人工智能大語言模型支持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)的思考

在大學(xué)與中學(xué)銜接的數(shù)學(xué)教學(xué)上，通用大語言模型等生成式人工智能展現(xiàn)出一定的潛力，它通過和大語言模型進(jìn)行交互，不僅可以改變傳統(tǒng)的師生對話與互動的教學(xué)模式，也為學(xué)生提供了全新的學(xué)習(xí)體驗(yàn).

1人工智能大語言模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.1為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源

生成式大語言模型與搜索引擎相配合可以高效地從互聯(lián)網(wǎng)內(nèi)容中獲取大量的信息，進(jìn)行學(xué)習(xí)資源推薦.例如，秘塔AI搜索可以返回帶有參考文獻(xiàn)的信息，如輸入“數(shù)列的子列”一詞，它會給出概念的解釋、延伸閱讀、參考文獻(xiàn)等，還能生成演示文稿和思維導(dǎo)圖.中國知網(wǎng)的AI學(xué)術(shù)研究助手也能通過問答檢索出相關(guān)文獻(xiàn).然而，由于人工智能技術(shù)可能生成陳舊、虛假或相關(guān)錯誤的信息，所以學(xué)生在接受信息時(shí)需要保持批判性思維，形成自己對問題的認(rèn)識，

1.2輔助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和問題

通用大語言模型通過提供分步計(jì)算、圖表等形式進(jìn)行可視化表示，逐步解釋思考過程或驗(yàn)證具體的實(shí)例，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深入理解.例如，讓大語言模型用形象化語言解釋高等數(shù)學(xué)中的概念“數(shù)列的子列”時(shí)，它給出了很多生動的比喻，如鋼琴鍵盤（將數(shù)列比作鋼琴的整個鍵盤，每個鍵代表一個元素，子列就是從鍵盤上選擇的幾個鍵，菜單上的菜品（將數(shù)列比作餐廳菜單上的一系列菜品編號，子列就是顧客從菜單中選擇的一些菜品編號），火車車廂（將數(shù)列想象成一列火車的車廂，每節(jié)車廂都有一個編號，子列就是從這列火車中選取的一些車廂），項(xiàng)鏈上的珠子（把整個數(shù)列想象成一串項(xiàng)鏈，項(xiàng)鏈上的每顆珠子代表數(shù)列中的一個元素，子列就是從這串項(xiàng)鏈中選取一些珠子組成的小項(xiàng)鏈）.

1.3幫助學(xué)生進(jìn)行個性化學(xué)習(xí)

學(xué)貴有疑，有疑問時(shí)可以和人工智能進(jìn)行多輪互動問答.例如，學(xué)生可以針對某一話題詢問大語言模型“你還能提出什么問題”.大語言模型先進(jìn)行發(fā)散性的回答，再對其中感興趣的話題繼續(xù)交流和探索.大語言模型還能提供“腳手架”，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和探索，培養(yǎng)其提出問題的能力.例如，學(xué)生希望使用GeoGebra或Mathematica等數(shù)學(xué)軟件作圖，但不知如何操作時(shí)，可以讓大語言模型給出操作步驟，又或者想編寫一個解決相關(guān)問題的Py-thon程序時(shí)，也可以讓大語言模型提供代碼，注意有時(shí)需要對給出的步驟或代碼進(jìn)行調(diào)試和修改以得到期望的結(jié)果.

