高考數(shù)學試題的深度剖析

2024年數(shù)學新高考全國I卷創(chuàng)設(shè)了全新的試卷結(jié)構(gòu)和難度模型，其中題量從原先的22題減少到19題，分值和多選題的得分規(guī)則也發(fā)生了變化.高考數(shù)學通過創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)和題目風格，深化基礎(chǔ)性考查，強調(diào)對學科基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解，不考死記硬背，不出偏題怪題，著力遏制猜題押題，減少題海戰(zhàn)術(shù)的濫用，引導中學教師把教學重點從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，提升課堂效果和作業(yè)效率.1在解析幾何知識的考查上，2024年數(shù)學新高考全國I卷第11題充分體現(xiàn)了“多思少算\"的設(shè)計理念，引導高中解析幾何教學注重思維訓練，加強思維能力的培養(yǎng).

1試題呈現(xiàn)

造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線 C 的一部分.已知 C 過坐標原點 O ，且 C 上的點滿足：橫坐標大于一2，到點 F（2，0） 的距離與到定直線 x=a（alt;0） 的距離之積為4，則.

D.當點 （x₀，y₀） 在 C 上時，

依據(jù)《中國高考評價體系》三個維度對該試題進行評價.[2]

（1）為什么考.考查學生面對新情境、解決新問題的創(chuàng)新能力，引導學生從不同角度認識問題，鼓勵學生主動思考、發(fā)散思維，激發(fā)學生的想象力和思維張力，深入考查思維能力，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔，

A. a=-2

B.點 在 c 上

C. C 在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

（2）考什么.試題涉及軌跡方程、函數(shù)最值、不等式問題等，考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等素養(yǎng).

（3）怎么考.摒棄了以往常見的以三種圓錐曲線為載體，從“絲帶”這個實際生活背景出發(fā)，抽象出數(shù)學模型，重新定義了一個新曲線，并研究它的一些相關(guān)性質(zhì).

2解題思路

2.1理解題意

A選項要求學生求出參數(shù) ^a，B 選項要求判斷點是否在曲線上，C選項是求最值問題，D選項判斷點在曲線上時， y₀ 和 的不等關(guān)系.

2.2制定計劃

利用題目所給條件寫出新曲線的方程 · ，根據(jù)題設(shè)將原點代入曲線方程后可求出 a ，從而判斷A的正誤，再結(jié)合曲線方程可判斷B的正誤.對于C選項，可以由軌跡方程，將 y 表示成 x 的函數(shù)，再通過求導的方法判斷或求出 的最大值.對于D選項，將曲線方程化簡后結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷 D 是否正確

2.3實施計劃

設(shè)曲線 C 上的動點 ，則 ，因為曲線 C 過坐標原點，所以 ，又alt;0 ，所以 a=-2 ，故A正確.

對于B選項，因為曲線方程為 |x-a∣=4（xgt;-2） ，當 時， ，故 在曲線 C 上，B正確.

對于C選項，當點 P 在第一象限時，由曲線方程可得 令藍 （x-2）² 則 ，因為f（2）=1 ，且 f^′（2）lt;0 ，所以曲線 C 在 x=2 處的切線斜率小于0，說明在其附近函數(shù)單調(diào)遞減，則縱坐標的最大值肯定比1大，故C錯誤

對于D選項，當點 （x₀，y₀） 在曲線 C 上時，由C選項可得 所以 x0+2故D正確.

2.4 回顧反思

我們發(fā)現(xiàn)上述C、D選項的解答稍顯煩瑣，是否有特殊的方法？如特值法、數(shù)形結(jié)合法等.

在 x=2，y=1 的條件下，可以直接利用圖象，過點 F 作一條垂線，與曲線交于點 P ，此時發(fā)現(xiàn) P 點不是最高點，也可判斷C選項是錯的；或者直接在點P 處作一條切線，發(fā)現(xiàn)其切線斜率不為0，非端點最值點導數(shù)不為0，可判斷C選項不正確，避開煩瑣的運算，自然是此題的好方法.

