高中數(shù)學(xué)文化類微課的優(yōu)化對策與案例評析

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）11-0124-04

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，其與教育的融合程度越來越深。在此背景下，一種教學(xué)微課一一數(shù)學(xué)文化類微課以新穎的形式逐漸被高中生和數(shù)學(xué)教師接受、喜愛。教學(xué)實(shí)踐證明，利用數(shù)學(xué)文化類微課實(shí)施高中數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅豐富了教學(xué)資源，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)效率。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，重視在中國傳統(tǒng)文化中挖掘的數(shù)學(xué)元素。而且，核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師在教學(xué)時有機(jī)滲透數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)文化，促使學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)、功能與價值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。數(shù)學(xué)文化類微課是實(shí)現(xiàn)這一教育目標(biāo)的重要載體。它以短小精悍的視頻為載體，將數(shù)學(xué)知識及其文化背景巧妙結(jié)合，為學(xué)生打開了一扇通往數(shù)學(xué)世界的大門。學(xué)生借助這類微課進(jìn)行學(xué)習(xí)，能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價值，深刻體會數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的重要作用，增強(qiáng)自身運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

然而，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)文化類微課存在有知識拓展而無文化體驗(yàn)、有文化體驗(yàn)而無素養(yǎng)發(fā)展等問題。這既不利于數(shù)學(xué)文化類微課教學(xué)功能的充分發(fā)揮，也不利于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高。基于此，筆者近年來以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)，積極探索數(shù)學(xué)文化類微課設(shè)計(jì)與制作的優(yōu)化策略。下面，筆者以“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”微課的優(yōu)化為例，探討優(yōu)化數(shù)學(xué)文化類微課設(shè)計(jì)與制作的具體路徑。

一、以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向優(yōu)化數(shù)學(xué)文化類微課的對策

數(shù)學(xué)文化類微課致力在數(shù)學(xué)、歷史等跨學(xué)科語境中建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。然而，目前現(xiàn)有的數(shù)學(xué)文化類微課還存在結(jié)構(gòu)性缺陷：一是文化符號呈現(xiàn)停留在表層，如機(jī)械羅列歷史事件而未揭示數(shù)學(xué)思想發(fā)展的深層脈絡(luò)；二是抽象概念具象化存在技術(shù)瓶頸，如對拓?fù)?、?fù)數(shù)等高階數(shù)學(xué)概念仍局限于文字闡釋與靜態(tài)圖解，學(xué)生空間建模能力較弱；三是互動機(jī)制設(shè)計(jì)存在單向度缺陷，未能有效進(jìn)行讓學(xué)生參與的“重構(gòu)歷史”或“參與式推理”的實(shí)踐；四是評價體系呈現(xiàn)扁平化，側(cè)重公式記憶考核，忽視數(shù)學(xué)美學(xué)感知與批判性思維等考查。針對這些問題，筆者認(rèn)為可從以下三個方面優(yōu)化數(shù)學(xué)文化類微課：其一，構(gòu)建認(rèn)知可視化工具鏈，如通過編程平臺實(shí)時生成斐波那契數(shù)列與自然界螺旋結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系；其二，設(shè)計(jì)沉浸式歷史推理場景，如嵌入數(shù)學(xué)考古任務(wù)，讓學(xué)生用代數(shù)方法復(fù)原商業(yè)交易記錄；其三，構(gòu)建生成式評價體系，如讓學(xué)生提交數(shù)學(xué)文化創(chuàng)意作品（如制作微紀(jì)錄片、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)主題桌游），從創(chuàng)造性、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性、文化價值等維度進(jìn)行評價。

（一）精心設(shè)計(jì)，突出主題與主線的邏輯結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)文化類微課的主線有明線和暗線兩種：一是數(shù)學(xué)文化所依托的數(shù)學(xué)知識本身的發(fā)生、發(fā)展線索，這是明線；二是數(shù)學(xué)文化（如數(shù)學(xué)歷史的典型事件、成果等主題）的熏陶，這是暗線。在數(shù)學(xué)文化類微課的整體設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)緊扣微課的教學(xué)主題，將明暗兩線貫穿于微課設(shè)計(jì)的各個環(huán)節(jié)，堅(jiān)持厘清明線、深挖暗線，設(shè)計(jì)具有邏輯關(guān)聯(lián)性、層層遞進(jìn)且能啟迪學(xué)生思維的主干問題，形成有效的問題鏈，以此帶領(lǐng)學(xué)生開展自主探究活動，進(jìn)行深層次的思考。這樣設(shè)計(jì)的目的是幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)體系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識背后的深層思想方法，鍛煉數(shù)學(xué)思維，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。例如，在設(shè)計(jì)“布豐投針”這一數(shù)學(xué)文化類微課時，教師可通過活動單導(dǎo)航、提問鏈導(dǎo)思的形式設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生思考“兩組不同幾何圖形與平行線相交的概率”，接著猜想概率相等的原因，最后得到“小針與平行線相交”的概率公式。整個過程循序漸進(jìn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“布豐投針”概率公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生體會其中蘊(yùn)含的概率統(tǒng)計(jì)思想，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)分析和邏輯推理等能力。

