基于波利亞解題理論的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）17-0062-03

隨著新課程改革的不斷深入，學(xué)生的問題解決能力備受關(guān)注.解題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，它不僅能夠檢驗學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的掌握程度，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)1.波利亞解題理論作為一種經(jīng)典的思維方法和解題方法，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中發(fā)揮著重要作用[2.筆者以2024年南通市中考數(shù)學(xué)第18題為例，詳細闡述波利亞解題理論在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，供讀者參考.

1 波利亞解題理論概述

波利亞解題理論既是解題的一般思路，又蘊含著豐富的問題解決心理機制.它主要包括四個步驟：理解問題、擬定計劃、實施計劃和回顧反思[3].

1. 1 理解問題

在初中數(shù)學(xué)解題過程中，理解問題是解題的第一步.學(xué)生首先需要認真閱讀題目，明確已知條件和所求問題.在理解問題的過程中，學(xué)生可以借助畫圖、列表、舉例等方式將問題直觀化，以便更好地把握問題的本質(zhì)，為問題解決創(chuàng)造有利條件.

1. 2 擬定計劃

擬定計劃是解題的關(guān)鍵步驟，要求學(xué)生根據(jù)已知條件和所求問題，尋找解題的基本思路和方法.在擬定計劃的過程中，學(xué)生需要回顧所學(xué)的知識與方法，回憶以前是否解決過類似的問題，并思考能否利用以前的解題思路和方法解決現(xiàn)在的問題.

1.3 實施計劃

實施計劃是解題的具體過程，要求學(xué)生按照擬定的計劃寫出詳細的解題過程.在實施計劃的過程中，學(xué)生要注意計算的準(zhǔn)確性、證明的嚴謹性和書寫的規(guī)范性，確保解題過程的準(zhǔn)確無誤.

1.4 回顧反思

回顧反思是解題的最后一步，要求學(xué)生對解題過程進行回顧和反思，總結(jié)解題經(jīng)驗和方法.在回顧反思的過程中，學(xué)生可以思考以下問題：解題方法是否正確？是否有其他更好的解題方法？類似的方法能否解決其他問題？以此提高運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

2 試題呈現(xiàn)

試題1（2024 年南通市中考數(shù)學(xué)第18 題）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 A（3，0），B（0，3） 直線 y=kx+b（k，b 為常數(shù)，且 kgt;0 ）經(jīng)過點（1，0），并把 ΔAOB 分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為 則 k 的值為

3基于波利亞解題理論的解題教學(xué)過程

3.1 理解問題

問題1 已知條件是什么？

已知點 A（3，0），B（0，3） ，它們與坐標(biāo)原點確定了一個直角三角形，即 ΔAOB. 直線 y=kx+b 滿足 k gt;0 且過點 C（1，0） .直線 y=kx+b 把 ΔAOB 分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為15.

問題2 未知量是什么？

ΔAOB 的面積和直線 y=kx+b 的解析式.

問題3 題目要求什么？

根據(jù)題意易知，本題需要求 k 的值問題4 這是一道什么問題？

這是一道平面幾何與一次函數(shù)相結(jié)合的問題問題5 你能根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形嗎？

根據(jù)題意可得如圖1所示的圖形，點 D 是直線AB 與直線 y=kx+b 的交點.

3.2 擬定計劃

回顧相關(guān)知識引導(dǎo)學(xué)生回憶一次函數(shù)的相關(guān)知識.例如，怎樣求一次函數(shù)的解析式、怎樣求兩條直線的交點坐標(biāo)及三角形面積公式等相關(guān)知識.

聯(lián)想相似問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧以前是否見過類似的問題.學(xué)生經(jīng)過回憶，聯(lián)想到以下類似的問題試題2 已知直線 l₁ 過 A（0，2），B（2，0） 兩點，直線 l₂：y=mx+b 過點（1，0），且把 ΔAOB 分成兩部分，其中靠近原點的部分是一個三角形.設(shè)此三角形的面積為 s ，求 s 關(guān)于 m 的函數(shù)解析式及自變量 ?_m 的取值范圍.