再看D選項，解析幾何要靈活運用曲線定義，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，數(shù)形結(jié)合地看問題.如圖1所示，過點 作 PA⊥OF 垂足為 A ，則 xo+2，顯然有yo≤lyo丨=PA≤ ，當動點 P 在 x 軸下方時，不等式顯然也成立， D 正確.

這個方法體現(xiàn)了解析幾何中“多思少算”的思想，這在后續(xù)的解析幾何大題中也有所體現(xiàn)

3追本溯源

3.1試題的源

試題的源頭來自有理曲線：如果一條代數(shù)曲線的點可以表示成參數(shù)的有理函數(shù)，則該曲線稱為有理曲線，如蔓葉線（如圖2）、笛卡爾葉形線（如圖3）、環(huán)索線（如圖4）等均為有理曲線

2024年數(shù)學新高考I卷第11題就是源自有理曲線 （x+2）²?[（x-2）²+y²]=16 圖象上橫坐標大于一2的部分.

3.2鏈接高考

（2011年高考北京卷）曲線 C 是平面內(nèi)與兩個定點 F₁（-1，0） 和 的距離的積等于常數(shù) α² 1 （agt;1） 的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論： ① 曲線 C 過坐標原點； ② 曲線 C 關(guān)于坐標原點對稱； ③ 若點 P 在曲線 C 上，則 ΔF₁PF₂ 的面積不大于

其中，所有正確結(jié)論的序號是

此題是以“到兩定點距離之積”為命題切人，考查了曲線的軌跡方程、對稱性、動點在運動過程中的最值問題，與2024年數(shù)學新高考全國I卷第11題有異曲同工之處.

3.3 回歸課本

人教A版《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊》給出了滿足到定點與定直線的距離之比為定值的曲線相關(guān)探究與習題，使圓錐曲線統(tǒng)一了定義：動點到定點的距離與到定直線的距離之比為定值.將“比\"換成“積”得到了本題的曲線.我們自然會思考“若將其改為距離之和或差時，會得到什么形狀的曲線？曲線會有哪些性質(zhì)呢”.按照這個思路，可以將2024年數(shù)學新高考全國I卷第11題進行推廣.

4推廣運用

4.1探究距離之“和”

利用GeoGebra軟件（以下簡稱“GGB\"繪制平面內(nèi)到定點與定直線 a 的距離之和為定值的軌跡，當參數(shù) a 取不同值時，軌跡不一定會存在，但當軌跡存在時，其形態(tài)為兩段不連續(xù)的拋物線型曲線（如圖5、圖6、圖7）.

結(jié)論：平面內(nèi)到定點與定直線的距離之和為定 值（大于定點到定直線的距離）的點的軌跡為兩段拋 物線（均不完整）.

4.2探究距離之“差”

同樣，通過GGB軟件繪制平面內(nèi)到定點與定直線的距離之差為定值的軌跡，發(fā)現(xiàn)軌跡不一定存在，若存在即為拋物線（如圖8）.若改變定值或定點可能會出現(xiàn)不同的圖形（如圖9）.

事實上，若將距離改為之“和\"或“差”，其軌跡方程都不難研究，因為可以對 x 的范圍進行分類討論，再將其方程化簡，得到分段圖象，即可研究圖象的性質(zhì).

4.3變式訓練

變式1已知曲線 C 是平面內(nèi)到定點 F（0，1） 和定直線 l：y=-1 的距離之和等于4的點的軌跡，若點P（x₀，y₀） 在曲線 C 上，則下列結(jié)論正確的是.

A.曲線 C 關(guān)于 x 軸對稱B.曲線 c 關(guān)于 軸對稱C. -2?x₀?2

D. 1?|PF|?4

變式2 已知曲線 c . · ，以下結(jié)論正確的有

（1）C 過（0，0）.（2）C 上任意一點縱坐標的取值范圍是[一2，2].（3）C 關(guān)于 x 軸對稱，也關(guān)于 軸對稱，還關(guān)于原點對稱.