（二）優(yōu)化呈現(xiàn)，突出文化與技術(shù)的深度融合

從認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律來看，直觀形象比語言文字更直接且更容易被人們接受[2。在數(shù)學(xué)文化類微課中，如果只是用枯燥無味的文字和缺乏動感的畫面進(jìn)行知識講解，就難以吸引學(xué)生的注意，最終導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不理想。通過引入動畫，可以將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為生動形象的動畫進(jìn)行展示。如，利用動畫呈現(xiàn)數(shù)學(xué)中復(fù)雜的空間幾何關(guān)系，讓學(xué)生直觀地理解知識內(nèi)涵。而通過動感技術(shù)將文字、聲音和圖像三者結(jié)合，呈現(xiàn)豐富多樣的動畫效果及畫面特效，則更能有效提高微課的直觀性、趣味性。如此教學(xué)，幫助學(xué)生更加直觀地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，理解知識外在形式與內(nèi)在邏輯的和諧統(tǒng)一，從而深刻感受到數(shù)學(xué)的美妙。又如，在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師一般直接告訴學(xué)生余弦定理是勾股定理的推廣，但由于缺乏直觀形象的幾何生成過程，學(xué)生很難真正理解二者的關(guān)系。而設(shè)計(jì)“余弦定理的無字證明”這一數(shù)學(xué)文化類微課，教師在講解余弦定理的無字證明時，可添加有趣的動畫特效，如利用皓駿動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)直觀地呈現(xiàn)余弦定理的幾何背景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的思考，深入探索勾股定理與余弦定理之間的關(guān)系。這有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”微課優(yōu)化設(shè)計(jì)及前后對比分析

一般地，教師在設(shè)計(jì)微課時，通常只是講解古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和，推導(dǎo)累加公式 S=n（n+1）/2 ，強(qiáng)調(diào)步驟記憶。但筆者發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生能進(jìn)行模仿計(jì)算，卻難以解釋公式原理，對“為何首末項(xiàng)相加”感到困惑。而優(yōu)化后的微課則通過動畫演示古代市集布匹交易場景，引出實(shí)際問題；通過用彩色積木模擬數(shù)列排列，動態(tài)演示“首末項(xiàng)配對求和”的對稱結(jié)構(gòu)，同時對比高斯算法 （1+2+…+100） ，揭示中西數(shù)學(xué)思維的異同；通過穿插《九章算術(shù)》“盈不足術(shù)”案例，展示中國古代數(shù)學(xué)的模型化思維。優(yōu)化后的微課更加具象化、可視化，能夠通過動態(tài)圖形拆解累加法的邏輯鏈條，降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷；能夠?qū)⑺惴ㄖ糜跀?shù)學(xué)史框架中，激發(fā)學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化的興趣。

（一）微課基本內(nèi)容分析

數(shù)列是研究數(shù)字規(guī)律的知識，它能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。本研究以人教A版高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀與思考”為主要內(nèi)容，搜集了關(guān)于劉徽、沈括、楊輝以及朱世杰等數(shù)學(xué)家的史料。例如，劉徽深入闡釋《九章算術(shù)》的算法原理，并提出“割圓術(shù)”—利用圓內(nèi)接正多邊形推算圓周率，將 π 精確為3.1416，產(chǎn)生了“徽率”。北宋時期的沈括在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也做出了重要貢獻(xiàn)，他提出的“隙積術(shù)”是對等差級數(shù)求和方法的創(chuàng)新，而“會圓術(shù)”則是一個用于計(jì)算弧長的實(shí)用近似公式。沈括的這些方法既推動了平面幾何學(xué)的發(fā)展，又在天文計(jì)算中發(fā)揮了重要作用，為中國球面三角學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。南宋數(shù)學(xué)家楊輝系統(tǒng)整理了古代數(shù)學(xué)問題，并首創(chuàng)“楊輝三角”。這一發(fā)現(xiàn)比西方國家早了近四百年?！皸钶x三角”不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如二項(xiàng)式定理和組合數(shù)計(jì)算，而且在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有很大的用處。元代數(shù)學(xué)家朱世杰則將“天元術(shù)”（一元方程）發(fā)展至“四元術(shù)”（多元高次方程），創(chuàng)“垛積法\"（高階等差級數(shù)求和），推動了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

