2025年廣東高職高考數(shù)學(xué)第24題的解析與反思

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0045-03

廣東高職高考是面向中等職業(yè)學(xué)校畢業(yè)生的選拔性考試，其試題設(shè)計注重在穩(wěn)定中尋求創(chuàng)新，既強調(diào)對基礎(chǔ)知識與重點內(nèi)容的考查，又緊密貼合中職生的實際學(xué)情.同時，為確?？荚嚨倪x拔精準(zhǔn)性，試題還需兼顧合理的區(qū)分度.其中，數(shù)學(xué)試卷的第24題作為壓軸題，是歷年區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)掌握程度的關(guān)鍵題目.本文以2025年廣東省高職高考數(shù)學(xué)試卷第24題為例，對其解題思路和方法展開深入探究與分析.

1 試題重現(xiàn)

題目 已知橢圓 經(jīng)過點 A（2，0） 和 B（0，1） ，點 P 是橢圓 C 位于第一象限的動點，點 Q 與點 P 關(guān)于原點對稱.

（1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求四邊形 PAQB 的面積最大值.

試題旨在檢驗考生對橢圓基礎(chǔ)概念與性質(zhì)的理解，涵蓋橢圓方程、弦長計算、直線與橢圓的位置關(guān)系以及三角形面積計算等核心知識點.本題著重考查解析幾何的核心思想與方法，以及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等關(guān)鍵能力.在試題設(shè)計方面，既提供了多元的解題切入點，又設(shè)置了適度的計算難度，尤其注重對考生思維過程、思維方法及創(chuàng)新能力的評估.

2解法探究

第（1）問考查學(xué)生的橢圓的基本概念，依題意，α=2，b =1，故所求橢圓C的方程為 本文著重探討第（2）問的求解與反思

解法1依題意，由橢圓對稱性質(zhì)設(shè)直線 PQ 的

方程為 y=kx（kgt;0） ，若設(shè)點 P 坐標(biāo)為 （x₁，y₁） （ x₁

gt;0，y₁gt;0 ），則點 Q 坐標(biāo)為 （x₂，y₂） 聯(lián)立方程得 消元，得 （4k²+1）x²-4=0 故由韋達(dá)定理知χ，+x=0，xχ2=（4k2+1）°由弦長公式，得

當(dāng)且僅當(dāng) 時，即 時，等號成立，此時四邊形 PAQB 的面積最大，為

解法2連接 AB ，由題意可以求解出直線 的方程為 x+2y-2=0 ，

設(shè) P ， Q 兩點坐標(biāo)分別為（ （2cos，sinθ） ，（204號 （-2cosθ，-sinθ） ，其中

則點 P 到直線 AB 的距離

點 Q 到直線 AB 的距離

所以 （2

當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，此時四邊形 PAQB的面積最大值為

解法3由橢圓的對稱性知， ∣OQ∣=∣OP∣ ，在ΔPQA 中， S_ΔQOA=S_ΔPOA ，同理 S_ΔQOB=S_ΔPOB

所以 +S_ΔQOB+S_ΔPOB=2（S_ΔPOA+S_ΔPOB）

設(shè)點P坐標(biāo)為（（m，n）（mgt;0，gt;0），則2+ +n2=1 ，即 m²+4n²=4 ，則

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) m=2n ，即 時等號成立，此時點 P 坐標(biāo)為 ，四邊形 PAQB 的面積最大值為

解法4由橢圓的對稱性知， ∣OQ∣=∣OP∣ ，在ΔPQA 中， S_ΔQOA=S_ΔPOA ，同理 S_ΔQOB=S_ΔPOB

所以 +S_ΔQOB+S_ΔPOB=2（S_ΔPOA+S_ΔPOB）.

