基于推理意識培養(yǎng)的計算教學(xué)

“20以內(nèi)的進(jìn)位加法\"是一年級的教學(xué)內(nèi)容，蘇教版教材把這部分內(nèi)容分成“9加幾”“8、7加幾”以及“6、5、4、3、2加幾\"三個部分.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)\"對其學(xué)業(yè)要求是\"能熟練口算\"].學(xué)情測查表明，在正式學(xué)習(xí)之前，僅就獲得計算結(jié)果而言，大部分學(xué)生已經(jīng)達(dá)到較熟練的技能水平.但學(xué)生僅僅是數(shù)數(shù)心算或機(jī)械運用書寫符號計算，沒有建立與“十進(jìn)制計數(shù)法”之間的關(guān)聯(lián)，并沒有真正理解20以內(nèi)進(jìn)位加法計算的概念本質(zhì).3數(shù)與代數(shù)知識具有“二重性”：既可以培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，也可以培養(yǎng)學(xué)生的推理意識.4計算教學(xué)可以有意識地培養(yǎng)推理意識，幫助學(xué)生理解十進(jìn)制計數(shù)法的本質(zhì)，進(jìn)而逐漸達(dá)到熟練口算的水平.5推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟.[學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展是從小學(xué)階段的推理意識過渡到初中階段的推理能力.小學(xué)階段的意識是一種含有感覺、知覺、思維等在內(nèi)的綜合認(rèn)識活動，是一個由感性逐漸向理性發(fā)展的過程.意識層學(xué)生的思維發(fā)展主要表現(xiàn)為感性具體、感性一般和理性具體三級.[8學(xué)生經(jīng)由對具體、直觀數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的感悟向理性認(rèn)識活動進(jìn)階，

在\"20以內(nèi)的進(jìn)位加法”教學(xué)中，推理意識要達(dá)到“理性具體”層級，具體做法如下：首先，在情境中理解“一個例子”，這是數(shù)學(xué)歸納推理的邏輯起點；其次，經(jīng)由多個例子歸納、推理、概括出“9加幾\"的計算方法是“湊十法\"“得數(shù)是十幾，得數(shù)個位上的數(shù)比加的數(shù)少1\"等規(guī)律；再次，在“8、7加幾\"中類比推理，掌握十進(jìn)制位置制思想等知識；最后，運用演繹推理靈活思考，拓展學(xué)生對所學(xué)知識的理解，進(jìn)一步提高認(rèn)知水平.

1在情境中理解“一個例子”

“一個例子\"是數(shù)學(xué)歸納推理的邏輯起點.一個例子雖有特殊性，但與其他類似例子相比，相似性蘊含其中，是實現(xiàn)從“一個\"到“一類\"跨越的認(rèn)知基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)，知道新的計數(shù)單位“十”，掌握了“10加幾\"的口算.“9加幾\"作為起始課，要為學(xué)生感悟十進(jìn)制計數(shù)法打好基礎(chǔ).十進(jìn)制計數(shù)法有兩個關(guān)鍵，一是十進(jìn)制，二是位置值.在例題“ 9+4^′ 的教學(xué)中要突出這兩個要點，具體過程如下.

教師出示圖1所示的情境

師：觀察這些蘋果，你知道什么？生：盒子里有9個蘋果，盒子外有4個蘋果.師：能提出一個用加法計算的數(shù)學(xué)問題嗎？生：一共有多少個蘋果.師：怎么列式？生：要把盒子里的9個蘋果跟盒子外的4個蘋果合起來，算式是 ₉₊₄

師：“9十4”你會算嗎？自己試一試.

學(xué)生嘗試后匯報.

生1：我是數(shù)數(shù)的.先數(shù)4，接著往后數(shù)9個數(shù)，5、6、7、8、9、10、11、12、13.

生2：我也是數(shù)數(shù)的.盒子里有9個蘋果，先數(shù)9，接著往后數(shù)4個數(shù)，10、11、12、13.

生3：我是用小棒擺的.左邊擺9根，右邊擺4 根；從右邊拿1根給左邊，左邊有10根，合成一捆；右 邊還有3根，合起來是13根.

教師同步課件演示（如圖2）.