基于此，教師在設(shè)計(jì)相關(guān)數(shù)學(xué)文化類微課時，需要厘清的關(guān)鍵內(nèi)容有：隙積術(shù)是中國古代高階數(shù)列求和的開啟序幕，垛積術(shù)是高階數(shù)列求和的可操作依據(jù)、招差術(shù)是高階數(shù)列求和的一般公式的推導(dǎo)思路。在教學(xué)過程中，筆者始終堅(jiān)持以學(xué)生為中心，充分考慮他們的認(rèn)知水平和思維能力。為了更有效地傳授知識，筆者在微課設(shè)計(jì)中特別關(guān)注“隙積術(shù)”與“垛積術(shù)”的闡釋，這對增強(qiáng)學(xué)生的解題能力和提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)很重要。在優(yōu)化教學(xué)資源的過程中，筆者分別對原版和優(yōu)化版的微課進(jìn)行了調(diào)整。這兩個版本的基本環(huán)節(jié)是一致的，都包括問題思考、追根溯源及小結(jié)反思等環(huán)節(jié)。這樣設(shè)計(jì)旨在幫助學(xué)生從不同角度理解和掌握知識點(diǎn)，提高他們的思維能力和創(chuàng)新意識。在問題思考環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了啟發(fā)性問題，鼓勵學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)答案。這樣可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓他們在思考問題的過程中，自然地學(xué)習(xí)“隙積術(shù)”和“垛積術(shù)”的相關(guān)知識。進(jìn)入追根溯源環(huán)節(jié)，筆者帶領(lǐng)學(xué)生分析“隙積術(shù)”與“垛積術(shù)”的歷史發(fā)展脈絡(luò)，讓學(xué)生全面了解其起源、演變及應(yīng)用，幫助學(xué)生更好地理解這些數(shù)學(xué)方法的內(nèi)涵。在小結(jié)反思環(huán)節(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生對在學(xué)習(xí)過程中的收獲和困惑進(jìn)行總結(jié)、反思，讓他們意識到自己在哪些方面還需要進(jìn)一步努力，幫助學(xué)生鞏固已學(xué)知識。在優(yōu)化版的微課中，筆者著重講解“隙積術(shù)”和“垛積術(shù)”，并通過問題思考、追根溯源和小結(jié)反思這三個環(huán)節(jié)的不斷循環(huán)和深化，幫助學(xué)生更好地理解和掌握“隙積術(shù)”和“垛積術(shù)”，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力。

（二）“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”微課優(yōu)化前后對比分析

原版微課主要包含公式講解和例題訓(xùn)練，而優(yōu)化版微課則融入了古代算法動畫和文化故事。如優(yōu)化版微課采用動態(tài)畫面（如《九章》中的“黍堆模型”）取代靜態(tài)圖示，幫助學(xué)生搭建認(rèn)知腳手架，并設(shè)置“劉徽式追問”（如“如何得知末項(xiàng)為 n？ \"引導(dǎo)學(xué)生逆向推導(dǎo)。原版微課主要側(cè)重于知識的記憶，而優(yōu)化微課則重視知識的理解和遷移。如，優(yōu)化版微課通過構(gòu)建文化情境，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感投入。優(yōu)化版微課更重視利用動態(tài)工具突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，結(jié)合文化情境沉浸，實(shí)現(xiàn)中國古代教學(xué)智慧的現(xiàn)代轉(zhuǎn)化教學(xué)。優(yōu)化版微課教學(xué)效果顯著，根據(jù)筆者進(jìn)行的課堂活躍度及問卷調(diào)查，可見：一是學(xué)生學(xué)習(xí)參與度比過去提高了 30.00%-50.00% ；二是學(xué)生的知識遷移能力得到增強(qiáng)，學(xué)生能將古代算法原理運(yùn)用于現(xiàn)代數(shù)列問題，學(xué)生解決實(shí)際問題的正確率提升了15.00% ；三是增強(qiáng)了學(xué)生的文化認(rèn)同感，學(xué)生通過情境體驗(yàn)加深了對中國數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的認(rèn)知。

1.原版“問題思考\"設(shè)計(jì)與優(yōu)化版“問題思考”設(shè)計(jì)的對比

如圖1所示，原版是基于學(xué)生現(xiàn)有知識水平，復(fù)習(xí)學(xué)過的數(shù)列求和方法，引出關(guān)鍵詞“高階等差數(shù)列求和”，然后直接提出問題“古人是怎么求數(shù)列和的呢？”。等差數(shù)列求和公式是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之一，高階等差數(shù)列求和是在普通等差數(shù)列求和的基礎(chǔ)上，對公差的求和進(jìn)行進(jìn)一步的探討。而優(yōu)化版則首先表明：人們對等差數(shù)列求和問題的興趣是“由來已久”的，之后通過‘ 1+2+3+…+n ”到 ?1²+2²+3²+…+ n2”到‘ 1³+2³+3³+…+nⁿ ’一直到‘ 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+nⁿ 的串聯(lián)，提出問題“古人是怎么求這些高階等差數(shù)列和的呢？”。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，筆者利用貼近學(xué)情的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象、探究數(shù)學(xué)問題的興趣。

