多思維巧妙切入，妙方法應(yīng)用突破

歷年的高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題，用于競賽選拔的同時，也是高考命題的一個重要來源.特別是一些涉及高中主干知識點考查與應(yīng)用的競賽試題中，還可以作為高考模擬題來拓展與研究，實現(xiàn)高中數(shù)學知識的應(yīng)用與數(shù)學思維能力的拓展，這成為高考數(shù)學解題研究中的一個重要陣地，一直備受各方關(guān)注

1問題呈現(xiàn)

問題[2024年高中數(shù)學聯(lián)合競賽（一試）試題第7題設(shè) F₁，F(xiàn)₂ 為橢圓 的焦點，在 上取一點 P （異于長軸端點），記 O 為 ΔPF₁F₂ 的外心，若 ，則 的離心率的最小值為

分析：此題難度中等，是一道基于橢圓及其應(yīng)用的問題場景，需要借助橢圓上的一個動點，結(jié)合焦點三角形的設(shè)置，利用平面幾何中三角形的外心及其性質(zhì)，融合平面向量的數(shù)量積加以綜合，進而確定對應(yīng)橢圓的離心率的最值.

該問題作為競賽試題并不是很難，可以作為高考模擬題來拓展，關(guān)鍵在于合理的數(shù)學思維切入、巧妙的技巧方法應(yīng)用.在競賽中，可以借助不等式思維來切入與應(yīng)用；在高考模擬中，可以借助方程思維或參數(shù)方程思維等來切入與應(yīng)用，這都是突破與應(yīng)用的關(guān)鍵所在.

2問題破解

2.1不等式思維方法1（柯西不等式法）

取 F₁F₂ 的中點 M ，結(jié)合 ΔPF₁F₂ 外心的幾何性質(zhì)，有 ，故

記 ∣PF₁∣=u，∣PF₂∣=v，∣F₁F₂∣=d ，則 · . （20

又 v²-d² ，故由條件知 ，即

由柯西不等式可知， ·

，當且僅當 9u²=v² 即 時等號成立，所以 的離心率

4，當u：：d=1：3：√6時，Ω的離心率e取到最小值 ，故填答案 A

點評：不等式思維是處理解析幾何中相關(guān)要素的最值（或取值范圍）等問題中，比較常用的一種解題方法.以上解題方法借助代數(shù)式的合理配湊，以及柯西不等式來合理放縮與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了較強的技巧性.

2.2方程思維

方法2（判別式法1）.

以上部分同方法1，可得 2d²=3u²+v²

由 |F₁F₂|=d=2c，|PF₁|+|PF₂|=u+v= 2a， ，可得 d=e（u+v） ，所以 γ）²=3u²+v² ，即

令 ，得 整理可得中（2e²-3）t²+4e²t+2e²-1=0.

顯然 ，不符合橢圓離心率的取值范圍），則有判別式 Δ=16e⁴-4（2e²-3） ·（2e²-1）=32e²-12≥0 ，則有 ，解得 ，即 的離心率 e 的最小值為 ，故填答案 ·

方法3（判別式法2）.

以上部分同方法1，可得 2d²=3u²+v²

|F₁F₂|=d=2c，|PF₁|+|PF₂|=u+v=2a， 則有 8c²=3u²+（2a-u）² ，整理可得 u²-au+a²- 2c²=0. 由判別式 Δ=a²-4（a²-2c²）=8c²-3a²? 0，則有 ，解得e 4，即的離心率e的最小值為 ，故填答案 ：

點評：方程思維是解決參數(shù)的最值（或取值范圍）問題中，比較常用的一種解題方法.該方法的關(guān)鍵在于合理構(gòu)建相應(yīng)的二次方程，利用方程有實根的條件，借助判別式法來構(gòu)建不等式，通過不等式的求解與應(yīng)用，來確定對應(yīng)參數(shù)的最值（或取值范圍）.在實際應(yīng)用方程思維來處理問題時，合理的引參、方程的構(gòu)建、設(shè)而不求等思維的應(yīng)用，成為破解問題的關(guān)鍵

2.3參數(shù)方程思維

方法4（參數(shù)方程法）.

