：XJK24BS002）；湖南省教育學會“十四五”規(guī)劃教育科研規(guī)劃課題“新教材改革下數(shù)學應(yīng)用題的教學研究”（立項號：A-179）研究成果.

（完）