1+1>2 ，聯(lián)袂應用

利用基本不等式解決某些代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，一直是解決此類問題中最為常用的解題方法.有些綜合問題由于代數(shù)式比較復雜，難度有時比較大，需要較強的解題技巧與策略.換元思維就是其中的一個重要手段，成為破解代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題的一大技巧.

1三角換元

利用三角換元思維解題時，經(jīng)常要對代數(shù)式進行合理的設元或配方等處理，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，結(jié)合三角恒等變換并利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來確定對應代數(shù)式的最值（或取值范圍）.

例題（2024年山西省高三聯(lián)合模擬數(shù)學試卷第16題）已知 agt;0，bgt;0 ，且 ，則 b-1的最小值為

分析：根據(jù)題設條件中代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理進行三角換元處理，將對應的參數(shù)表示為三角函數(shù)表達式，通過合理變形與轉(zhuǎn)化并利用基本不等式來加以放縮處理與巧妙轉(zhuǎn)化，進而得以確定對應的最值.利用三角換元法處理是解決該問題的一個基本切入點與解題方法.

解析：依題，由于 agt;0，bgt;0 ，且 ，利用三角換元可設 則有

利用基本不等式，可得 ，當且僅當 即 時等號成立，所以 b-1的最小值為8，故填答案8.

點評：若在問題題設中含有兩個正項代數(shù)式之和為1（或某個特定的值）時，經(jīng)常可以借助三角換元處理，先將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的知識進行變形與轉(zhuǎn)化，從而得以分析與求解，達到解題的目的.三角換元思維常常用來處理兩數(shù)或兩式和為定值的關(guān)系式問題，是解決此類問題中比較常見的解題思路，

2整體換元

利用整體換元思維解題時，關(guān)鍵是抓住代數(shù)式的某個部分（或特殊結(jié)構(gòu)），如雙變元之間的比值、差值等進行整體換元處理.在整體換元處理時，齊次化思維是其中比較常用的一種變形方式，如“除1\"法往往是化整式為分式的基本途徑.

例題（2024年遼寧省實驗中學高三第二次月考數(shù)學試卷第16題）已知 a²+2ab-b²=1 ，則 a²+ b² 的最小值為

分析：根據(jù)目標結(jié)論中的關(guān)系式，并利用條件中的關(guān)系式進行整體換元處理，通過“除1\"法進行恒等變形，化整式齊次式為分式齊次式，結(jié)合分式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，合理配湊并利用基本不等式來進行放縮處理，進而得以確定對應代數(shù)式的最值.

解析：依題 a²+2ab-b²=1 ，顯然 a≠0 ，設 （204號 Ψ_t ，則有 ，解一元二次不等式有 1- ，可得

通過整式齊次式轉(zhuǎn)化為分式齊次式，并利用基本不等式，可得 當且僅當 A即 ，亦即 時等號成立，所以 a²+ ，即 a²+b² 的最小值為 ，故填答案

點評：對變形后的代數(shù)式的某個部分（或特殊結(jié)構(gòu)），經(jīng)常是用比值、差值等進行整體換元處理，能夠凸顯出某些關(guān)系式特定的解題形式，為進一步巧妙引導、合理啟發(fā)開拓空間.

3對應換元

利用對應換元思維解題時，往往是抓住題設條件與所求結(jié)論中對應代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進行對應換元處理，從而簡化關(guān)系式的復雜程度，使得所求代數(shù)式與題設條件之間的聯(lián)系更加密切，為進一步利用基本不等式來放縮提供條件.

例題已知正實數(shù) x，y 滿足 x+2y+2=2xy 則 的最小值為

分析：根據(jù)題設條件，對題設條件中的關(guān)系式進行合理變形轉(zhuǎn)化，與結(jié)論所求的代數(shù)式加以對比，而后進行合理配湊與因式分解、對應換元處理，利用兩變量的定積，結(jié)合基本不等式的放縮來確定所求代

數(shù)式的最值.

解析：依題，正實數(shù) x，y 滿足 x+2y+2=2xy . 變形轉(zhuǎn)化可得

設 x-1=a，2y-1=b ，由于 x，y 為正實數(shù)，則 有 agt;0，bgt;0 且 ab=3

利用基本不等式，可得 ，當且僅當 ，即 3a=2b ，亦即 3（x-1）=2（2y-1） 時等號成立，所以 2y-1的最小值為2√2，故填答案2√2.

點評：利用兩個或多個新的變量替換原來的兩個或多個變量，從而合理改變題目結(jié)構(gòu)，進而給原來繁雜的代數(shù)式創(chuàng)造了新的解題機會，特別要注意的是多次利用基本不等式時每個不等式取等號的條件應是相同的.

4變形換元

利用變形換元思維來處理問題時，關(guān)鍵是根據(jù)題設條件中的代數(shù)式與所求結(jié)論中的代數(shù)式兩者之間的結(jié)構(gòu)特征與聯(lián)系加以合理變形轉(zhuǎn)化與換元選取.變形換元思維處理時，依托換元轉(zhuǎn)化，往往可以使得多元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征更加突出，方便利用不等式或函數(shù)等思維來進一步分析與求解，

例題（2023年浙江省寧波市高中數(shù)學競賽試題第11題）已知 x，y，z 均為正實數(shù)， xy+yz=1 ，則 的最小值是

分析：根據(jù)題設條件中多元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，利用提取公因式變形轉(zhuǎn)化，并進行雙變量變形換元處理，而后借助基本不等式的放縮來確定最值.

解析：依題 xy+yz=1 ，則有 （x+z）_y=1 ，令x+z=mgt;0，y=ngt;0 ，則有 mn=1

利用基本不等式，可得 ，當且僅當 n ， 時等號成立，顯然這樣的正實數(shù) x，y，z 均存在，所以"""的最小值是""，故填答案"

點評：先對所給的代數(shù)式進行合理變形，然后對其中的特定結(jié)構(gòu)形式進行換元處理，用新變量替換原來的舊變量，進而有效揭露代數(shù)式中所隱含的關(guān)系，為進一步利用基本不等式放縮而順利解題創(chuàng)造了條件.

5結(jié)語

基于換元思維的基本不等式的放縮與應用，往往使得問題中所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征更加明顯突出，對代數(shù)式的放縮與最值求解更加直接有效，有利于某些代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題的分析與求解.換元法與基本不等式的綜合與協(xié)同，共同實現(xiàn)某些代數(shù)式的最值（或取值范圍）求解，聯(lián)袂應用，真正達到"_1+1gt;2"的效果.