生4：我是算的，把4分成1和 ^{3，9+1=10，10+} ₃₌₁₃

師：觀察這幾種方法，你有什么想說的？

生5：前面兩種方法是“數(shù)”，后面兩種方法是“算”

師：這兩種“數(shù)\"的方法，你們覺得哪種好？

生6：從9開始數(shù)比較好.從4開始數(shù)，還要接著數(shù)9個數(shù)；從9開始數(shù)，只要接著數(shù)4個數(shù)，能少數(shù)幾次.

師：你們真會觀察，說得很有道理！后兩種“算”的方法有什么相同點？

生7：都是先把4分成1和3，然后 9+1=10 010+3=13

教師同步演示（如圖3）.

師： 9+1=10 ，這個“10”在“ 9+4=13 ”中藏在什么地方？

生8：藏在13的“1”里面，這里的“1\"表示“1個十”，就是10.

師：擺小棒的時候明明看到的是10個一啊，哪 來的1個十？

生9：9根加上1根是10根，把它捆成1捆，也就是13中的“1”，表示1個十，代表10個一.

師： 9+1=10 ，“滿十進(jìn)一”，要把“1\"寫在十位上，表示1個十； 10+3=13，3 寫在個位上，表示3個一.數(shù)字寫在不同的位置表示的數(shù)值不同，

總結(jié)：數(shù)的時候，先數(shù)9，9加上1是10，在第10個蘋果后面畫一條隔離線，“滿十進(jìn)一”，就在十位寫1，個位寫0，這是1個十；數(shù)到10以后，十位上的數(shù)字不變，個位上的數(shù)字依次加1，分別是11、12、13.“算\"是先從4里面拿出1，與9湊成1個十，這種方法叫“湊十法”“數(shù)”和“算”這兩種方法相同之處都是“滿十進(jìn)一”.

加法的本質(zhì)是數(shù)數(shù).學(xué)生自主思考“ 9+4 ”的得數(shù)，自然想到“數(shù)”與“算”兩種方法.通過交流比較，發(fā)現(xiàn)兩種方法都是“滿十進(jìn)一”.數(shù)數(shù)的過程自然體現(xiàn)十進(jìn)制計數(shù)法，由此理解“湊十法”.對于 9+1= 10，多數(shù)學(xué)生仍是當(dāng)作“10個一”，并沒有轉(zhuǎn)化為“1個十”，也沒有與計算過程中的“滿十進(jìn)一\"相關(guān)聯(lián).教師通過問題（10藏在什么地方）、操作和課件演示（捆成1捆）、講解（1寫在十位上表示1個十），幫助學(xué)生感知并形成對“位置制\"的認(rèn)識.

2在歸納推理中概括規(guī)律

歸納推理是指由特殊推出一般，包括完全歸納推理和不完全歸納推理.完全歸納推理是依據(jù)所有對象具有相同性質(zhì)推出結(jié)論，不完全歸納推理是依據(jù)部分對象的相同性質(zhì)推出該類所有對象都具有這種性質(zhì).[9完全歸納推理得出的結(jié)論是必然的.不完全歸納推理得出的結(jié)論可能為真也可能為假，屬于合情推理.運用不完全歸納推理需要一定數(shù)量的例子，且例子要有典型性.因為在一個例子中，十進(jìn)制、位置值與情境、實物等混雜在一起，學(xué)生通常難以自知與表達(dá).如果嘗試計算諸如 ^9+8，9+6 等算式，學(xué)生將會熟悉計算的過程，逐漸脫離計算步驟的束縛，不再關(guān)注先算什么再算什么.這時，例子中相同或相似的部分會和情境、實物分離，成為學(xué)生感知的內(nèi)容.隨著“湊十”“位置值\"這些相同特征不斷重復(fù)出現(xiàn)，學(xué)生內(nèi)心深處希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者的愿望被激發(fā)，這些共同特征成為學(xué)生概括的對象.通過“9加幾\"計算的不完全歸納推理抽象概括出“湊十法\"“位置值\"以及“得數(shù)個位上的數(shù)比加的數(shù)少1\"等規(guī)律，實現(xiàn)認(rèn)識的飛躍.下面呈現(xiàn)不完全歸納推理的教學(xué)片段.

師：比較 9+4=13，9+8=17，9+6=15 ，有什么相同的地方？

生1：計算9加一個數(shù)時，把這個數(shù)分成1和幾，先算 9+1=10 ，再算 ¹⁰⁺ 幾.

生2：我有補(bǔ)充. 9+1=10 ，這個10代表10個一，等于1個十，要把\"1\"寫在十位上.

