連鑄切割過程的多目標非線性混合規(guī)劃模型

中圖分類號：TF777；O221；O244 文獻標識碼：A 文章編號：1672-0105（2025）01-0047-06

Mixed-integer Nonlinear Programming Model for Continuous Casting Cutting Process under Multiple Constraints

WANG Jijian （ZhejiangIndustryamp; TradeVocational College，Wenzhou 325oo3，China）

Abstract：Aiming atthe online optimization problem inthe continuous casting cuting process，a multi-objectiveoptimization model basedontheideaofbox problem modeling is proposed.The modelof“5boxesand1section”isconstructed andsolved by sequentialalgoithtoobtaintheoptialcutingshemeoftailbilet.Wenanabnomalityoccursintecystalizer，the“6boxes andlsection”modelisusedforralteoptimiationtoensuretheefectivenessofthecutingsheme.Ifnewabnormalityours againinthecrystalizer，the“6-boxmulti-segment”modelisusedtoadjustheorginalcutingschemetofurtherreducethecuting loss.The above three models provide a new method for online optimization of continuous casting cutting.

Keywords：cartoning problem; multi-bjectiveoptimizationmodel;sequentialalgotm;continuouscuting;on-ineoptization

0引言

連鑄是將鋼水變成鋼壞的生產過程，具體流程如圖1所示，鋼水連續(xù)地從中間包澆入結晶器，并按一定的速度從結晶器向下拉出進入二冷段，經過二冷段之后形成鋼坯，然后按照一定的尺寸要求對鋼壞進行切割。在連鑄停澆時，會產生尾壞，尾坯的切割也是連鑄切割的組成部分。在切割方案中，優(yōu)先考慮切割損失，要求切割損失盡量?。ㄟ@里將切割損失定義為報廢鋼坯的長度），再考慮用戶要求，在相同的切割損失下，切割出的鋼坯盡量滿足用戶的目標值。有關待切的鋼壞長度、切割具體尺寸等數據來自全國大學生數學建模競賽2021年D題[1]

1文獻綜述

關于連鑄切割在線優(yōu)化問題的研究，比較典型的解決方法有以下5個。一是把切割工藝簡單化，形成更為特殊的約束條件，所建立的雙目標優(yōu)化模型更加簡單，但切割損失過大。例如，在結晶器正常時，把切割后的鋼壞長度限定為8米、9米、9.5米和10米，切割損失64.1米；在結晶器出現異常且對原切割方案不作調整時，把切割后的鋼坯長度限定為9米、9.5米和10米，切割損失36米（不含報廢段）。[2]

二是在解決尾壞最優(yōu)切割問題時，先估計出最少可切割成 L₀ 段，最多可切割成 L₁ 段，在 [L₀，L₁] 內有 N 個整數，就有 N 個切割方法，然后針對每一個切割方法以切割損失最小建立單目標優(yōu)化模型，求解后通過比較 N 個切割方法的最優(yōu)值，取最優(yōu)值最小的那個切割方法的方案就是最優(yōu)方案。在解決結晶器出現異常情況下的切割問題時，分3種情況（1個報廢段、2個報廢段、需要二次切割）進行討論，分別建立了單目標優(yōu)化模型，得到了實時最優(yōu)切割方案。[3]

三是在解決尾坯最優(yōu)切割問題時，把切割后鋼坯的長度設定為4.8米、4.9米、5.0米、…、12.6米，一共有79種，每一種鋼坯切割 n_i 個（ i=1，2，…，79 ），其中9.5米的鋼壞根數是 n₄₈ ，把n₄₈?m 作為約束條件（ Ω_m 是主觀指定的整數），以切割損失最小建立了單目標優(yōu)化模型，得到了最優(yōu)切割方案。在解決結晶器出現異常情況下的切割問題時，把相鄰2個報廢段，轉化為在4.8米與8米之間存在2個報廢段，如果只有1個報廢段，就轉化為在4.8米與8米之間存在1個報廢段，從而把尾坯最優(yōu)切割模型推廣到實時最優(yōu)切割模型。[4]

