概率猶豫模糊偏好關(guān)系中矛盾程度計算及解決算法研究

1965年 Zadeh[1]教授提出了模糊集的概念，使得采用數(shù)學(xué)定量方法處理模糊問題成為可能，從此，模糊集相關(guān)理論得到了迅速發(fā)展。2010年Torra[2]提出了猶豫模糊集的概念，克服了一般模糊集細(xì)節(jié)信息不豐富的瑕疵，使得單一評價值可以同時保存多個可能值，從源頭上提高了原始數(shù)據(jù)的可靠性?；诖?，2017年Zhang 等[3」為猶豫模糊集中每個評價值增加了概率信息，提出了概率猶豫模糊集的概念，克服了不同評價值權(quán)重全部相同的缺點，進(jìn)一步提升了原始評價數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)程度。

決策問題是指在面對多個備選方案時，在有限時間內(nèi)，專家需要基于相關(guān)知識和偏好做出最佳選擇的過程[4]。相對于逐個方案評分法，兩兩比較法更容易獲得科學(xué)合理的單個評價值[5]，所有備選方案的兩兩比較值構(gòu)成了偏好關(guān)系方陣。雖然，概率猶豫模糊集相關(guān)理論的發(fā)展[6]，解決了專家在多個評價之間難以取得一致性的問題[7]，提高了決策結(jié)果的可信度，然而，偏好關(guān)系方陣中數(shù)據(jù)一致性是兩兩比較法無法回避的難題[8]本文的主要目標(biāo)是通過分解模型研究偏好關(guān)系方陣中數(shù)據(jù)一致性的計算方法。

1理論分析與數(shù)據(jù)處理

良好的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能夠采集更多原始細(xì)節(jié)信息，是提升算法可信度的根本保證[9]

1.1概率猶豫模糊比較集

在備選方案 A_i ， eqj ）兩兩比較時，其比較值采用概率猶豫模糊集可以表示為： h_ij（p_ij） ，概率猶豫模糊比較集并非單值，其展開形式如下所示：

式（1）中，符號 #h_ij 表示概率猶豫模糊比較集 h_ij（p_ij） 中包含評價值的總數(shù)量，不同概率猶豫模糊比較集中包含評價值的總數(shù)量不一定相等；符號 ）表示評價值，其取值范圍為： 0ij^mlt;1 ；符號 p_ij^m（m∈{1， 2 …， ）表示評價值對應(yīng)的概率值，其取值范圍為： 0ij^m?1 ，且所有概率值之和為1，即： ；符號 （20表示評價元素，概率猶豫模糊比較集由多個評價元素組成，并按照評價值的升序進(jìn)行排序。

如果評價值 h_ij^m 滿足不等式 0ij^mlt;0.5 ，表示備選方案 A_i 不如備選方案 A_j ；如果評價值 h_ij^m 滿足不等式 0.5ij^mlt;1 ，表示備選方案 A_i 優(yōu)于備選方案 A_j ；如果評價值 h_ij^m 滿足等式 h_ij^m=0.5 ，表示備選方案 A_i 與備選方案 A_j 毫無差別。

1.2關(guān)聯(lián)概率猶豫模糊比較集

顯然，在偏好關(guān)系方陣中概率猶豫模糊比較集 h_ji（p_ji） 與概率猶豫模糊比較集 h_ij（p_ij） 并非彼此獨立，且緊密關(guān)聯(lián)。具體而言，兩個比較集中包含的評價值總數(shù)量相等，即： #h_ji=#h_ij ；滿足和性互補原則，即：h=1-+1； ；概率值相等，即：P=P 。

符號 h_ji（p_ji） 稱為概率猶豫模糊比較集 h_ij（p_ij） 的關(guān)聯(lián)概率猶豫模糊比較集，其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下所示：

h_ji（p_ji）={h_ji¹∣p_ji¹， （2）

1.3概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣

通過備選方案 A_i（i∈{1，2，…，n} ）兩兩比較，共獲得 n² 個概率猶豫模糊比較集 h_ij（p_ij） （i，j∈{1，2，…，n}; ），它們構(gòu)成了概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣。如下所示：

