數(shù)學(xué)抽象理解及解題方法探究

三角形全等條件是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，不僅涉及數(shù)學(xué)知識的掌握，還需要學(xué)生具備一定的抽象思維和解決問題的能力.三角形全等條件的學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維和解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

1數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)存在的問題

在對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)進行培養(yǎng)的過程中，抽取同類數(shù)學(xué)對象共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程.讓學(xué)生學(xué)會通過抽象、概括去認識、理解把握數(shù)學(xué)本質(zhì).[1]目前在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)中存在以下問題

（1）唯分數(shù)論：當(dāng)前的教育制度和評價體系往往過于注重考試成績，導(dǎo)致教師和學(xué)生都更關(guān)注應(yīng)試技巧和應(yīng)試知識的掌握，忽視了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面培養(yǎng).

（2）教學(xué)內(nèi)容的過度“填鴨”：一些教師過于依賴教科書和輔導(dǎo)資料，只注重知識點的傳授和機械運算技巧的訓(xùn)練，缺乏啟發(fā)式和探究性的教學(xué)方法，使學(xué)生的創(chuàng)新思維和能力受到限制.

（3）學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力不足：數(shù)學(xué)解題是學(xué)生理解和運用數(shù)學(xué)知識的重要途徑.[2]對于一些學(xué)生來說，數(shù)學(xué)解題可能顯得乏味和枯燥，從而缺乏學(xué)習(xí)的動力和興趣.這可能與教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計、教學(xué)方法的選擇以及學(xué)生對數(shù)學(xué)的認知等因素有關(guān)

（4）缺乏綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)：豐富核心素養(yǎng)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的有效途徑.[3]一些學(xué)生在解決實際問題、數(shù)學(xué)建模和跨學(xué)科應(yīng)用等方面的素養(yǎng)不足.當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)往往側(cè)重于基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，對于復(fù)雜問題的解決和創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)有所欠缺

2三角形全等的判定定理

三角形全等的學(xué)習(xí)內(nèi)容豐富、方法眾多，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和推理能力具有重要的作用.教學(xué)中需注重甄別三角形全等的條件，選擇相應(yīng)的方法.三角形全等的判定定理如下.

（1）邊邊邊（SSS）：兩個三角形中，三條邊分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和ΔXYZ 的邊分別為 AB，AC，BC 和 XY，XZ，YZ ，如果 AB=XY，AC=XZ，BC=YZ ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（2）邊角邊（SAS）：兩個三角形中兩條邊分別相等，且這兩條邊的夾角度數(shù)也分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和 ΔXYZ 的兩邊和它們的夾角分別為 AB，BC，∠B 和 XY，YZ，∠Y .如果 AB=XY，BC=YZ 0 ∠B=∠Y ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（3）角邊角（ASA）：兩個三角形中，兩個夾角和它們夾邊的邊長分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和△XYZ的兩夾角和它們的夾邊長分別為 ∠A，∠B，AB，∠X，∠Y，XY ，如果∠A=∠X ∠B=∠Y，AB=XY ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（4）角角邊（AAS）：兩個三角形中，兩個夾角和它們其中一個夾角的對邊分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和△XYZ的兩夾角和其中一個夾角的對邊分別為 ∠A，∠B，BC，∠ ∠X 、∠Y，YZ ，如果 ?∠A=∠X，∠B=∠Y，BC=YZ ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（5）斜邊直角邊（HL）：兩個直角三角形中，一條直角邊和斜邊分別相等，則這兩個直角三角形為全等三角形.例如， RtΔABC 和 RtΔXYZ 的一條直角邊和斜邊分別為 AB，BC，XY，YZ ，如果 AB=XY 0BC=YZ ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

3判斷三角形全等的解題實例

（1）已知兩組邊對應(yīng)相等及另一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：SSS、SAS.

例1如圖所示，已知 AC=BD，O 是 AB 和CD的交點，并均分線段 _AB 和 CD ，求證： ΔAOC 與ΔBOD 全等.

證明方法1：因為 O 均分線段 _AB 和 CD ，所以 AO=BO 0 CO=DO

在 ΔAOC 和 ΔBOD 中，因為 AC=BD AO= B O，CO=DO ，所以 業(yè)

證明方法2：因為 O 是 _AB 和 CD 的交點，且均分線段 AB 和 CD ，所以 ∠AOC=∠BOD，AO=BO， CO=DO ，所以 ΔAOC?ΔBOD.

（2）已知一組角及該角的鄰邊對應(yīng)相等及另一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：SAS.

例2如圖所示，線段 _AB 與 CD 平行且相等，點 E，F(xiàn) 在 AC 上，且 AE=CF ，求證： ΔABF 與ΔCDE 全等.