2.原版“追根溯源”與優(yōu)化版“追根溯源”設(shè)計(jì)的對比

在“垛積術(shù)”的講解中，原版通過“像這樣第一層是1，第二層是3，第三層是6，依次堆積第 n 層是 ψ_n+1） 轉(zhuǎn) 120^° 兩次得到的三個三角形每一層數(shù)字之和有什么規(guī)律嗎？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生得到“三角垛”的公式。而優(yōu)化版在與原版同樣得到“三角垛”公式之后，還增加了“ 分別是幾階數(shù)列？”“三角垛的數(shù)列求和結(jié)果又可以看作是幾階數(shù)列的通項(xiàng)呢？”“這三個數(shù)列之間有什么關(guān)系？”“你能提出關(guān)于低階數(shù)列與高階數(shù)列關(guān)系的猜想嗎？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察三個數(shù)列之間的聯(lián)系，鼓勵學(xué)生提出猜想。如圖2所示，優(yōu)化版通過添加堆垛過程的動畫效果，并設(shè)置相應(yīng)的問題鏈，能有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，幫助學(xué)生揭示“高階數(shù)列可以看作是低階數(shù)列之和”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

此外，優(yōu)化版在講解“垛積術(shù)”的來源與操作的基礎(chǔ)上，還以問題鏈驅(qū)動學(xué)生探究高階等差數(shù)列與低階等差數(shù)列之間的邏輯關(guān)系，探究數(shù)列的本質(zhì)，逐步理解“垛積術(shù)”。并且優(yōu)化版更加注重學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生積極探究；注重多元表征，通過幾何與代數(shù)的方式多方面論證所得結(jié)論。這樣設(shè)計(jì)的目的是滲透“升維”“降維”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)、邏輯推理能力。

3.原版“小結(jié)反思”與優(yōu)化版“小結(jié)反思”設(shè)計(jì)的對比

原版微課希望借助時間線讓學(xué)生了解中國古代數(shù)列求和的發(fā)展史，并通過展現(xiàn)數(shù)學(xué)家的輝煌成果，增強(qiáng)學(xué)生的歷史認(rèn)同感。但只講述成就會讓歷史文化顯得生硬，使微課陷于開發(fā)卻不能有效應(yīng)用的困境。優(yōu)化版則增加了‘ 1²+2²+3²+…+n² 要怎么求呢？”的思考問題，讓學(xué)生體會高階數(shù)列求和的原理。因此，相較于原版，優(yōu)化版對小結(jié)反思部分的設(shè)計(jì)更加完善。

首先，在本案例中，優(yōu)化版微課遵循了教育性、趣味性、實(shí)踐性和適度性原則，設(shè)計(jì)了富有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的微課活動。學(xué)習(xí)過程中，借助小組討論、動手操作等多樣化的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生得以將理論知識運(yùn)用于解決實(shí)際問題之中，提升了自身的實(shí)踐能力。同時，優(yōu)化版微課注重評價與反饋，引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識自已的優(yōu)缺點(diǎn)，及時調(diào)整學(xué)習(xí)策略。其次，本案例是一個成功的數(shù)學(xué)文化類微課設(shè)計(jì)，通過展示中國古代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，學(xué)生可以看到他們在數(shù)列求和、圓周率計(jì)算等領(lǐng)域的獨(dú)特見解和深厚造詣。這些求和方法豐富了數(shù)學(xué)理論體系，彰顯了中國古代數(shù)學(xué)家勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，為學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)。

總之，數(shù)學(xué)文化類微課以數(shù)學(xué)家故事為核心內(nèi)容，通過講述數(shù)學(xué)家的研究成果和思考?xì)v程，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和創(chuàng)新精神。因此，在今后的教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師可以繼續(xù)優(yōu)化數(shù)學(xué)文化類微課的設(shè)計(jì)，注重知識體系的完整性，融入更多現(xiàn)實(shí)情境，全面提高微課的教學(xué)效果。同時，高中數(shù)學(xué)教師還要持續(xù)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和興趣，通過不斷調(diào)整和優(yōu)化教學(xué)策略，使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)文化的深厚內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維與創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)

[1]寧意婷，楊一帆，唐劍嵐.高中數(shù)學(xué)文化類微課優(yōu)化設(shè)計(jì)的案例分析與思考：以布豐投針為例[J]數(shù)學(xué)之友，2022，36（18）：34-35.

[2鄭雪靜.高中生直觀想象素養(yǎng)測評模型的構(gòu)建與實(shí)證研究[D].福州：福建師范大學(xué)，2021.

（責(zé)編 蒙秀溪）