當(dāng)備選方案 A_i 與自己比較時，很顯然，兩個備選方案毫無差別，根據(jù)上文，其值可記錄為：h_ii（p_ii）={0.5∣1} （ ）。根據(jù)公式（2），概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣中的元素與主對角線呈關(guān)聯(lián)對稱，所以概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣中僅僅只有主對角線以上的元素需要專家進(jìn)行評測。

1.4單值化處理

雖然概率猶豫模糊比較集的多值化結(jié)構(gòu)利于保存更多原始評價細(xì)節(jié)信息，然而，這種結(jié)構(gòu)不利于后續(xù)算法利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行規(guī)范化處理。因此，可以使用公式（3）對其進(jìn)行單值化處理。

概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣 H（P） 中的元素經(jīng)過單值化處理后，得到單值偏好關(guān)系方陣 S_n ，其結(jié)構(gòu)如下所示：

根據(jù)上文可得，單值偏好關(guān)系方陣 s 中元素的取值范圍為： 0ijlt;1 （i， j∈{1 ，2，…， ），根據(jù)公式（3），所有主對角線元素 s_ii（i= 1，2，…， n_? ）的值為0.5。

1.5積性偏好關(guān)系方陣

如前文所述，概率猶豫模糊比較集遵守和性互補原則，即： 。當(dāng)兩個備選方案A_i 和 A_j 毫無差別時，其評價值為0.5，該值也是評價值的等價點。相對于和性互補原則，積性互補原則更能直觀展現(xiàn)出兩個備選方案的相差程度。

通過公式（4）將單值偏好關(guān)系方陣 s 中主對角線及以上的元素進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并按照公式（5）計算與主對角線對稱元素的值，構(gòu)建積性偏好關(guān)系方陣 F 。

將 s_ii= 0.5 1 （i=1，2，…，n） ，代人公式（4），得到 f_ii=0.5（i=1，2，…，n） ，所以積性偏好關(guān)系方陣 F 主對角線上的值都為1。積性偏好關(guān)系方陣 F 的結(jié)構(gòu)如下所示：

經(jīng)過以上變換，偏好關(guān)系方陣 F 中的元素遵守積性互補原則，其意義更加簡單明了，假設(shè) f₁₂ Ψ=4.3 ，則表示備選方案 A₁ 的綜合評價值是備選方案 A₂ 的4.3倍，積性偏好關(guān)系方陣的等價點為1，更符合人們常識。

2基于分解模型的一致性計算

偏好關(guān)系方陣中的數(shù)據(jù)是由備選方案兩兩比較而得，雖然從微觀上看，這種方法利于專家做出科學(xué)合理的判斷，但是缺乏整體衡量過程，特別是當(dāng)備選方案較多時，數(shù)據(jù)間難免存在矛盾，一致性 CI 是衡量偏好關(guān)系方陣中矛盾程度的重要指標(biāo)，其取值范圍為： 0?CI?1 ，取值越大表示偏好關(guān)系方陣中數(shù)據(jù)間矛盾程度越低。

2.1單備選方案

為了嚴(yán)謹(jǐn)起見，本文從單備選方案開始討論。當(dāng)備選方案 A_i（i∈{1，2，…，n} ）只有一個時，即： n=1 ，此時，無法對備選方案進(jìn)行兩兩比較，無法構(gòu)建偏好關(guān)系方陣，數(shù)據(jù)間自然不存在任何矛盾。顯然，該唯一方案 A₁ 一定為最優(yōu)方案，且完全滿足一致性，即 CI₁=1 。

2.2雙備選方案

當(dāng)備選方案 A_i（i∈{1，2，…，n} ）有兩個時，即： n=2 。構(gòu)建概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣H₂（P） ，如下所示：

根據(jù)上節(jié)提出的理論，先后計算單值偏好關(guān)系方陣 S₂ 和積性偏好關(guān)系方陣 F₂ ，其結(jié)構(gòu)如下所示：

由于只有兩個備選方案，專家只需給出了一個評測值 h₁₂ ，其他數(shù)據(jù)都是常數(shù)或者根據(jù)該值計算而來，數(shù)據(jù)間不存在任何矛盾，偏好關(guān)系方陣完全滿足一致性，即 CI₂=1 。如果 f₁₂gt;1 ，則備選方案 A₁gt;A₂ ；如果 f₁₂=1 ，則備選方案 A₁ 與備選方案 A₂ 毫無差別；如果 f₁₂lt;1 ，則備選方案 A₁ gt;A₂ 。