四是在解決尾壞最優(yōu)切割問題時，把切割后鋼坯的長度設定為4.8米、4.9米、5.0米、·、12.6米，一共有79種，每一種鋼坯切割 n_i 個（ i=1，2，…，79 ），以切割損失最小、目標值鋼坯個數最多建立了雙目標優(yōu)化模型，得到了最優(yōu)切割方案。在解決結晶器出現異常情況下的切割問題時，把報廢段附著在正常段的前端或后端，從而轉化為尾壞最優(yōu)切割模型。[5-6]

五是從算法角度對連鑄切割問題進行深人研究，建立了最優(yōu)實時在線切割算法，從而實現在線實時切割。[7-8]

綜上所述，當前學術界針對連鑄切割在線優(yōu)化的研究主要使用多目標優(yōu)化模型，但在約束條件上過于特殊化，造成切割損失過大。基于此，本文借助裝箱問題的建模思想，建立多目標非線性混合規(guī)劃模型，巧妙地解決了連鑄切割的在線優(yōu)化問題，為制定最優(yōu)切割方案提供了一種新方法。

2針對尾壞制定最優(yōu)切割方案

案例I已知針對尾壞切割的基本要求如下：切割后的鋼壞長度必須在 4.8～12.6 米之間，否則無法運走，阻礙生產。下道工序能夠接受的鋼坯長度是8.0～11.6 米，如果不在此范圍內，可以將鋼坯運走進行二次離線切割，但切割下的部分報廢，從而產生損失。例如，12.6米的鋼坯切掉1.0米變成11.6米，切下來的1.0米報廢；而小于8.0米的鋼坯只能全部報廢。

正常要求如下：正常切割是按照用戶要求的長度進行切割。用戶要求包含目標值和目標范圍，鋼壞的切割長度應盡量滿足目標值，而在目標范圍內的長度也是可以接受的。例如，目標值是9.5米，目標范圍是 9.0～10.0 米，則切割長度盡量是9.5米，而在 9.0～10.0 米之間的長度是允許的。當鋼坯長度不在目標范圍內時，會產生損失。例如，鋼坯長度是11.6米，多出來的1.6米報廢。

在滿足基本要求和正常要求的條件下，對109.0來的尾坯制定最優(yōu)切割方案。假定用戶目標值為9.5米，目標范圍為 9.0～10.0 米，按“切割方案、切割損失”等內容列表給出具體的最優(yōu)切割方案。

2.1模型建立

設基本要求中的鋼壞長度范圍為 [a₁，a₂] ，正常要求中的目標范圍為 [c₁，c₂] ，目標值為 c ，尾坯長度為 d 。根據工藝參數的要求有 [c₁，c₂]?[a₁，a₂] 。

把尾壞長度 d 劃分為5部分，對應5個箱子，如圖2所示，1號箱的每根鋼坯長度等于目標值；2號箱的每根鋼坯長度在 [c₁，c₂] 之間；3號箱的每根鋼坯長度在 （c₂，a₂] 之間，需要離線二次切割而產生切割損失；4號箱的鋼坯長度在 [a₁，c₁） 之間（有1根或0根），直接報廢而產生切割損失；5號箱的鋼壞長度在 [0，a₁） 之間（有1根或0根），由于無法運走而不能切割。5個箱子的編號有規(guī)律，即編號越小的箱子希望裝入的鋼坯越多。

根據以上分析，設1號箱含有 n₁ 根鋼坯（ n₁?0 且為整數），每根鋼壞的長度為 x₁ ，且x₁=c ；2號箱含有 n₂ 根鋼坯（ n₂?0 且為整數），每根鋼坯的長度為 x₂ ，且 x₂∈[c₁，c₂] ；3號箱含有 n₃ 根鋼坯（ n₃?0 且為整數），每根鋼坯的長度為x₃ ，且 x₃∈（c₂，a₂] ，鋼坯需要離線二次切割；4號箱含有 n₄ 根鋼坯（ 0?n₄?1 且為整數），鋼坯的長度為 x₄ ，且 x₄∈[a₁，c₁） ，鋼壞需要直接報廢；5號箱含有 n_s 根鋼坯（ 0?n₅?1 且為整數），鋼坯的長度為 x_s ，且 x_s∈[0，a₁） 。