問題6 解決試題2的思路是什么？

首先求出直線 l₂：y=mx+b 與相關(guān)直線的交點坐標(biāo)，然后根據(jù)問題中的面積關(guān)系確定參數(shù)之間的關(guān)系，進而解決問題.

問題7 你可以仿照以上思路擬定試題1的解決方案嗎？

仿照以上思路，擬定試題1的如下解題方案第一步，求出直線 AB 的解析式；

第二步，根據(jù)直線 y=kx+b 過點 C（1，0） ，求出參數(shù) ^k，b 之間的關(guān)系；

第三步，求出直線 AB 與直線 y=kx+b 的交點D 的坐標(biāo)（用字母表示）；

第四步，根據(jù)條件S四邊形OCDB 列出方程，解方程求出 k 的值.

3.3 實施方案

設(shè)直線 AB 的解析式為 y=mx+n ，把 A（3，0） ，

B（0，3） 代入，可得 解得 從而

可知直線 _AB 的解析式為 y=-x+3 .因為直線 y

=kx+b 經(jīng)過點 C（1，0） ，將點 C（1，0） 代入，得 k+b

=0 ，即 ，所以 y=kx-k 聯(lián)立方程組得

解得 從而可得（204號

易知 OB=3，OA=3，AC=2 ，所以

根據(jù)題意S四邊形OCDB 1 故

即 解得 1

3.4 回顧反思

問題8 如何檢驗所得的結(jié)果是否正確？

將 和 b=-k 代人直線 y=kx+b ，求出直線 CD 的解析式為 再與直線 AB 的解析式 y=-x+3 聯(lián)立，可求出點 D 的坐標(biāo)為 從而S△ACD 所以S四邊形OCDB 故結(jié)果正確.

問題9 還有其他解法嗎？

根據(jù)條件易知S△ACD =S△ABO-S四邊形CDB 設(shè)點D的縱坐標(biāo)為yD，則 S△ACD ： 又因為 AC=2 ，所以 易知直線_AB 的解析式 y=-x+3 ，將 代人可得點 D 的橫坐標(biāo)為 將點 C（1，0） 和點 代人 y=kx （204號+b 得 從而可知

問題10 你能用此方法解決類似的問題嗎？

引導(dǎo)學(xué)生嘗試改編原試題，得到以下變式.

變式如圖2，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知A（3，0），B（0，3） ，直線直線 y=kx+b（k，b 為常數(shù)，且 kgt;0 ）經(jīng)過點 C（1，0） ，并把 ΔAOB 分成面積相等的兩部分，則 k 的值為

解法1如圖2，設(shè)直線 AB 與直線 y=kx+b 交于點 D .類似前文可知直線 AB 的解析式為 y=-x +3 ，直線 CD 的解析式為 y=kx-k ，點 D 的坐標(biāo)為 因為 根據(jù)條件可知 故 即 解得 k=-9

解法2 根據(jù)條件易知 S△ACD 設(shè)

點 D 的縱坐標(biāo)為 y_D ，則 又

因為 AC=2 ，所以 由解法1可知直線 AB 的

解析式 y=-x+3 ，將 代人可得點 D 的橫坐

標(biāo)為 將點 C（1，0） 和點 代入 y=kx+b

得 解得 從而可知 k=-9 ，

4結(jié)束語

波利亞解題理論涵蓋理解問題、擬定計劃、實施計劃和回顧反思四個步驟，這四個步驟構(gòu)成了一個完整的解題體系，它不僅僅關(guān)注解題的結(jié)果，更注重解題的過程，引導(dǎo)學(xué)生從多個角度去思考問題，逐步建立起正確的解題思路，進而培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣和解決問題的能力.

參考文獻：

[1］尹秋云，莫興展.基于波利亞“怎樣解題表”的中考試題教學(xué)實踐研究：以2023年廣東省中考數(shù)學(xué)第23題為例[J].理科考試研究，2024（14） ：2-6.

[2]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2018.

[3］劉忠新，張素紅.基于波利亞“四部曲”提高解題教學(xué)效率：以2020年北京市中考題第26題教學(xué)為例［J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2020（11） ：24 -27.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]