數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)回歸

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》著重指出：“數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運(yùn)算之間有密切的關(guān)聯(lián).”[1]“數(shù)與運(yùn)算\"主題要求學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算以及不同運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上的一致性，進(jìn)而形成運(yùn)算能力和推理意識(shí).本文將結(jié)合具體的實(shí)例，闡述一致性視角下的數(shù)的運(yùn)算的教學(xué)策略.

1把握本質(zhì)，理解運(yùn)算的意義

運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.由此可見，明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義是運(yùn)算能力的重要組成部分.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)基于學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，精心設(shè)計(jì)旨在促進(jìn)意義理解的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷算理和算法的探究過程，從而深入感悟數(shù)的運(yùn)算以及不同運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系.

以蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)》中“5以內(nèi)的減法\"教學(xué)為例，這是學(xué)生首次接觸減法運(yùn)算，深刻領(lǐng)悟減法的意義是教學(xué)的重中之重.在教學(xué)時(shí)，可以通過三個(gè)層次循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生理解減法的意義，具體教學(xué)片段如下.

（1）在情境中抽取減法的概念

教師展示情境圖，讓學(xué)生看圖并用三句話講述數(shù)學(xué)故事.

師：能否用小方塊演示這個(gè)數(shù)學(xué)故事？

在學(xué)生操作后，教師邀請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)演示.學(xué)生先擺出5個(gè)方塊，再用手遮住2塊.

師：遮住這兩個(gè)方塊代表什么意思？

生：表示走掉了2人.

師：走掉2人，就是要從5個(gè)中去掉2個(gè)，也可以用虛線框出來.通過看圖和擺方塊，我們清楚地看到從5人里去掉2人，還剩3人.像這樣從5個(gè)里去掉2個(gè)，求剩下幾個(gè)的過程，就是數(shù)學(xué)中的一種新運(yùn)算一一減法，用式子表示為 5-2=3. 這里的短橫線是減號(hào)，它表示去掉的意思.

（2）在操作中深化減法的意義.

師：看，這是我們熟悉的數(shù)學(xué)好伙伴一數(shù)軸.想一想，在數(shù)軸上怎么表示 5-2=3 ，從幾開始.生：5開始.師：為什么？生：因?yàn)樵瓉碛?個(gè).師：5開始，怎么移動(dòng)？生：倒著移動(dòng).師：為什么是倒著移動(dòng)？生：因?yàn)橐サ?個(gè)，所以要退回去.加上去才是往前移動(dòng).師：有道理.倒著移動(dòng)幾個(gè)？生：倒著移動(dòng)2個(gè).師：一起數(shù)，5開始，4，3，到啦！從5開始倒著移動(dòng)2個(gè)就是3.（3）在創(chuàng)編中建構(gòu)減法的模型，師：你也能來講一講 5-2=3 的故事嗎？（學(xué)生分組創(chuàng)編故事后交流）師：小朋友們講了那么多數(shù)學(xué)故事，為什么都可以用 5-2=3 表示？

生：不管是什么故事，都是從5個(gè)里去掉2個(gè)，還剩3個(gè).

運(yùn)算本質(zhì)的理解需植根于具體情境與具身操作.在這個(gè)教學(xué)案例中，教師巧妙地通過“情境抽取一操作深化一故事創(chuàng)編”三個(gè)層次的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解減法的意義.首先，借助生活場(chǎng)景引發(fā)學(xué)生對(duì)“去掉”的直觀感受，將學(xué)生的動(dòng)作表征放大，把“遮方塊\"轉(zhuǎn)化為減法的動(dòng)作原型，讓學(xué)生初步感知減法的含義.接著，利用數(shù)軸的移動(dòng)動(dòng)作，滲透逆向運(yùn)算思維，將抽象的運(yùn)算符號(hào)與具體的數(shù)量變化相對(duì)應(yīng)，加深學(xué)生對(duì)減法運(yùn)算本質(zhì)的認(rèn)識(shí).最后，通過學(xué)生創(chuàng)編故事并思考背后的數(shù)學(xué)原理，幫助學(xué)生從具體情境中提煉出減法的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的思維跨越，完成了對(duì)減法意義的深度理解和建構(gòu).

