基于甘肅玉門花崗巖的巖石統(tǒng)計損傷模型研究

Research on Rock Statistical Damage Model Based on Gansu Yumen Granite

LIAO Wenjun，LIU Junxin，DIAO Hongwei，REN Tianbin，WANG Di （School of Civil Engineering and Architecture，Southwest University of Science and Technology， Mianyang 621010，Sichuan，China）

Abstract： To study the evolution behavior of rock damage under diffrent confining pressures，this study conducted triaxial tests on Yumen granite to obtain stress- strain curves and analyzed the variation patterns of its mechanical properties with confining pressure. By assuming that the micro-strength of rocks followed a Weibull probability distribution based onan existing rock damage constitutive model and considering damage thresholds，a modified strength coeffcient accounting for residual stress effects was introduced.The exponential（EXP）strength criterion for micro-element failure characterization was implemented and the statistical damage model representing the complete stress -strain relationship during triaxial compresson was established.The theoretical curves of the established constitutive model were compared with the experimental curves and D-P model curves based on granite tests.The results indicate that the EXP model can reflect the characteristics offull stress -strain curves during rock triaxial compression and performs better in post-peak residual sections than the D-P model.

Keywords：Granite；Triaxial test；Rock damage model;Exponential strength criterion；Weibull distribution

巖石作為一種天然的高強度脆性材料，在國防和民用建筑中具有重要作用。同混凝土材料相比，巖石材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，存在隨機分布的裂紋、孔隙等原始損傷。一般情況下巖石材料埋藏在較高地應(yīng)力區(qū)，當進行地下開發(fā)或開采時產(chǎn)生應(yīng)力場的二次分布1，其內(nèi)部孔隙壓密、裂紋擴展導(dǎo)致力學(xué)性能不斷發(fā)生變化，而這種變化因其埋深不同而受到不同圍壓影響。因此，研究圍壓對巖石損傷變化的影響，建立和完善巖石本構(gòu)模型，對災(zāi)害防控和工程建設(shè)具有重要意義。

Krajcinovic等2]假定巖石微元強度服從Weibull概率分布，并首次將統(tǒng)計損傷理論應(yīng)用于構(gòu)建巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型。基于這種關(guān)系，曹文貴等[3-4]、劉樹新等[5]、李樹春等[6采用 Drucker -Prager及Mohr-Coulomb強度準則來描述巖石微元強度的變化，建立了反映巖石破壞的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型。徐衛(wèi)亞等建立了能夠反映軟化特性的損傷模型，但描述殘余階段特征的效果不好；薛云亮等[8-9]在此基礎(chǔ)上建立了能夠反映巖石殘余強度特性的統(tǒng)計本構(gòu)損傷模型。眾多學(xué)者深入研究發(fā)現(xiàn)：有較明顯的保守性的Drucker-Prager準則使得在一定水平上所確定的微元強度存在偏差，而以Mohr-Coulomb強度準則構(gòu)建的本構(gòu)模型則因其未能充分考慮巖石受中主應(yīng)力影響導(dǎo)致在預(yù)測高、低應(yīng)力區(qū)破壞強度時亦有一定局限[10]。付義勝[11]通過比較5種常規(guī)三軸強度準則發(fā)現(xiàn)， You^[12] 提出的包含3個材料參數(shù)的指數(shù)強度準則（即EXP強度準則）綜合考慮了多種因素的影響，能夠較好描述巖石加載變化的全過程。

本研究基于甘肅玉門花崗巖三軸試驗結(jié)果，在巖石微元強度服從Weibull分布假定的基礎(chǔ)上，引入殘余強度修正系數(shù)，并結(jié)合EXP強度準則，建立能夠預(yù)測圍壓作用下巖石損傷演化全過程的統(tǒng)計本構(gòu)模型，并通過試驗曲線與理論曲線的對比驗證了模型的合理性和適用性，為地下與巖體工程建設(shè)提供參考。