2.3三個備選方案

當(dāng)備選方案 A_i（i∈{1，2，…，n} ）有三個時，即： n=3 。構(gòu)建概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣H₃（P） ，如下所示：

概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣 H₃（P） 經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到單值偏好關(guān)系方陣 S₃ 和積性偏好關(guān)系方陣 F₃ ，如下所示：

由于猶豫模糊偏好關(guān)系方陣 H₃（P） 中只有h₁₂ ， h₁₃ 和 h₂₃ 是專家給出的評測值，積性偏好關(guān)系方陣 F₃ 中本質(zhì)上只有三個基本數(shù)據(jù)，分別是 f₁₂ ，f₁₃ 和 f₂₃ 。假設(shè)符號 ）能夠代表每個備選方案 A_i（i∈{1，2，…，n}） ）的價值，根據(jù)積性偏好關(guān)系方陣的根本意義，下列式子成立。

根據(jù)以上三個式子進(jìn)行推導(dǎo)，可得下式成立：

由此可見，積性偏好關(guān)系方陣 F₃ 中三個基本數(shù)據(jù)并非彼此獨立，理想情況下，它們應(yīng)該滿足等式（6）。然而，由于 h₁₂ ， h₁₃ 和 h₂₃ 是專家經(jīng)過評測分別單獨給出的，且 f₁₂ f₁₃ 和 f₂₃ 由 h₁₂ ， h₁₃ 和h₂₃ 通過層層計算而得，所以等式（6）難以滿足，這也是偏好關(guān)系方陣無法滿足完全一致性的根本原因，且與該等式偏離越大，偏好關(guān)系方陣的一致性越低。根據(jù)以上原理，提出一致性計算方法，如下所示：

三個備選方案構(gòu)成的偏好關(guān)系方陣也稱為基礎(chǔ)偏好關(guān)系方陣，它是后續(xù)分析復(fù)雜偏好關(guān)系方陣的基礎(chǔ)。當(dāng)一致性大于等于閥值時，即： CI? τ ，表示偏好關(guān)系中數(shù)據(jù)矛盾程度在允許范圍內(nèi)，可以根據(jù)下節(jié)中提出的公式（10）計算每個方案的得分值，并進(jìn)行排序；當(dāng)一致性小于閥值時，即： CI₃lt;τ ，表示偏好關(guān)系中數(shù)據(jù)矛盾程度較大，如果必須遵循專家的原始數(shù)據(jù)，則將數(shù)據(jù)返還給專家進(jìn)行重新評測。

2.4多個備選方案

當(dāng)備選方案 A_i（i∈{1，2，…，n} ）有多個時，即： ngt;3 。構(gòu)建概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣H_n（P） ，其結(jié)構(gòu)如下所示：

概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣 H_n（P） 經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到單值偏好關(guān)系方陣 S_n 和積性偏好關(guān)系方陣 F_n ，其結(jié)構(gòu)分別如下所示：

對于復(fù)雜偏好關(guān)系方陣，將積性偏好關(guān)系方陣 F_n 分解為 η 個基礎(chǔ)偏好關(guān)系方陣 f_αβK （α，β，χ ∈{1，2，…， |n| ， α≠β≠χ ， η 的計算方法如下所示：

A₁A₂A₄

A₁A₃A₄

根據(jù)公式（7）計算每個基礎(chǔ)偏好關(guān)系方陣f_αβK 的一致性值 CI_αβK ，按照木桶原理，其中最小值為偏好關(guān)系方陣 F_n 的一致性 CI_n ，計算方法如下所示：