首先，分析目標函數。5號箱鋼壞導致無法運走，故優(yōu)先減少這一箱鋼坯的數量，于是第一目標為 f₁=n₅ ，求其最小值，即

minf₁=n₅

切割損失為第二目標且求最小值，即

minf₂=n₃（x₃-c₂）+n₄x₄+n₅x₅

在相同的切割損失下，切割出的鋼壞盡量滿足用戶的目標值，即

maxf₃=n₁

其次，分析約束條件。各箱鋼壞的根數要滿足

各箱的鋼壞長度要滿足

尾壞的總長度要滿足

由式 （1）～（6） 構成了優(yōu)化模型I。

2.2應用案例

模型I是多目標非線性混合優(yōu)化模型，適用于5箱1段的尾壞切割問題。采用序貫算法，即先以第一目標求解，然后把第一目標的最優(yōu)值作為約束條件，以第二目標求解，以此類推，最后得到的最優(yōu)解就是多目標優(yōu)化模型的解。

如果 f₁^*=1 ，即 n₅=1 ，說明5號箱有1個鋼坯，但無法運走，故不能切割，直接報廢，于是求解程序終止。

根據案例I中的要求得知， a₁=4.8 ， a₂=12.6 ，c=9.5 ， c₁=9.0 ， c₂=10.0 ， d=109.0 ，使用LINGO軟件求解，先以第一目標求解得 f₁^*=0 ，再把 f₁=0 作為約束條件，以第二目標求解得 f₂^*=0 ，再把 f₂=0 作為約束條件，以第三目標求解得， f₃^*=2 。切割方案是2個9.5米，10個9米，切割損失為0米。經過檢驗，該切割方案既符合正常要求，也符合基本要求。

如果尾坯長度是13.7米，則切割成10米和3.7米，由于3.7米不符合基本要求（或 n_s=1 ），故不能切割，直接報廢。

3制定實時最優(yōu)切割方案

案例ⅡI在澆鋼過程中，結晶器會出現異常。這時，位于結晶器內部的一段鋼坯需要報廢，稱此段鋼坯為報廢段（圖3）。當結晶器出現異常時，切割工序會馬上知道，以便立即調整切割方案。已知實時切割的工藝參數如下：切割機切斷一塊鋼壞的時間為3分鐘，切割后，返回到工作起點的時間為1分鐘。從結晶器中心到切割機工作起點處鋼壞的長度是60.0米，連鑄拉坯的速度為1.0米/分鐘。當結晶器出現異常時，報廢段的長度是0.8米。

在結晶器出現異常時，給出實時的最優(yōu)切割方案：（1）在鋼坯第1次出現報廢段時，給出此段鋼壞的切割方案；（2）在出現新的報廢段后，給出新一段鋼坯的切割方案和當前段鋼壞切割的調整方案，或聲明不作調整。假設結晶器出現異常的時刻在0.0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、266.0、270.7和327.9（單位：分鐘），用戶目標值是9.5米，目標范圍是 9.0～10.0 米。在滿足基本要求和正常要求的條件下，按“初始切割方案、調整后的切割方案、切割損失”等內容列表給出這些時刻具體的最優(yōu)切割方案。

3.1在結晶器出現新的異常時對原切割方案不作調整

3.1.1模型建立

假設以結晶器中心作為計時起點，如果把報廢段附著在拉坯的最后 （圖4），那么把這一段拉坯視為尾坯，就轉化為尾壞切割問題了。

設從切割機工作起點到結晶器中心的長度是 σ_s 米，鋼壞移動速度是 v 米/分鐘，報廢段長度為 ρ_e

米，則第1次出現異常時尾壞長度為

由于拉壞是連續(xù)的，設結晶器上次和新出現異常的時刻分別是 t₁ ， t₂ （分鐘），則前后出現2次異常的時間間隔為

t=t₂-t₁

新出現異常時尾壞長度為

d=vt

把尾坯長度 d 劃分為6部分，對應6個箱子，其中6號箱含有 n₆ 根鋼坯（ n₆=1 ），長度為 x₆ ，且 x₆∈（c₂+e，a₂] ， 1～5 號箱子的要求不變，于是切割損失為