1 中商 試驗與分析

1.1 試驗方案

本次試驗所用材料為甘肅玉門組粗?；◢弾r，主要礦物成分為半自粒形鉀長石（ 47% ）、石英（ 27% ）斜長石（ 23% ）等。根據(jù)《工程巖體試驗方法標準》[13]，將所取得的樣品巖芯加工為高度100mm 、直徑 50mm 的標準試驗尺寸試樣，如圖1所示。試驗設(shè)備為YSY-2500型三軸試驗系統(tǒng)，該系統(tǒng)的最大豎向荷載為 2500kN ，最高圍壓為120MPa ，試驗控制方式為位移控制，設(shè)置試驗的加載速率為 0.06mm/min 。

為了獲取能夠反映圍壓對花崗巖損傷變化影響的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，本次試驗設(shè)計0，15，30，45，60，75MPa6 個圍壓，每個圍壓下設(shè)置5組平行試驗，試件編號為 GSYM-x（GSYM 指甘肅玉門， Ψ_，x 為1，230）。

1.2 試驗結(jié)果與分析

1.2.1 應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征

基于試驗結(jié)果，繪制各圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線并分析其特征變化。

圖2展示了不同圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。從圖2可以看出曲線均呈現(xiàn)出脆性巖石所具有的階段性，即在加載前期試樣內(nèi)部孔隙逐漸壓密，試樣進入線彈性變形階段；當加載應(yīng)力持續(xù)增長至超過材料的屈服極限，進入塑性變形階段，曲線呈現(xiàn)非線性，內(nèi)部出現(xiàn)損傷并逐漸積累至失穩(wěn)破壞。殘余強度與圍壓在試驗范圍呈正相關(guān)變化，根據(jù)巖石臨界狀態(tài)理論14分析，當圍壓由低到高逐漸增加，巖石由脆性向延性狀態(tài)轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致殘余強度總體呈非線性增加。

1.2.2 花崗巖物理性質(zhì)分析

為進一步探討圍壓水平對花崗巖應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征影響，描述偏應(yīng)力峰值強度隨圍壓增長的變化規(guī)律，通過圖2曲線計算并統(tǒng)計三軸試驗中花崗巖的物理參量，結(jié)果如表1所示?；谄浣Y(jié)果擬合峰值強度與圍壓關(guān)系曲線，計算統(tǒng)計花崗巖黏聚力和摩擦角，如圖3所示。從圖3（a）可以看出，在低圍壓區(qū)域花崗巖峰值離散性較小，而隨著圍壓的增加各平行試樣峰值差異開始增加。結(jié)合表1結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)在圍壓 15～45MPa 區(qū)間，峰值應(yīng)力與彈性模量隨圍壓增長的幅值穩(wěn)定， 45MPa 之后峰值增長幅值與泊松比開始下降，即表明圍壓 45MPa 時巖樣由脆性轉(zhuǎn)為延性（抗剪強度降低）。圖4給出了不同圍壓下玉門花崗巖的破壞形式，可以清楚看到巖樣的宏觀破壞形式隨圍壓增長而發(fā)生改變，由低圍壓至高圍壓，從剪切型破壞逐步向剪切劈裂混合型破壞轉(zhuǎn)變，而其破壞形態(tài)也由低圍壓時的單一斷面轉(zhuǎn)變?yōu)楦邍鷫籂顟B(tài)下的多斷面破壞。分析認為當處于高圍壓狀態(tài)時花崗巖進入延性，抗剪強度與圍壓變化關(guān)系轉(zhuǎn)為非線性，抗剪強度增加不足以支撐相應(yīng)軸向應(yīng)力增加，泊松比降低，巖樣斷面最終出現(xiàn)混合型破壞。

2 統(tǒng)計損傷演化

2.1 損傷演化

在圍壓與軸壓作用下，巖體因內(nèi)部微裂隙、裂紋的發(fā)展導(dǎo)致破壞[15]，假定其微元強度變化遵循分布統(tǒng)計規(guī)律，采用Weibull分布[1來描述巖石微元體強度分布概率密度。考慮到巖石材料存在損傷閾值的情況[17]，將材料抽象為未受損傷和受損傷兩部分，可得到巖石的損傷函數(shù)表達式：