2緊扣核心概念，感悟算理的一致性

計(jì)算教學(xué)的核心目標(biāo)之一是讓學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)運(yùn)算本質(zhì)的一致性，這就要求教師從整體上精準(zhǔn)把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，有機(jī)整合教學(xué)內(nèi)容，合理調(diào)整教學(xué)順序，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體理解與掌握.“小數(shù)除法”是除法教學(xué)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，需要突破整數(shù)除法的思維定式，邁向結(jié)果更加精確的小數(shù)除法，這對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)不小的挑戰(zhàn).事實(shí)上，縱觀小學(xué)階段的除法運(yùn)算，從整數(shù)除法到小數(shù)除法，再到分?jǐn)?shù)除法，雖然形式上有所不同，但內(nèi)涵高度一致，其本質(zhì)都是基于計(jì)數(shù)單位的均分.因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分感悟整數(shù)和小數(shù)除法運(yùn)算的內(nèi)在一致性.

例如，在教學(xué)蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)》中“小數(shù)除法”一課時(shí)，我校教師緊扣三個(gè)關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生循“問”入理，深度理解小數(shù)除法的算理，具體問題設(shè)計(jì)如下.

問題1 21÷5 在得到4的情況下，能不能繼續(xù)往下除？

師：按照二年級(jí)的除法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，算到余數(shù)1就可以了.站在五年級(jí)的視角再來看這兩題，不禁要想，還能不能繼續(xù)往下除？

學(xué)生嘗試計(jì)算 21÷5 ，通過交流發(fā)現(xiàn)都把余數(shù)1變成10再除，得出結(jié)果4.2.

問題2為什么把1變成10？

師：為什么要把這個(gè)余數(shù)1變成10？你能把你的想法在這些素材上畫一畫、分一分嗎？

學(xué)生通過交流發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?1÷5 ，商不夠1，大家都想到把1變成10，就能繼續(xù)往下除了.

師：看來，大家的想法是一致的，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn) 1÷ 5不夠除的時(shí)候，都想到了把1平均分成10份，就是10個(gè)0.1.把1平均分成5份，每份就是2個(gè)0.1，得0.2.這么分一分，計(jì)數(shù)單位變小了，但是單位的個(gè)數(shù)就變多了，所以就可以繼續(xù)往下除.

學(xué)生完成豎式并說一說計(jì)算的道理.

問題321÷4在得到5的情況下，還能繼續(xù)往下除嗎？

師：我們能繼續(xù)用這樣的思路解決 21÷4 嗎？對(duì)比問題1與問題3，為什么兩道算式都是余1，第一個(gè)再分一次就分完了，第二個(gè)怎么再分了兩次呢？

師：又有余數(shù)，我們是怎么辦的？如果又余1個(gè)0.001呢？看來，有余數(shù)我們也能繼續(xù)往下除，不管是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，都是在平均分，當(dāng)大的單位不夠分時(shí)，就要把大的單位轉(zhuǎn)化為小的單位，再繼續(xù)分.

縱觀小學(xué)階段的數(shù)與運(yùn)算，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)整體.從數(shù)形成與發(fā)展的角度而言，整數(shù)除法運(yùn)算出現(xiàn)不夠除的情形，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)運(yùn)算不方便，產(chǎn)生了小數(shù)；從數(shù)組成的角度而言，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)均是基于“計(jì)數(shù)單位\"建構(gòu)的.[2據(jù)此，整個(gè)環(huán)節(jié)，教師緊扣運(yùn)算本質(zhì)，從學(xué)生已有的二年級(jí)除法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過三個(gè)層層遞進(jìn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生深度理解小數(shù)除法的算理.首先，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索小數(shù)除法計(jì)算方法的興趣，突破整數(shù)除法余數(shù)概念的局限.接著，讓學(xué)生通過實(shí)際操作素材，直觀地理解改變計(jì)數(shù)單位實(shí)現(xiàn)繼續(xù)運(yùn)算的本質(zhì).最后，深化拓展學(xué)生的思維，借助 21÷ 4的計(jì)算對(duì)比，使學(xué)生明確整數(shù)除法與小數(shù)除法在平均分本質(zhì)上的一致性，幫助學(xué)生構(gòu)建起完整的小數(shù)除法運(yùn)算認(rèn)知體系.整個(gè)設(shè)計(jì)將抽象的算法規(guī)則轉(zhuǎn)化為可視化的單位操作，使學(xué)生真正理解除法的本質(zhì)是“計(jì)數(shù)單位的均分”，為分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