CI_n=min（CI_αβχ）（α，β，χ∈{1，2，…，

當(dāng)一致性大于等于閥值時，即： CI_n?τ ，根據(jù)公式（10）計算各個備選方案的得分值，根據(jù)其大小對備選方案進(jìn)行排序；當(dāng)一致性小于閥值時，即： CI_nlt;τ ，如果必須遵循專家的原始數(shù)據(jù)，不希望通過算法進(jìn)行調(diào)整，則將數(shù)據(jù)返還給專家進(jìn)行重新評測。

3案例分析

人工智能類頂級賽事聚焦于最前沿技術(shù)，如計算機視覺、自然語言處理、深度學(xué)習(xí)等。為人工智能領(lǐng)域的人才培養(yǎng)提供了重要平臺，通過組織學(xué)生參與比賽，可以鍛煉大學(xué)生的實踐能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，積累寶貴的經(jīng)驗。在比賽中脫穎而出的選手往往具備出色的技術(shù)實力和創(chuàng)新能力，他們往往成為企業(yè)和研究機構(gòu)爭相引進(jìn)的對象[10]

經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，我們已經(jīng)積累了多種財經(jīng)類院校人工智能類頂級賽事組織和指導(dǎo)的模式。這些模式的考慮因素包括培訓(xùn)和參賽經(jīng)費、培養(yǎng)人數(shù)、獲獎等級、培訓(xùn)工作量和安全等指標(biāo)。經(jīng)過篩選剩下四種培養(yǎng)模式，它們各有優(yōu)缺點，難以取舍，并且專家之間存在爭議，難以達(dá)成共識。為此，借助本文提出的算法進(jìn)行處理。

假設(shè)一致性閥值 τ 為 0.9 。四種模型分別被記為備選方案 A₁ ， A₂ ， A₃ 和 A₄ ，備選方案兩兩比較，得到概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣 H₄（P） ，根據(jù)算法，專家只需要對偏好關(guān)系主對角線以上元素進(jìn)行評測，為此，只列出偏好關(guān)系主對角線及以上元素值，如下所示：

從以上比較數(shù)據(jù)看，備選方案間差距甚小，無法通過普通算法進(jìn)行排序。按照本文提出的算法，根據(jù)公式（3）對概率猶豫模糊偏好關(guān)系方陣

H₄（P） 中的元素進(jìn)行單值化處理，得到單值偏好關(guān)系方陣 S₄ ，如下所示：

根據(jù)公式（4）和公式（5）對單值偏好關(guān)系方陣 S₄ 進(jìn)行處理，構(gòu)建積性偏好關(guān)系方陣 F₄ ，如

下所示：

由于備選方案數(shù)量大于3，即： ngt;3 ，必須將 根據(jù)公式（8）計算 η 的值為4。積性偏好關(guān)系方陣分解為 η 個基礎(chǔ)偏好關(guān)系方陣。

根據(jù)公式（7）計算各個基礎(chǔ)偏好關(guān)系方陣的一致性，分別為：

gt;A₁ ，備選方案 A₂ 為最優(yōu)組織和指導(dǎo)模式。備選方案得分值之間相差很小，最小差值僅為0.02293217，模型依然能夠?qū)ζ溥M(jìn)行鑒別和排序，充分體現(xiàn)了算法的分辨力。

根據(jù)公式（9），積性偏好關(guān)系方陣 F₄ 的一致性為：

由于一致性大于閥值，即： CI₄gt;τ ，表明偏好關(guān)系數(shù)據(jù)間存在的矛盾在允許范圍內(nèi)。根據(jù)公式（10）計算各個備選方案的得分值，如下所示：

E₁=f₁₁×f₁₂×f₁₃×f₁₄=1×0.968503937× 1.014098691×0.945525292=0.928655773

E₂=f₂₁×f₂₂×f₂₃×f₂₄=1.032520325×1× 0.960784314×1.06185567=1.053391971

1.040816327×1×1.004008016=1.030459801 E₄=f₄₁×f₄₂×f₄₃×f₄₄=1.057613169×

0.941747573×0.996007984×1=0.992028568 由于 E₂gt;E₃gt;E₄gt;E₁ ，所以 A₂gt;A₃gt;A₄

經(jīng)過實際測算，以上步驟均有一個前提要求，模糊集中包含評價值的數(shù)量必須相等，否則無法進(jìn)行計算。如果評價值數(shù)量不相等，必須使用中間值0.5進(jìn)行補齊，很明顯，這種方法違背了專家原始評測意見，使得評測結(jié)果可信度降低。