（4）P 是 C 上任意一點， A（0，1），B（0，-1） ，則S_ΔPAB 的最大值是

4.4推廣價值

通過推廣運用進一步考查學生“用代數(shù)方法研究幾何問題”的能力.變式1判斷曲線的對稱性問題，寫出方程后可以直接用一 x 代替 x ，方程不變，說明圖象關(guān)于 y 軸對稱.對于選項的設(shè)計應貫徹“多思少算”的思想，引導學生對數(shù)學本質(zhì)的理解.變式2求解最值問題時，可利用數(shù)形結(jié)合，減少計算量.

5教學建議

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課程標準\"指出：“數(shù)學教材為‘教與‘學活動提供學習主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)重要的教學資源.\"[3教育部教育考試院強調(diào)，要堅持考教銜接，引導學生夯實基礎(chǔ)、提升能力、發(fā)展素養(yǎng).近年來，新高考為發(fā)揮“引導教學\"的核心功能，試題注重對教材知識的延伸和發(fā)展，多數(shù)試題都能在教材中找到蹤影.高中數(shù)學教學應以教材為本，重視教材的作用，把教材作為教學的核心資源，在課堂教學中遵循課程標準，根據(jù)學情、利用教材進行創(chuàng)新設(shè)計與實施.

5.1研讀課程標準，領(lǐng)會課標精神

課程標準是教材編寫、課堂教學、學業(yè)評價和高考命題的依據(jù).教師應準確把握課程標準、課程內(nèi)容、學業(yè)質(zhì)量標準的要求，結(jié)合自身教學實際情況，選擇更適合學生學情和教學內(nèi)容的方法開展教學，提高教學質(zhì)量.

5.2用好教材例題、習題，進行創(chuàng)造性的教學

高考試題源于教材，又高于教材，近年來有眾多試題源于教材或由教材中的例題、習題改編.教師應重視對教材典型例題和習題的精講、精練，并加以挖掘和改造，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，這樣可以有效避免機械重復的練習，幫助學生掌握知識技能，感受數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學思維經(jīng)驗，理解數(shù)學的本質(zhì)，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)，

5.3用好章小結(jié)，使知識系統(tǒng)化

教師應該充分利用章小結(jié)中的“本章知識結(jié)構(gòu)”“回顧與思考”部分，整合主干知識，完善專題體系，形成學科思想.通過引導學生繪制思維導圖，直觀地呈現(xiàn)整章知識的結(jié)構(gòu)，便于學生理解和記憶，提煉本章中蘊含的數(shù)學思想方法，提升學生對知識運用的靈活性，從整體上把握知識的系統(tǒng)性，

5.4用好教材中的“閱讀與思考”，培養(yǎng)學生自主學習和探究的能力

人教A版普通高中教科書的“閱讀與思考\"欄目，為學生提供豐富的，具有思想性、實踐性、挑戰(zhàn)性的反映數(shù)學本質(zhì)的選學材料，能夠拓展學生的數(shù)學活動空間，發(fā)展學生“做數(shù)學\"“用數(shù)學\"的意識.這些材料所具備的拓展性、創(chuàng)新性、應用性及展示數(shù)學文化的趣味性是命制新定義試題所必需的.近些年，這些材料也常常作為高考命題的素材出現(xiàn)在高考試題中.

教師可以通過這些具有啟發(fā)性、探究性的數(shù)學材料，引導學生主動思考、積極探索，培養(yǎng)學生的邏輯思維、創(chuàng)新思維和批判性思維能力；通過實際問題的分析和解決，讓學生學會將所學數(shù)學知識應用到實際情境中，提高學生提出、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識.

通過教學使學生在面對新情境、陌生問題時能獨立找到解決方法，這正是數(shù)學教師教學過程中落實考教銜接的意義所在.

參考文獻

[1]教育部教育考試院.優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計突出思維能力考查2024年高考數(shù)學全國卷試題評析[J].中國考試，2024（7）：79-85.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系（2019年版）[M.北京：人民教育出版社，2019.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.