1.4幫助教師進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容和方法的創(chuàng)新

創(chuàng)新思維通常呈現(xiàn)出非線性、發(fā)散、跳躍的思考方式.[大語言模型幫助教師對教學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)行創(chuàng)新.仍以“數(shù)列的子列”這一中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接內(nèi)容為例，首先，大語言模型提出定義理解、識別子列、子列性質(zhì)、遞增子列構(gòu)造、子列個數(shù)、子列應(yīng)用等問題，還建議使用GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件動態(tài)展示數(shù)列和子列的生成；其次，收集實(shí)際問題中數(shù)列和子列的應(yīng)用案例，組織小組討論，讓學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)子列的性質(zhì)；再次，開發(fā)或引入數(shù)學(xué)游戲，如數(shù)列排序等，以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性，同時(shí)使用思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生整理和理解數(shù)列、子列的關(guān)系；最后，設(shè)計(jì)一個項(xiàng)目，讓學(xué)生研究數(shù)列在特定領(lǐng)域的應(yīng)用，并展示他們的發(fā)現(xiàn).教師還可以讓大語言模型給出不同類型的題目并給出解答，如基礎(chǔ)理解題（描述定義并給出例子，識別子列題，已知子列構(gòu)造原數(shù)列），計(jì)算題（子列求和），應(yīng)用題（記錄一周內(nèi)每天的步數(shù)，找出一個表示運(yùn)動增加的子列），證明題（子列的有界性），探索性問題（最長遞增子列如何找子列的子列），算法設(shè)計(jì)題（設(shè)計(jì)算法求出最長遞增子列的長度），讓學(xué)生可以練習(xí)、識別、構(gòu)造、計(jì)算和證明與數(shù)列和子列相關(guān)的各種問題

1.5幫助教師了解學(xué)生可能的困難

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以讓大語言模型來幫助預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，從而設(shè)計(jì)出更有效的教學(xué)策略.例如，在詢問“學(xué)生對理解數(shù)列的子列這一概念會有哪些困難”時(shí)，大語言模型會提供“順序的重要性”“連續(xù)性和間隔”“有限與無限”“數(shù)學(xué)符號表示的困惑”“子列性質(zhì)”“子列與原數(shù)列的關(guān)系”“子列構(gòu)造”“實(shí)際應(yīng)用\"等方面的困難，還提供一些可以采取的策略，如使用具體的例子和類比來幫助學(xué)生形象化地理解子列，通過圖形和圖表來展示數(shù)列和子列的關(guān)系，討論子列在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，以展示其相關(guān)性和重要性.

2教師使用人工智能大語言模型時(shí)需要具備的能力

2.1了解輸入數(shù)學(xué)公式和符號的 TeX語法

TeX是由美國著名的計(jì)算機(jī)科學(xué)家高德納（D.E.Knuth）開發(fā)的排版系統(tǒng)，是公認(rèn)的數(shù)學(xué)公式排版最好的系統(tǒng).了解基本的TeX語法是與人工智能進(jìn)行數(shù)學(xué)符號溝通的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)中常用的符號包括上下標(biāo)、分式、根式、不等號、取整、求和、求積、求導(dǎo)、并集與交集、屬于與包含、平行與垂直、相似與全等、任意與存在、不等號、平均數(shù)、向量、希臘字母、無窮大、極限、微分、積分等.

2.2具有邏輯推理和驗(yàn)證證明的能力

對于大語言模型給出的答案，教師要進(jìn)行判斷、甄別和選擇，判斷它們是否符合邏輯，論證是否嚴(yán)謹(jǐn).這需要教師具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、定理和公式，知道常見的演繹推理方式，如直接證明（綜合法、分析法、窮舉法、構(gòu)造法），間接證明（反證法、歸謬法），數(shù)學(xué)歸納法等.數(shù)學(xué)證明能力是一種高階的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，而驗(yàn)證證明或評估證明是通過閱讀和反思來檢驗(yàn)論證的有效性，強(qiáng)調(diào)對證明的批判性思考.[2在課堂上通常會進(jìn)行構(gòu)建證明的活動，而反思大語言模型給出的回答是不是“幻覺\"輸出，或是否存在邏輯上的漏洞，正需要教師的閱讀和驗(yàn)證證明能力.當(dāng)代著名教育學(xué)家加涅（R.M.Gagne）也認(rèn)為：為確保成功地解決問題，教師必須有證實(shí)答案的方法.3能正確評價(jià)大語言模型給出的論證是否有效對得到正確的證明很有幫助.教師可以讓大語言模型提供幫助理解的例子來驗(yàn)證論證是否正確，通過和大語言模型交互來驗(yàn)證證明，在此過程中也包含了修訂證明和生成新的證明.