師：像這樣把加的數(shù)分成1和幾，先算 9+1= 10，再算 ¹⁰⁺ 幾，這種方法叫作“湊十法”（如圖4）.

生3：9加一個數(shù)，得數(shù)是十幾，得數(shù)個位上的數(shù)比加的數(shù)少1（如圖5）.

9+ 1幾 1

10

師：為什么得數(shù)個位上的數(shù)比加的數(shù)少1？

生4：因為要從加的數(shù)里拿出1跟9湊成10，所以得數(shù)個位上的數(shù)比加的數(shù)少1.

歸納推理有求同法、存異法、同異并用法、剩余法等.[10]求同法是比較研究對象有哪些相同之處.上述片段，學(xué)生對幾個算式的不同“視而不見”，抽象概括出“計算方法是湊十法，個位滿十進(jìn)一，把1寫在十位上\"“得數(shù)是十幾，得數(shù)個位上的數(shù)比加的數(shù)少1\"等規(guī)律.數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心[11]，學(xué)生透過具體的算式能概括其背后的方法，深度學(xué)習(xí)才會真正發(fā)生.

不完全歸納推理作為一種認(rèn)識事物及其本質(zhì)的科學(xué)方法，要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有機(jī)滲透.教師可以提出問題“本節(jié)課通過三個例子，發(fā)現(xiàn)‘9加幾'的規(guī)律，這樣的發(fā)現(xiàn)對嗎”，引導(dǎo)學(xué)生寫出“9加幾\"的所有例子，并算出得數(shù)，驗證自己的發(fā)現(xiàn)正確與否，從中感受歸納推理的魅力.

3在類比推理中形成結(jié)構(gòu)

類比推理是根據(jù)兩個不同對象之間在某些方面的相似或相同，進(jìn)而判斷它們在其他方面也有相似或相同的屬性.它是由特殊向特殊的推斷，具有假設(shè)、猜想成分，屬于合情推理.單元整體教學(xué)背景下，經(jīng)常會把“8、7加幾”與“9加幾\"安排在一個課時進(jìn)行教學(xué).學(xué)生直接運用\"9加幾\"中習(xí)得的\"湊十法\"解決\"8、7加幾\"的問題，提高學(xué)習(xí)效率.結(jié)合具體的實例，理解“湊十法\"并不困難，困難的是能在不同的情境中主動運用“湊十法\"解決類似的問題.算法只是知識，選擇才是智慧.分課時學(xué)習(xí)“8、7加幾”，通過類比推理，學(xué)生能進(jìn)一步感受“湊十法”及其背后的十進(jìn)制位置制思想，并在與“9加幾\"的比較中形成知識結(jié)構(gòu).

教師出示圖6所示的問題情境進(jìn)行教學(xué).教學(xué)片段如下.

師：求一共有多少把，你會列式嗎？

生1：求一共有多少把要把8把和7把合并，算式是 8+7

師： 8+7 你會算嗎？用小棒擺一擺、算一算.

學(xué)生嘗試后匯報，教師同步演示.

生2：我把7拆成2和 5，8+2=10 - 10+5= 15（如圖7）.

生3：我把8拆成5和 3，3+7=10，10+5= 15（如圖8）.

8+7=15人251

10（湊十法）8+7=15

入

5310（湊十法）

師：為什么要把7拆成2和5？

生2：因為 8+2=10 ，所以要把7拆成2和5師：為什么要把8拆成5和3？

生3：因為 7+3=10 ，所以要把8拆成5和3師：你們是怎么想到用“湊十法\"來算的？

生2、生3：算\"9加幾\"用“湊十法”，算 ⁸⁺⁷ 想到 了用“湊十法”

師：對！ ⁸⁺⁷ 怎么算呢，可以試試“9加幾\"時用的“湊十法”.在學(xué)習(xí)中，遇到新的問題，可以想類似的問題是怎樣解決的，用它試一試，這是一種重要的學(xué)習(xí)方法.“8、7加幾\"與“9加幾\"有什么相同點？有什么不同點？

生4：都是用\"湊十法”，滿十進(jìn)一，把“1\"寫在十位上，表示1個十，得數(shù)就是十幾.

生5：不同點是拆的數(shù)不同.因為 9+1=10 =所以“9加幾\"要從幾里拆出 1;8+2=10 ，“8加幾”要從幾里拆出 2;7+3=10，^?7 加幾\"要從幾里拆出3.

