高中物理教學(xué)中萬有引力作用下天體的運動問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

在高中物理教學(xué)中，天體運動是一個重要的課題，其涉及物體在萬有引力作用下圍繞其他天體的運動狀態(tài).這些運動問題不僅涉及復(fù)雜的物理概念，如向心力、角速度、線速度等，還需要學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具進行計算.因此，理解和掌握天體運動問題是學(xué)生學(xué)習(xí)物理的重要內(nèi)容.

1萬有引力定律內(nèi)涵及其應(yīng)用

萬有引力定律是牛頓力學(xué)體系中的一個重要定律，描述了任意兩個物體之間存在的引力，這個引力大小與兩物體質(zhì)量的乘積成正比，與兩物體間距離的平方成反比.這一定律在物理學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，不僅解釋了行星、衛(wèi)星等天體之間的相互吸引現(xiàn)象，也為地球上的物體提供了一個相對準確的引力場模型.在實際應(yīng)用中，萬有引力定律通常用于計算天體間的引力作用，以及預(yù)測天體運動軌跡.在天文學(xué)中，萬有引力定律是預(yù)測行星和衛(wèi)星軌道、計算天體運行所需燃料等問題的關(guān)鍵.

2 高中物理教學(xué)中常見天體運動問題及其解題方法

2.1 圓周運動問題

首先需要明確線速度與角速度的關(guān)系，即v=ω?r ，其中， r 代表圓周運動的半徑.這個關(guān)系的重點在于理解線速度與角速度的定義，并能夠在解決問題時正確應(yīng)用.同時也要注意單位換算，線速度的單位是“米/秒（ （m/s ）”，角速度的單位是“弧度/秒（rad/s）”.向心力與質(zhì)量、速度的關(guān)系也是教學(xué)重點，公式為F=mv2 ，表明向心力與天體的質(zhì)量和線速度的平方成正比，與半徑成反比[1].

例1現(xiàn)有一衛(wèi)星繞其行星作勻速圓周運動，已知該行星表面重力加速度為 ，行星的質(zhì)量約為衛(wèi)星質(zhì)量的64倍，行星的半徑 R_☉ 約為衛(wèi)星半徑R_L 的3.6倍，行星與衛(wèi)星之間的距離 r 與行星的半徑 R_☉ 之比為 $＼frac { r } { R _ { ☉ } } = 6 0$ ，設(shè)衛(wèi)星表面重力加速度為g_P ，求衛(wèi)星表面重力加速度與行星表面重力加速度之比.

解析 對于衛(wèi)星表面，有 =g衛(wèi)，而行星表面則有 將兩式聯(lián)立，可得 即

例2假設(shè)一顆行星繞其恒星公轉(zhuǎn)，已知該行星公轉(zhuǎn)周期為 T=6×10⁷ s，公轉(zhuǎn)軌道半徑為r=4.5×10¹¹m ，求該行星的公轉(zhuǎn)線速度和角速度.

解析 將數(shù)據(jù)代人線速度公式 可得 角速度ω 公式為 將周期 T 代人，可得

2.2 雙星系統(tǒng)問題

解答雙星系統(tǒng)問題的關(guān)鍵在于理解兩顆天體之間的相互作用力，即天體之間的萬有引力提供了各自做圓周運動的向心力.在這個問題中，學(xué)生需要掌握的重點是如何利用萬有引力公式和向心力公式來求解雙星系統(tǒng)中天體的質(zhì)量、軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期等參數(shù).易錯點主要包括：（1）學(xué)生在建立方程時，容易忽略兩顆天體的質(zhì)量比和軌道半徑比的關(guān)系；（2）求解過程中，未能正確地將兩顆天體的向心力等式聯(lián)立起來；（3）對于角速度和線速度的計算，學(xué)生可能會混淆兩顆天體的參數(shù).具體來說，雙星系統(tǒng)問題通常要求學(xué)生根據(jù)兩顆天體的觀測數(shù)據(jù)（如公轉(zhuǎn)周期和視向速度）來求解其質(zhì)量等.在解題時，學(xué)生需要首先設(shè)定兩顆天體的質(zhì)量分別為 m₁ 和 m₂ ，軌道半徑分別為 r₁ 和 r₂ ，然后根據(jù)萬有引力公式 F Gm1m2和向心力公式F=mω2r，建立方程組.由于兩顆天體繞共同的質(zhì)心運動，其角速度相等，且m₁?r₁=m₂?r₂ .通過解這個方程組，學(xué)生可以得到恒星的質(zhì)量、軌道半徑等參數(shù).

例3已知某雙星系統(tǒng)中兩個恒星的質(zhì)量分別為m₁ 和 m₂ ，之間相距為 L ，求這兩個恒星的轉(zhuǎn)動周期

解析 根據(jù)題意可知，這兩個恒星的向心力由之間的萬有引力提供，且其周期相同（角速度相同），則可列出如下關(guān)系式：

將三式聯(lián)立，可得

2.3 天體運動變軌問題

天體運動變軌問題是一個綜合性較強的課題，涉及天體從一條軌道轉(zhuǎn)移到另一條軌道的動力學(xué)過程.這類問題通常要求學(xué)生運用能量守恒定律、萬有引力定律來分析天體在變軌前后的狀態(tài)變化.學(xué)生在解決變軌問題時，需要掌握的重點是如何計算天體在變軌過程中所需的能量變化，以及如何通過改變速度的大小和方向來實現(xiàn)軌道的轉(zhuǎn)換.具體來說，天體運動變軌問題可能要求學(xué)生計算一個衛(wèi)星從低軌道轉(zhuǎn)移到高軌道所需的額外能量，或者是從高軌道降低到低軌道時釋放的能量.在解題過程中，學(xué)生首先需要確定天體在原始軌道上的動能和引力勢能，然后計算目標軌道上的相應(yīng)能量.通過比較這兩個狀態(tài)下的總機械能，學(xué)生可以確定變軌過程中需要添加或釋放的能量.