證明：因為 AE=CF ，所以 AE+EF=CF+ EF ，即 AF=CE

因為 AB//CD ，所以 ∠A=∠C

在△ABF和 ΔCDE 中，因為 AB=CD 0 AF= CE ∠A=∠C ，所以 ΔABF?ΔCDE

（3）已知一組角及該角的對邊對應(yīng)相等及另一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：AAS

例3如圖所示，已知直角梯形CDEB， ∠D= ∠E=90^° ，點 A 在線段 DE 上， AB=AC ，且 AB⊥ AC ，求證： ΔADC 與 ΔBEA 全等.

證明：因為 AB⊥AC ，所以 ∠BAC=∠D= ∠E=90 ，所以 ∠CAD+∠EAB=90^° . ∠DCA+ ∠CAD=90^° ，所以 ∠DCA=∠EAB ·

在 ΔADC 和 ΔBEA 中，因為 ∠D=∠E=90^° ，∠DCA=∠EAB，AC=AB ，所以 ΔADC?ΔBEA 元

（4）已知兩組角分別對應(yīng)相等及一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：ASA、AAS.

例4如圖所示，已知 ΔABC 與 ΔDEF 中 _AB //DE，BC//EF ，點 D 和點 C 均在線段 AF 上，而且AD=CF ，求證： ΔABC 與 ΔDEF 全等.

證明方法1：因為 AB//DE ， BC//EF ，所以∠A=∠EDF ∠F=∠BCA

又因為 AD=CF ，所以 AC=DF

在 ΔABC 和 ΔDEF 中，因為 ∠A=∠EDF .AC=DF ∠BCA=∠F ，所以 ΔABC?ΔDEF

證明方法2：因為 AB//DE ， BC//EF ，所以∠A=∠EDF ∠F=∠BCA ，所以 ∠B=∠E

又因為 AD=CF ，所以 AC=DF

在 ΔABC 和 ΔDEF 中，因為 ∠A=∠EDF .∠B=∠E，AC=DF ，所以 ΔABC?ΔDEF

（5）利用直角邊、斜邊探索三角形全等

解題方法：HL.

例5如圖所示，已知 RtΔABF 和 RtΔDCE 中，直角分別為 ∠A 和 ∠D D，AB=CD，E，F(xiàn) 位于 BC 上， AF 和 DE 的交點為 O ， BE=CF ，求證：RtΔABF 與 RtΔDCE 全等.

證明：因為 BE=CF ，所以 BE+EF=CF+ EF ，即 BF=CE

在 RtΔABF 和 RtΔDCE 中，因為 BF=CE .AB=DC ， ∠A=∠D=90^° ，所以 RtΔABF? RtΔDCE

4基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的解題教學(xué)策略分析

可以看出，三角形全等的判定形式多樣、方法眾多，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及解題能力的良好素材，但在實際的教學(xué)過程中，應(yīng)避免單純地呈現(xiàn)定理及相應(yīng)的解題策略，而是應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生主動參與、積極思考，探尋解題的策略.具體注意以下幾個方面.

（1）提供多樣化的問題.教師可以設(shè)計一系列多樣化的數(shù)學(xué)問題，它們涵蓋不同的數(shù)學(xué)概念和解題方法.[4學(xué)生在多樣化的問題思考中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，包括觀察、模式識別、推理、建模、運用等.同時，這些問題也能激發(fā)學(xué)生的興趣和思維活動，促進他們對數(shù)學(xué)知識的深入理解.

（2）引導(dǎo)學(xué)生分析問題.教師可以引導(dǎo)學(xué)生仔細分析問題，理解問題的背景和條件，并提出相關(guān)的假設(shè).通過分析問題，學(xué)生可以更深人地理解問題，從而更好地進行抽象和推理，并將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，最終解決問題

（3）鼓勵學(xué)生探索解題方法.教師可以鼓勵學(xué)生嘗試不同的解題方法，包括直覺法、推理法、歸納法等.[5通過多樣化的解題方法，學(xué)生可以探索和發(fā)現(xiàn)適合自己的解題方法和策略，從而提升自己的創(chuàng)造性思維和解決問題的能力.

（4）提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和支持.教師可以在學(xué)生解題過程中提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和支持，幫助他們厘清思路和解題過程，如提供一些提示，引導(dǎo)學(xué)生運用已學(xué)的數(shù)學(xué)概念和方法解決問題，幫助他們理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象方法.這一過程也可以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和自主學(xué)習(xí)能力.

（5）強調(diào)解題過程的重要性.教師應(yīng)該強調(diào)解題過程的重要性，而不僅僅關(guān)注答案的正確與否，鼓勵學(xué)生展示解題思路和步驟，讓他們能夠清晰地表達自己的解題思路.[通過強調(diào)解題過程的重要性，培養(yǎng)學(xué)生批判性思維、創(chuàng)造性思維和解決問題的能力，同時可以更深入地理解數(shù)學(xué)概念和方法，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題

參考文獻

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