minf₂=n₃（x₃-c₂）+n₄x₄+n₅x₅+（x₆-e-c₂）

6號箱鋼壞的根數要滿足

n₆=1

6號箱的鋼壞長度要滿足

c₂+e6?a₂

尾坯的總長度要滿足

由式（7） ～ （13）構成了優(yōu)化模型II。

3.1.2應用案例

模型ⅡI是多目標非線性混合優(yōu)化模型，適用于6箱1段（報廢段）的拉坯切割問題。

根據案例I和案例ⅡI中的信息得知， a₁=4.8 ，a₂=12.6，c=9.5，c₁=9.0，c₂=10.0，s=60 ，v=1 ， e=0.8 ， t₁ ， t₂ 的取值如表1第1列所示， d 的計算結果如表1第4列所示。

在式（13）中， ，故當d?c₂+e 時無解。例如，對于尾壞長度10.8米，不能優(yōu)化，可在切割后再作離線切割成10米和報廢段0.8米。再如，對于尾坯長度4.7米，由于小于10.8米，故不能優(yōu)化，切割后直接報廢。

實時最優(yōu)切割方案如表1所示。合計切割損失16.6米。

根據表1，按“尾壞長度、切割方案、切割損失”等內容列出實時最優(yōu)切割方案，如表2所示。

3.2在結晶器出現新的異常時對原切割方案作調整

3.2.1模型建立

當結晶器新出現異常時，切割工序會馬上知道，于是需要調整原有的切割方案形成新的切割方案，在切割機返回到工作起點時，切割機按照新的切割方案執(zhí)行切割任務。

設在新出現異常前原切割方案尾壞長度為 d 米，在新出現異常前已經切掉的尾坯長度為 h 米，則在制定新方案時的尾壞長度為

d₂=d-h+vt

通常情況下，尾坯 d₂ 含有2個報廢段，但如果結晶器頻繁出現異常就有可能含有3個及以上報廢段，不管有幾個報廢段，都以每個報廢段為分界線，把尾坯 d₂ 劃分為若干個子尾坯，然后分別以子尾坯為單位制定切割方案，再把這些切割方案串聯(lián)起來組成母尾壞的切割方案。以2個報廢段為例，令

則 d₂₁ 表示在新出現異常時原切割方案尾壞長度被

切割剩余部分， d₂₂ 表示在新出現異常時尾壞長度的增量，于是分別以 d₂₁ 、 d₂₂ 為尾坯長度，使用模型Ⅱ求解2次就可以得到調整后的切割方案。

為方便起見，把6箱多段（報廢段）的多目標優(yōu)化模型稱為模型IⅢI，它適用于多個報廢段的拉壞切割問題。

3.2.2應用案例

仍然以案例Ⅱ為例，已知 a₁=4.8 ， a₂=12.6 ，c=9.5 ， c₁=9.0 ， c₂=10.0 ， s=60 ， v=1 ， e=0.8 ，其余參數的計算結果如表3所示。

按“尾坯長度、切割方案、切割損失”等內容列出具體的實時最優(yōu)切割方案，如表4所示。

下面舉例進行說明。當結晶器第7次出現異常時，距離上次異常的時間是32.7分鐘，拉坯向前延長了32.7米，切割機按照原方案依次切割完9.5米、10米，并開始切割第2個10米時，花費時間29.5分，此時結晶器尚未出現異常，切割機需要切割的下一個鋼壞是10.8米（含報廢段），它必須在4分鐘后返回起點并等待6.8分鐘才能切割，但是當它正在返回途中時結晶器就出現了新的異常，此時立即制定新的切割方案，于是尾壞長度是86米一 82.8-29.5+32.7=86） ，由于86米包含3個報廢段，故把它分為3段，第1段是10.8米（含報廢段），直接切割，切割損失為0米；第2段是42.5米，已經有最優(yōu)切割方案了，切成2個10米、11.7米、10.8米（含報廢段），切割損失為1.7米；第3段是新增的32.7米，使用模型Ⅱ求解得，切成2個10.7米、11.3米（含報廢段），切割損失為1.9米。