式中： m，F(xiàn)₀ 為Weibull函數(shù)參數(shù); F 為微元體強度；

D 為統(tǒng)計損傷變量值，且 0?D?1 。

經(jīng)過塑性段，處于加載晚期的巖石受到圍壓和摩擦力的影響，仍然存有一定殘余強度，巖石微元破壞后繼續(xù)傳遞少量壓力和剪應(yīng)力[18]，因此本文引入修正系數(shù) γ 來描述這一階段變化。根據(jù)應(yīng)變等價理論和有效應(yīng)力概念[19]，得到引人殘余修正參數(shù)的損傷本構(gòu)關(guān)系：

σ_i^*（1-γD）=σ_i，i=1，2，3

式中： σ_i^* 為有效應(yīng)力，即物體受到的實際應(yīng)力值； σ_i 為名義應(yīng)力，即忽略物體不連續(xù)性時有效橫截面的應(yīng)力； γ 為殘余修正系數(shù)。

在巖石破壞進入殘余階段時，可將損傷值 D 近似為0，此時式（2）可轉(zhuǎn)化為：

σ₁=Eε_r（1-γ）+2μσ₃

變換式（3）即可得到修正系數(shù)：

γ=（Eε_r-σ_r+2μσ₃）/（Eε_r）

式中： σ_r 為殘余應(yīng)力； ε_r 為殘余應(yīng)變。

在常規(guī)三軸試驗中主應(yīng)力與圍壓關(guān)系為 σ₁gt; σ₂，σ₂=σ₃ ，那么假定巖石微元體破壞前服從廣義

的虎克定律，即可得到有效應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

式中： ε₁ 為豎向主應(yīng)變； E 為彈性模量； ?_：μμ 為泊松比。

聯(lián)立式（1）式（2）式（5）得到基于Weibull分布的巖石損傷軟化本構(gòu)關(guān)系式：

2.2 巖石微元體強度

微元體是指細觀統(tǒng)計損傷的最小單位，該單位既可作為損傷力學(xué)中的質(zhì)點，又能很好體現(xiàn)應(yīng)力-應(yīng)變的相關(guān)作用特性。巖石材料是一種具有黏結(jié)和摩擦特性的脆性材料，因此本文引入能夠較好描述這種特性的文獻[11]提出的EXP強度準則來構(gòu)建統(tǒng)計損傷模型：

即：

式中： σ_c 為峰值應(yīng)力； σ₀ 為單軸壓縮強度； K 為圍壓等于 0MPa 時強度隨圍壓的增長速率。

這里將EXP強度準則引入并采用有效應(yīng)力來描述巖石微元體強度 F 的演化：

F=f（σ）=σ₁^*-σ₃^*-σ_c^*+

將式（5）代入式（9）得到可通過常規(guī)三軸試驗計算的基于EXP強度準則的微元強度函數(shù)，筆者采用該函數(shù)來模擬巖石材料已經(jīng)發(fā)生損傷階段的微元體強度演化：

F=Eε₁+2μσ₃-σ₃-σ_c+

2.3 巖石損傷本構(gòu)模型

在加載過程中，巖石由內(nèi)部裂紋產(chǎn)生并發(fā)展貫通導(dǎo)致失效破壞。當應(yīng)力值處于較低區(qū)域時，巖石內(nèi)部裂隙未發(fā)生擴展損傷現(xiàn)象，因此，巖石材料的損傷存在一個閾值點，當加載應(yīng)力還未增長至損傷閾值時，可認為材料沒有產(chǎn)生損傷。在此階段，巖石的微元損傷值 D 近似為零，因此可以采用彈性模量和應(yīng)變來直接描述這一階段的強度和變形演化，如式（11）所示：

σ₁=Eε₁+2μσ₃，F(xiàn)lt;0

當加載應(yīng)力持續(xù)增加，巖石內(nèi)部產(chǎn)生裂紋，開始產(chǎn)生損傷。對于發(fā)生損傷的階段，這里將式（10）代入式（1），得到巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)方程（損傷閾值點之后）：