例4一顆人造衛(wèi)星在某一圓形軌道繞地球運行，其軌道半徑為 r₁=6.67×10⁶m ，現(xiàn)需要將該人造衛(wèi)星轉(zhuǎn)移到一條新的圓形軌道，其軌道半徑 r₂ 為1.5×10⁷m. 已知衛(wèi)星的質(zhì)量 ?_m 為 1 000kg ，地球質(zhì)量 M 為 5.97×10²⁴kg ，萬有引力常數(shù) G 取 6.674×10^-11N ·m²/kg² ，求衛(wèi)星在變軌過程中需要增加的動能.

解析 由題意可知，該人造衛(wèi)星在原軌道上的動能 E_k1 和引力勢能 E_?P1 分別為： 由于該人造衛(wèi)星在圓形軌道上，其向心力由地球引力提供，因此可以得出 將其代入動能公式中，可得 （204號 同理，人造衛(wèi)星

在目標軌道上的動能 E_k2 和引力勢能 E_?P2 分別為

，人造衛(wèi)星在目標軌道上

的速度為 將 v₂² 代人動能公式中，可得 E_k2

（202所以，變軌過程中需要增加的動能

，即

（20將已知數(shù)值代人公式，計算得到 ΔE_k

τ=5.944×10¹⁰J. （20號

2.4 地球同步衛(wèi)星問題

地球同步衛(wèi)星問題涉及衛(wèi)星繞地球運行的周期、軌道半徑、線速度和角速度等概念.地球同步衛(wèi)星的特點是其軌道周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即24小時，這使得衛(wèi)星相對于地球表面保持靜止.學(xué)生在解決這類問題時，需要掌握的重點是如何運用開普勒定律和圓周運動的基本公式來求解衛(wèi)星的相關(guān)參數(shù).易錯點包括對同步軌道概念的理解不準確，以及在計算過程中對周期、軌道半徑和速度的單位換算錯誤.具體來說，地球同步衛(wèi)星問題通常要求學(xué)生計算衛(wèi)星的軌道半徑、線速度或角速度.在解題時，學(xué)生首先需要根據(jù)同步衛(wèi)星的定義，確定其軌道周期T 與地球自轉(zhuǎn)周期相等.接著，利用開普勒第三定律，即軌道半徑的立方與周期的平方成正比來求解軌道半徑.在計算過程中，學(xué)生需要將周期 T 單位轉(zhuǎn)換為秒，并將軌道半徑的單位轉(zhuǎn)換為米.求得軌道半徑后，可以由公式 2來計算衛(wèi)星的線速度，或者由公式 來計算角速度.

例5一顆地球同步衛(wèi)星繞地球運行，該衛(wèi)星相對于地球表面保持靜止.已知地球同步衛(wèi)星的軌道周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即 T=24h. 地球的質(zhì)量為 M=5.97×10²⁴kg ，萬有引力常數(shù) G 為6.674×10^-11N?m²/kg². 求該地球同步衛(wèi)星的軌道半徑

解析 根據(jù)萬有引力提供向心力得 即 將已知數(shù)值代人方程解得r≈4.22×10⁷m. （20

2.5 宇宙速度問題

宇宙速度通常分為第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度.學(xué)生在解決這類問題時，需要掌握的重點是如何運用萬有引力定律和機械能守恒定律來計算這些速度.易錯點包括對宇宙速度概念的理解不清晰，以及在計算過程中對速度和能量的單位換算錯誤.具體來說，第一宇宙速度是指物體在地球表面附近繞地球做圓周運動所需的速度，物體的向心力等于地球?qū)υ撐矬w的引力；第二宇宙速度是指物體從地球表面逃逸到無限遠處，不再返回地球所需的最小發(fā)射速度；第三宇宙速度是指物體從地球表面逃逸到太陽系外，脫離太陽引力束縛所需的最小發(fā)射速度.在解題時，學(xué)生首先需要明確每種宇宙速度的定義和計算方法，然后利用萬有引力定律 和機械能守恒定律來求解.

例6根據(jù)下列已知條件，計算某天體的第一宇宙速度.已知該天體的質(zhì)量 M 為 3.78×10²⁸kg ，天體半徑為 R=8.547×10⁸m ，萬有引力常數(shù) G 為6.674×10^-11N?m²/kg².

解析 第一宇宙速度 v₁ 的計算公式為 v₁ 將數(shù)值代人公式中計算得到 v₁≈1.7×10³m/s.

3 結(jié)束語

本文通過對高中物理教學(xué)中萬有引力作用下天體運動問題的探討，旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握天體運動的基本原理.分析了常見的天體運動問題，總結(jié)了學(xué)生需要掌握的關(guān)鍵概念和解題方法，并提供了一些具體的例題，以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用相關(guān)物理定律.

參考文獻：

[1］王震海.天體自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)問題求解[J].高中數(shù)理化，2024，17（06）：5-6.

[責(zé)任編輯：李璟]