于是調整后的切割方案（包括切割順序）為：10.8米（含報廢段）、2個10米、11.7米、10.8米（含報廢段）、2個10.7米、11.3米（含報廢段），預計切割損失為3.6米。而第6次出現異常并已成事實的切割方案為：9.5米、2個10米，實際切割損失為0米。

當結晶器第8次出現異常時，距離上次異常的時間是4.7分鐘，拉坯向前延長了4.7米，切割機尚未開始切割結晶器就出現了新的異常，此時立即制定新的切割方案，于是尾坯長度是90.7米（ 86-0+4.7=90.7 ），由于90.7米包含4個報廢段，故把它分為4段，前3段切割方案不變，于是切割方案（包括切割順序）為：10.8米（含報廢段）、2個10米、11.7米、10.8米（含報廢段）、2個10.7米、11.3米（含報廢段）、4.7米（含報廢段），預計切割損失為7.5米。而第7次出現異常并已成事實的切割方案為：不切，實際切割損失為0米。

根據表4統(tǒng)計，前8次總切割損失為10.8米。如果采用不調整的做法，則前8次總切割損失為16.6米，調整效果非常明顯，說明針對原方案進行適時調整是必要的。

4結束語

在解決連鑄切割的在線優(yōu)化問題時，借助“裝箱問題”的建模思想，如果要制定尾壞的最優(yōu)切割方案，那么建立“5箱1段”的多目標非線性混合規(guī)劃模型，使用序貫算法可得最優(yōu)解；如果在結晶器出現異常時要制定拉坯的最優(yōu)切割方案，那么建立“6箱1段”的多目標非線性混合規(guī)劃模型，使用序貫算法可得最優(yōu)解；如果在結晶器出現新的異常時要對原方案進行調整，那么建立“6箱多段”的多目標非線性混合規(guī)劃模型，使用序貫算法可得最優(yōu)解。

本文所建立的3個模型與同類模型相比具有以下優(yōu)勢：一是建立的多目標非線性混合規(guī)劃模型，以基本要求和正常要求為約束條件，以長度小于4.8米的鋼坯根數最少、切割損失最小、目標值鋼坯根數最多為目標，實現了制定實時最優(yōu)切割方案的目的。二是使用序貫解法求解模型能夠得到最優(yōu)解。三是能夠識別出不能切割的尾坯，并且鋼壞長度的精度可調節(jié)。四是每當結晶器出現異常時就對原切割方案進行調整，可大幅度降低切割損失?？傊疚哪Ｐ筒坏嬖谧顑?yōu)解，而且切割損失非常小，優(yōu)化效果顯著，為連鑄切割的在線優(yōu)化提供了一種新方法。

參考文獻：

[1]全國大學生數學建模競賽.全國大學生數學建模競賽[EB/OL].（2023-5-12）[2024-12-6].htps：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/90d223833c1eb50f899aa096a66c6896.html.

[2]鄒臘英.基于Lingo軟件的連鑄切割優(yōu)化模型研究[J].科技與創(chuàng)新，2023（15）：29-31.

[3]李美霞.連鑄切割的在線優(yōu)化[J].武漢工程職業(yè)技術學院學報，2024，36（01）：27-30.

[4]葉菊芳.連鑄切割的在線優(yōu)化模型[J].湖北職業(yè)技術學院學報，2022，25（01）：107-112.

[5]褚麗娜，鄧金龍.連鑄切割在線優(yōu)化的模型與算法[J].自動化應用，2022（12）：101-103.

[6]薛毅.“連鑄切割的在線優(yōu)化\"的問題解析[J].數學建模及其應用，2022，11（01）：82-90.

[7]蔡志杰.連鑄切割的在線優(yōu)化[J].數學建模及其應用，2022，11（02）：67-79.

[8]施呂蓉，靳陶雯婷，任露露，等.尾壞連鑄切割優(yōu)化模型的研究[J].蕪湖職業(yè)技術學院學報，2022，24（03）：53-57.

（責任編輯：麻小珍）