設(shè)點 P 坐標(biāo)為 （2cosθ，sinθ） ，其中 ，則

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，此時四邊形 PAQB 的面積最大值為

解法5 連接 AB ，由題意得圖1，可以求解出直線AB的方程為y=-2

設(shè)平行于直線 AB 的直線方程為y=－聯(lián)立方程得

消元，得 x²-2bx+2b²-2=0

令判別式 Δ=（Δ-2b）²-4×（2b²-2）=0 ，所以 一 分別平行于直線 _AB 與橢圓相切于 P，Q 兩點.

此時，四邊形 PAQB 的面積最大.

直線 l₁，l₂ 到直線 AB 的距離之和為兩平行直線l₁，l₂ 之間的距離 d ， 線段 所以

3 解法啟示

圓錐曲線相關(guān)題目是歷年高職高考中極具挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，其涉及的軌跡方程、幾何度量及最值問題往往情境復(fù)雜、計算量大，對考生的解題能力提出了嚴(yán)峻考驗.在復(fù)習(xí)備考階段，如何優(yōu)化復(fù)習(xí)效果，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，高效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與解題能力，成為教學(xué)中亟待解決的難題.基于教學(xué)實踐，本文針對解析幾何復(fù)習(xí)提出以下重點強化方向.

3.1 重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算能力

只有對基礎(chǔ)知識有深刻的理解，考生在面對復(fù)雜問題時才能迅速找到解題的突破口；只有數(shù)學(xué)運算能力達(dá)到一定水平，解題的準(zhǔn)確性和效率才能得到保證.因此，教學(xué)中應(yīng)將基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)與基本問題的解決置于首要位置，引導(dǎo)學(xué)生在對基礎(chǔ)知識與基本問題形成正確認(rèn)知、對各主干知識構(gòu)建完整體系、對其中蘊含的思想方法準(zhǔn)確領(lǐng)悟之后，再開展相關(guān)的拓展與綜合性訓(xùn)練[1].

3.2 深入研讀教材，構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)

在學(xué)習(xí)過程中，考生需熟讀教材，不僅要透徹理解每個概念、定理及公式，更要深入挖掘其內(nèi)涵與潛在規(guī)律.對于教材中的例題和習(xí)題，不能僅滿足于熟練掌握解法，還應(yīng)主動探究其背后蘊含的數(shù)學(xué)思想與解題方法.通過一題多解、多題一解等訓(xùn)練方式，拓寬解題思路，提升思維靈活性.此外，遇到難點疑點時，應(yīng)及時查閱資料或向他人請教，確保知識掌握無死角，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)筑牢基礎(chǔ).

3.3 挖掘題目背景，培養(yǎng)邏輯推理能力

這樣的學(xué)習(xí)方式，不僅能深化對基礎(chǔ)知識的理解，還能在考試中敏銳識別題型，精準(zhǔn)抓住解題關(guān)鍵.反復(fù)鉆研教材例題與習(xí)題，有助于熟悉各類題型的解題步驟和技巧，即便面對復(fù)雜問題，也能保持清晰思路，有條不紊地展開推理計算.與此同時，這種持續(xù)練習(xí)還能助力學(xué)生培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，顯著提升解題效率與準(zhǔn)確率.

3.4 強化幾何直觀能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維與綜合應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需超越公式定理的機械記憶，通過系統(tǒng)訓(xùn)練將其轉(zhuǎn)化為問題解決的基石.幾何直觀與代數(shù)運算構(gòu)成解題的雙軌思維，前者通過空間想象構(gòu)建問題模型，后者憑借嚴(yán)謹(jǐn)運算解構(gòu)數(shù)量關(guān)系.在熟練掌握這些基本技能的基礎(chǔ)上，我們還要勇于嘗試新的思路和方法去分析和解決數(shù)學(xué)問題，這不僅能夠拓寬解題視野，還能激發(fā)創(chuàng)新思維，提升綜合應(yīng)用能力.

參考文獻(xiàn)：

[1］朱賢良，方明生.一題多解感悟思想方法變式拓展提升素養(yǎng)能力［J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2024（13）：6-8.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]