不妨設(shè)橢圓 的焦點在 x 軸上，而 O 為ΔPF₁F₂ 的外心，結(jié)合 ΔPF₁F₂ 外心的幾何性質(zhì)，有 O 在 F₁F₂ 的垂直平分線上，即 O 在 y 軸上，則設(shè)O（0，m） ·

結(jié)合橢圓 的標準方程 0），設(shè) P（acosθ，bsinθ），θ∈（0，π）

由 ，可得 -b

由 2（a²cos²θ-c²+b²sin²θ） ，則有－2accos θ= 2（a²cos²θ-c²+b²sin²θ） ，即一accos θ=a² · a²-c²（2-cos²θ） ·

兩邊同時除以 a² ，得一ecos

cos²θ. ，整理可得 e²cos²θ+ecosθ+1-2e²=0. 由于cc ，則有判別式 Δ=e²-4e²（1-2e²）=8e⁴-3e²?0 ，則有 ，解得e ，等號成立時有cos ，即 的離心率 e的最小值為 ，故填答案 ·

點評：參數(shù)方程思維是處理涉及解析幾何中有關(guān)向量的數(shù)量積問題時，經(jīng)常采用的一種解題方法.借助解析幾何中對應(yīng)曲線的參數(shù)方程，結(jié)合角參數(shù)的引入來創(chuàng)設(shè)場景，進而確定對應(yīng)點的坐標，為進一步確定向量的數(shù)量積創(chuàng)造條件.合理的三角恒等變換，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角方程的轉(zhuǎn)化以及判別式的構(gòu)建等方面的應(yīng)用，給問題的進一步解決指明了方向.

3變式拓展

基于以上競賽試題的解析與應(yīng)用，對問題進一步挖掘與探究，并進行推廣與應(yīng)用，得到以下更具一般性的變式問題.

變式設(shè) F₁，F(xiàn)₂ 為橢圓 的焦點，在 上取一點 P （異于長軸端點），記 O 為 ΔPF₁F₂ 的外心，若 ，則 的離心率的最小值為

解析：取 F₁F₂ 的中點 M ，結(jié)合 ΔPF₁F₂ 外心的幾何性質(zhì)，有 ，故

記|PF1|=u，|PF|=γ，|FF2|=d，則PO·

又 ·（u²+v²-d²） ，故由條件知 v²-d²） ，即 2λd²=（2λ+1）u²+（2λ-1）v²，

由柯西不等式可知， v）² ，當且僅當 （2λ+1）²u²=（2λ-1）²v² ，即 （2λ+ 1）u=（2λ-1）v 時等號成立.

Y ，所以 的離心率 e= ，當 u：v：d= 時， 的離心率 e 取到最小值 ，故填答案

其實，變式是類比以上競賽試題的不等式思維下的柯西不等式法來解決與應(yīng)用.當然也可以借助方程思維與參數(shù)方程思維等來解決，這里不再加以展開，可以參照以上部分的相應(yīng)解題方法來處理.

4教學啟示

4.1知識交匯，能力綜合

圓錐曲線及其應(yīng)用是高中數(shù)學知識模塊中的基本知識之一.此類涉及圓錐曲線及其應(yīng)用的問題，很好地交匯代數(shù)與幾何，融合“數(shù)”“形”，兼?zhèn)洹皠印薄办o”，體現(xiàn)“等”與“不等”、“常值”與“最值\"等辯證關(guān)系，是數(shù)學多方面知識融合與交匯的一大重要場所，有效考查數(shù)學基礎(chǔ)知識與數(shù)學關(guān)鍵能力，體現(xiàn)選拔與區(qū)分功能的主陣地之一.

4.2把握本質(zhì)，善于解題

美國數(shù)學家波利亞（G.Polya）曾說：“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”數(shù)學解題教學的本質(zhì)就是通過解題教學與解題研究，全面鞏固數(shù)學基礎(chǔ)知識，有效把握數(shù)學解題思想，不斷積累數(shù)學解題經(jīng)驗，強化數(shù)學解題技巧，發(fā)現(xiàn)數(shù)學解題規(guī)律，掌握數(shù)學解題策略，形成解題意識.

在數(shù)學解題教學與解題研究時，教師要引導學生樹立正確的解題觀，充分挖掘問題的本質(zhì)及內(nèi)涵，充分認清問題的條件；通過有效地深入挖掘內(nèi)涵與實質(zhì)，結(jié)合“一題多變\"等巧妙變式與拓展，養(yǎng)成自身良好的數(shù)學解題品質(zhì)，提升數(shù)學核心素養(yǎng).