3勾連融通，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法的自主內(nèi)化

教師在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.因此，要站在整體、系統(tǒng)的高度把握教學(xué)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，以完善和發(fā)展學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰性、穩(wěn)定性和可利用性.

例如，“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”是蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)》中的內(nèi)容，也是小學(xué)階段四則混合運(yùn)算教學(xué)的收官部分.在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)的加減、乘除計(jì)算，并且熟悉常用的運(yùn)算律.對(duì)于學(xué)生來說，遷移以往的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主計(jì)算并非難事，關(guān)鍵在于讓他們不僅知道怎么做，更要明白為什么這樣做.在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，可以采用以下教學(xué)策略.

（1）揭示課題，嘗試計(jì)算.教師直接出示一道分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算題 ×16”，向?qū)W生說明，像這樣一道分?jǐn)?shù)題中包含兩種或兩種以上運(yùn)算的，就稱為分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算.然后讓學(xué)生嘗試計(jì)算，在交流環(huán)節(jié)展示兩種算法：一是按照先算乘法，再算加法的順序進(jìn)行計(jì)算；二是運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算.讓學(xué)生相互檢驗(yàn)這兩種算法計(jì)算結(jié)果.

（2）多元解讀，理解算理的一致性.教師引導(dǎo)學(xué)生思考“兩種算法的計(jì)算結(jié)果一致，那么先看第一種方法，它的運(yùn)算順序是先算乘法，再算加法，這樣的運(yùn)算順序合理嗎”.你能否運(yùn)用以前學(xué)過的知識(shí)來證明這種計(jì)算順序的合理性呢？學(xué)生通過自主操作和思考，從以下不同角度對(duì)這一運(yùn)算順序的合理性進(jìn)行了解釋： ① 轉(zhuǎn)化說明.將分?jǐn)?shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為小數(shù)運(yùn)算，得到了相同的結(jié)果. ② 借助事件說明.學(xué)生將這道混合運(yùn)算編成一道實(shí)際問題，通過具體的情境內(nèi)容來說明先算乘法再算加法的道理.

通過以上兩種不同方法的驗(yàn)證，都證明了在進(jìn)

行分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算時(shí)我們應(yīng)該先算乘法，再算加法.四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序其實(shí)和整數(shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是一致的.

（3）聯(lián)通算法，理解算法的一致性.在整個(gè)教學(xué)過程中，教師通過“ ×16\"這一典型例題，引導(dǎo)學(xué)生從多元視角驗(yàn)證運(yùn)算方法的合理性.無論是將其轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題、幾何模型還是小數(shù)計(jì)算，都能證明“先乘后加\"的運(yùn)算順序與整數(shù)、小數(shù)運(yùn)算順序的一致性，凸顯了數(shù)的運(yùn)算一致性這一核心思想.然后，通過對(duì)比兩種算法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)計(jì)算中的適用性.這種教學(xué)方式的精妙之處在于，以“多元表征互譯”為紐帶，將抽象的算理具象化，使學(xué)生從單純的直覺算法遷移轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)運(yùn)算本質(zhì)意義的深入建構(gòu).不僅有效提升了學(xué)生的運(yùn)算能力，更在一步步的追問與思考中，深化了學(xué)生的推理意識(shí)與模型觀念，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4結(jié)語(yǔ)

在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算\"教學(xué)中，教師應(yīng)從把握運(yùn)算意義、感悟運(yùn)算一致性以及實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法自主內(nèi)化等方面入手，以一致性視角進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)、完整的數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性[J].課程·教材·教法，2022（6）：45—51+56.