2.3具有質(zhì)疑精神并且要保持開放心態(tài)

對大語言模型給出的回答要用質(zhì)疑的眼光審視它.對于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，盡管大語言模型能快速給出回答，但它往往不能給出數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砘蛴?jì)算，或者因果關(guān)系有誤，對數(shù)學(xué)的概念理解有誤，生成的資料與文獻(xiàn)來源可能不匹配，這就需要教師擁有批判性思維，仔細(xì)閱讀回答以及資料來源，不能對其盲目信賴.當(dāng)然，教師也需要保持開放心態(tài)，關(guān)注它所提供的啟發(fā)線索，不要只挑錯誤.就像志村五郎曾經(jīng)評論谷山豐說他的“絕大部分錯誤總是指向正確的方向”[4只要大語言模型的回答能生成提示、引導(dǎo)直覺、激發(fā)靈感、催化頓悟、提出猜想，幫助我們找到適宜的問題表達(dá)方式，就對我們解決問題有所啟發(fā).當(dāng)然也要避免過度依賴，人工智能作為學(xué)習(xí)輔助不能完全代替自主思考，在有選擇地吸收大語言模型提供的觀點(diǎn)后主動形成自己的觀點(diǎn)，才能更好地促進(jìn)理性思維的發(fā)展

2.4具有提問和使用提示詞的能力

提示詞也被稱為指令或常用語.教師在使用大語言模型解決相對復(fù)雜的任務(wù)時(shí)，需要創(chuàng)建具體、明確的提示詞，從而讓大語言模型生成更合適和更具體的回答.詳細(xì)的提示詞一般包含背景（例子）、角色、任務(wù)和輸出要求等要素.其中，背景可以是正在設(shè)計(jì)關(guān)于中值定理綜合應(yīng)用的課例；通過賦予角色讓大語言模型知道自己是專家、教師、學(xué)生還是研究者，如“我希望你能扮演一位善于高等數(shù)學(xué)的專家”；任務(wù)可以是解釋定理、提出問題、給出詳細(xì)的逐步推理過程、提供問題解決策略、舉出現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用、給出小結(jié)和反思等；輸出要求可以是表格、分段文字、對話形式、代碼等.此外，也可以讓大語言模型自己寫提示詞.為更好地發(fā)揮人工智能的作用，教師更要主動思考、積極提問，保持著好奇心、想象力和探求欲，在交互過程中調(diào)用元認(rèn)知能力，提高思維的深刻性

3結(jié)語

如果教師要和大語言模型進(jìn)行關(guān)于問題解決的高水平討論，還要了解相關(guān)的理論知識，如布盧姆目標(biāo)分類學(xué)，問題解決的相關(guān)心理學(xué)理論（杜威的五階段論、羅斯曼的六階段論、布蘭斯福特等人的IDEAL模式、皮亞杰的理論、格式塔學(xué)派的頓悟說、信息加工理論的算法式與啟發(fā)式），問題圖式理論，波利亞、舍費(fèi)爾德等的數(shù)學(xué)解題理論，奧蘇伯爾和魯賓遜的四階段數(shù)學(xué)問題解決過程模型等.教師在使用指令時(shí)，也可以用“逆向思考”“手段一目的分析法”“類比\"\"分解”“歸納”等啟發(fā)性提示詞讓大語言模型提供回答，也可以讓它使用結(jié)構(gòu)圖對問題進(jìn)行歸類、分組、比較來促進(jìn)對問題的理解，幫助構(gòu)建問題圖式，提高問題解決能力，促進(jìn)教育創(chuàng)新.

不斷進(jìn)步的人工智能技術(shù)在教育領(lǐng)域的應(yīng)用前景無限廣闊，筆者也有理由相信它將為各個階段的數(shù)學(xué)教育帶來革命性的變化.

參考文獻(xiàn)

[1]張曉芒.創(chuàng)新思維的邏輯學(xué)基礎(chǔ)[J].南開學(xué)報(bào)，2006（6）：88-96.

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[3]R·M·加涅.學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.

[4]G.Shimura.YutakaTaniyamaandHisTime：VeryPersonalRecollections[J].Bulletin of theLondon Mathematical Society，1989（2）：186-196.