生6：和的規(guī)律不同. ⁶⁶9 加幾”的進(jìn)位加法，得數(shù)個位上的數(shù)比幾少1；“8加幾”的進(jìn)位加法，得數(shù)個位上的數(shù)比幾少2；“7加幾”的進(jìn)位加法，得

數(shù)個位上的數(shù)比幾少3.

教師同步演示（如圖9、圖10、圖11）.

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求變、求聯(lián).求變、求聯(lián)的主體應(yīng)是學(xué)生本人.這需要教師給予時間和空間.面對新的問題，學(xué)生自主解決并交流方法后提出問題，如怎樣想到湊十法的，計算“8、7加幾\"與“9加幾\"有什么相同與不同之處等.學(xué)生在反思中進(jìn)一步明確計算“8、7加幾”要把“9加幾\"的方法悄悄用上，由此獲得啟示，即解決新的問題可以借鑒類似問題的解決方法.這既指導(dǎo)學(xué)法，滲透合情推理，又促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知的發(fā)展.至于比較相同，則能凸顯計算的原理“十進(jìn)制計數(shù)法”20以內(nèi)的進(jìn)位加法中，9加幾、8加幾、7加幾的得數(shù)都是十幾，但得數(shù)個位上的數(shù)規(guī)律不同，由于9+1=10，8+2=10，7+3=10 ，加的時候要分別從加的數(shù)里拆出1、2、3，所以得數(shù)個位上的數(shù)比加的數(shù)分別少1、2、3.這樣，離散的知識點建立了聯(lián)系，形成了結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生記憶和運用.

4在演繹推理中靈活思考

演繹推理是指從已有規(guī)則出發(fā)，對特殊情境中同樣的事情，推出新的結(jié)論.它是由一般向特殊的推理.演繹推理在前提真實、過程合乎規(guī)則的情況下，得到的結(jié)論一定真實，是必然性推理.本單元的學(xué)業(yè)要求是“能熟練口算”.學(xué)生運用在例題教學(xué)中形成的\"湊十\"思路，能比較容易口算出得數(shù).如果后續(xù)只是簡單地重復(fù)練習(xí)，雖然能達(dá)到熟練，但會形成思維定式.思維定式長處突出，缺點鮮明.它一旦形成，學(xué)生即使能熟練口算，也會因缺乏思維參與而導(dǎo)致思維封閉、僵化.口算不僅僅是技能，也是解決問題的工具.口算過程要注重拓展學(xué)生對所學(xué)知識的理解，在提高學(xué)生認(rèn)知水平上下功夫.因此，要加強(qiáng)口算的靈活性.口算靈活性的首要條件是運用演繹推理，即合理運用運算規(guī)則；其次是發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，將數(shù)靈活分解、組合.例如，口算 8+5 ，看大數(shù)拆小數(shù)， 8+5=8+2+3. 還可以 8+5=10+5-2 ，這樣算的依據(jù)是加法結(jié)合律.因為 8=10-2 ，根據(jù)負(fù)數(shù)的意義轉(zhuǎn)化為 10+（-2），8+5=10+（-2）+5=10+ 5+（-2）=10+5-2. 或者 8+5=5+5+3 ，因為 ⁸⁺ 5比 5+5 多3，所以 5+5 要加3.仍是根據(jù)加法結(jié)合律，把8分成 5+3，8+5=5+3+5=5+5+3. 或者8+5=10+3 ，第一個數(shù)增加2，第二個數(shù)減少2，和不變，依據(jù)是 a+b=a+b+c-c=（a+c）+（b-c） 業(yè)這些方法以運算的定義、運算律等為前提，對數(shù)進(jìn)行拆分、重組、轉(zhuǎn)化，自然是演繹推理，只不過有些步驟被壓縮或省略.接下來，在對多種方法的分析和比較中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些算法的本質(zhì)依然是“湊十”，把僅用于解決某一個問題的特殊算法拓展為基本方法.口算過程的思考性以及思路的靈活性有助于學(xué)生突破思維定式，發(fā)展思維品質(zhì).

已有研究指出，知識的積累不必然帶來推理能力的發(fā)展.如果講授、訓(xùn)練不當(dāng)，知識的積累會阻礙推理素養(yǎng)的形成.[12]因此，需要特別重視結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)推理意識.

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