5總結(jié)

在日常生活、生產(chǎn)經(jīng)營、醫(yī)療治療、金融商業(yè)、科學(xué)計算和重大工程等領(lǐng)域，決策問題無處不在。決策問題可以簡單地描述為在有限的信息和時間內(nèi)挑選出最優(yōu)方案。兩兩比較法無疑是解決決策問題的最優(yōu)方法，然而當(dāng)備選方案較多時，一致性是兩兩比較法不得不面對和解決的難題。

4算法比較

追本溯源，Tanino最早對偏好關(guān)系一致性展開了系統(tǒng)性研究，隨后其理論得到了眾多學(xué)者的認(rèn)可和發(fā)展[]。當(dāng)模糊偏好關(guān)系 H=（h_ik）_n×n 滿足以下積性傳遞性時，稱其滿足積性一致性，即：

k∈{1，2 …， |n} ） （11）

這種方法沒有將模糊集進(jìn)行單值化處理，隨著模糊集結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化，該方法已經(jīng)無法衡量模糊集的一致性。

學(xué)者們通過公式（12）構(gòu)建完美一致性偏好關(guān)系[12]，并通過公式（13）計算偏好關(guān)系與閥值之間的距離，如果距離小于閥值，則偏好關(guān)系數(shù)據(jù)間的矛盾程度在允許范圍內(nèi)；否則，偏好關(guān)系數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)必須進(jìn)行調(diào)整。

相對于單一實數(shù)，概率猶豫模糊比較集能夠保存更多細(xì)節(jié)原始信息，同時也解決了專家們在評測時在多個取值間猶豫不決的問題；單值化算法的提出能夠?qū)⒓限D(zhuǎn)換為實數(shù)，有利于后續(xù)算法采用規(guī)范的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析、推導(dǎo)和求解；積性轉(zhuǎn)換方法使得偏好關(guān)系信息更加直觀，更加符合人們對于偏好的普遍理解；針對偏好關(guān)系方陣中的一致性難題提出了分解模型，從單備選方案到多備選方案，對偏好關(guān)系方陣中的一致性問題一一進(jìn)行分析和求解，使用邏輯推導(dǎo)法找出偏好關(guān)系方陣中存在不一致的根本原因，并提供了解決方案；針對備選方案排序問題提供了計算方法；與其他一致性計算方法的比較，充分展現(xiàn)了算法充分尊重專家原始信息的優(yōu)勢，體現(xiàn)了算法的可信度。

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Research on Calculation and Solution of Contradiction Degree in Probabilistic Hesitant Fuzzy Preference Relations Matrix

FU Mingl，WANG Lifang2 （1. School of Management Science and Engineering， Anhui University of Finance amp; Economics; 2. School of International Trade and Economics， Anhui University of Finance amp; Economics， Bengbu，Anhui 233030，China）

ABSTRACTThe advantages of the comparison-method in decision-making were analyzed. The introduction of probabilistic hesitant fuzzycomparisonset made itposible tosave more originalinformation，whichimproved thequalityof the algorithm fromthe source.Thesingle-valued processing ensuredthatthesubsequent algorithmscan beanalyzed byusingstandard mathematical methods，andthepositivetransformation madethepreferencerelationsmoreinline with its essential significance.This paper analyzed therotcausesofcontradictions inthe preferencerelations，focusedonthecalculationmethodofconsistency，and gavethecalculation methodofthescorevalueof alternatives，which wassetasthebasis forranking alternatives.Comparedwithotherconsistencycalculationmethods，itshowedtheadvantageof thealgorithm without adding anyadditional information.The method was applied tothe fuzzy decision-making problem oftheorganizationand guidance modeofthetopartificial intelligence competitions infinancialcoleges，which showedtheadvantages and efficiency of the algorithm.

KEY WORDSdegree of contradiction；product consistency；optimal decision； top competitions；organization and guidance mode

（責(zé)任編輯 王一諾）