結(jié)合未發(fā)生損傷段本構(gòu)方程（11）和已發(fā)生損傷段本構(gòu)方程（12），得到基于EXP強度準則的巖石統(tǒng)計損傷軟化本構(gòu)方程：

本構(gòu)方程中的參數(shù) m，F(xiàn)₀ 均可由三軸試驗中所獲得的不同圍壓下巖石的峰值應(yīng)力和應(yīng)變確定，在相應(yīng)狀態(tài)下是具有普遍意義的模型參數(shù)。結(jié)合文獻[20]，根據(jù)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線幾何條件求解得到參數(shù)的確定方法：

式中 F_c 為峰值狀態(tài)對應(yīng)巖石微元強度。

3模型適用性驗證

基于花崗巖三軸試驗結(jié)果計算不同圍壓下的EXP模型參數(shù)，并將試驗曲線與理論模型曲線進行對比，對本文建立的損傷模型的準確性進行驗證。為了更好評價該模型的適用性，本文引用文獻[21]的Drucker-Prager損傷模型（后文簡稱D-P模型）作對比。試驗的相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示，EXP模型中參數(shù) K 取值如圖3所示（經(jīng)擬合， K=6.84 ）。

根據(jù)表2中整理的試驗數(shù)據(jù)及2.3節(jié)參數(shù)的計算方法得到EXP模型參數(shù)，同時計算確定相應(yīng)的D-P損傷模型參數(shù)，結(jié)果如表3所示。在此基礎(chǔ)上依據(jù)式（1）即可以獲得花崗巖整個破壞過程中的損傷演化過程，如圖5所示。圖5中損傷變量 D 的演化曲線均呈現(xiàn)“S”型，且表現(xiàn)出隨圍壓增加損傷延緩的規(guī)律。特別地，圍壓 60MPa 時曲線與 45MPa 曲線交叉，認為在 45MPa 時玉門花崗巖進入脆延轉(zhuǎn)換臨界狀態(tài)，圍壓延緩損傷作用降低。

根據(jù)表3中的本構(gòu)參數(shù)，繪制EXP模型理論曲線，并將試驗曲線同理論曲線進行對比，結(jié)果如圖6所示。通過對比分析，可以發(fā)現(xiàn)EXP模型理論曲線和試驗曲線的吻合水平較高，且在反映峰后軟化階段有良好效果，反映了圍壓對花崗巖三軸試驗應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的影響。與文獻[21]中D-P模型曲線相比，在峰前二者重合度較高，而峰后殘余軟化段

EXP模型更加穩(wěn)定，與試驗曲線偏差更小，驗證了該模型的適用性及準確性。需指出的是，EXP模型在結(jié)果上也存在一定誤差，可能是由于試驗樣本相對較少及參數(shù)計算對精度產(chǎn)生了影響。

4結(jié)論

基于玉門花崗巖常規(guī)三軸試驗結(jié)果，在前人巖石損傷理論研究的基礎(chǔ)上，基于巖石微元強度服從Weibull分布的假定，考慮到巖石材料存在損傷閾值及加載后期殘余強度的影響，引入指數(shù)強度準則，建立統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，得到以下結(jié)論：（1）玉門花崗巖在圍壓超過 45MPa 后進入脆延轉(zhuǎn)換的臨界狀態(tài)，圍壓效應(yīng)降低（損傷延緩效果下降），最終呈現(xiàn)出多斷面的破壞模式。（2）假定巖石微元強度服從

Weibull分布，考慮到材料存在損傷閾值及加載后期殘余強度，引入殘余強度修正系數(shù)，結(jié)合擁有3個材料參數(shù)的指數(shù)強度準則作為巖石微元強度演化的依據(jù)，建立了可反映巖石加載過程全應(yīng)力曲線的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型（EXP模型）。EXP模型曲線和試驗曲線具有較高水平的一致性，能夠較好地反映不同圍壓花崗巖三軸試驗加載全過程應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，且在峰后軟化階段優(yōu)于現(xiàn)有的D-P模型，說明EXP巖石損傷模型具有較高的準確性和較好的適用性。

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