高中數(shù)學圓錐曲線中雙曲線的題型解法

圓錐曲線是高中數(shù)學教學的重點內(nèi)容.教師會介紹圓、橢圓、拋物線和雙曲線的基本概念，包括定義、性質(zhì)和特征.圓錐曲線的定義是推導軌跡方程和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是重要的解題工具.[1學生需要學習每種圓錐曲線的標準方程和定義，以及如何根據(jù)給定的條件將方程轉(zhuǎn)化為標準形式或其他形式.同時，學生會學習每種圓錐曲線的特性，如圓的半徑、中心，橢圓的焦點、長軸、短軸，拋物線的焦點、準線等.高中數(shù)學圓錐曲線中雙曲線的題型是每位學生必須掌握的，與整體學習密切相關(guān).教師應當根據(jù)不同的教學目標，進行不同方式的變式探索，同時為學生講解繪制圓錐曲線的要求、注意事項等，從而使學生了解雙曲線的特點、常見題型、正確解出該題型的方法等.

1巧用定義求解雙曲線方程

平面內(nèi)，一動點與兩個定點 F₁，F(xiàn)₂ 距離的差的絕對值等于一個常數(shù)（常數(shù)為 2a ，小于 ∣F₁F₂∣ 的軌跡稱為雙曲線.根據(jù)動圓過動點及與已知動圓相外切，轉(zhuǎn)化為動圓圓心到定點和定圓圓心的距離之差為常數(shù)，根據(jù)雙曲線的定義解答.[3]

例1動圓 P 和兩個定圓（圓 F₁ 和圓 F₂ ）相切，圓 F₁ 的半徑是5，圓 F₂ 的半徑是1，且圓心距F₁F₂=8 ，求動點 P 的軌跡.

解析：用 R 表示動圓 P 的半徑， r₁ 表示圓 F₁ 的半徑， r₂ 表示圓 F₂ 的半徑，動圓 P 與定圓相切有以下兩種情況（如圖1）.

一是動圓 P 和兩個定圓處在外切狀態(tài)，可得∣PF₁∣=R+r₁ ， ∣PF₂∣=R+r₂ ，求它們的差值并與定長 ∣F₁F₂ |作比，就能判斷動點 P 的軌跡.于是∣PF₁∣-∣PF₂∣=（R+r₁）-（R+r₂）=r₁-r₂lt; ∣F₁F₂∣ ，得到動點 P 的軌跡為距離焦點 F₂ 較小的雙曲線的一支.

r₁-r₂=2a=4 ，即 a=2，2c=8 ，求出 c=4，b²= 12.動圓 P 和兩個定圓處在外切狀態(tài)時，和焦點F₂ 距離較近的雙曲線的一支用 表示.

二是動圓 P 和圓 F₁ 、圓 F₂ 處于內(nèi)切狀態(tài).由于動圓的圓心 P 和兩個定圓圓心距離相減后的數(shù)值屬于定長，與圓 F₁ 、圓 F₂ 圓心距離相比，比 |F₁F₂ 小，可以得到 |PF₂|-|PF₁|=（R-r₂）-（R-r₁）= r₁-r₂lt;|F₁F₂| ，得到動點 P 的軌跡為距離焦點F₁ 較小的雙曲線的一支.

動圓 P 和兩個定圓處在內(nèi)切狀態(tài)時，和焦點F₁ 距離較近的雙曲線的一支用 表示.

例2雙曲線 的左焦點是 F₁ ，右焦點是 F₂ ，離心率為3，點 P（x，y） 是c 上一點，且 PF₁⊥PF₂ ΔPF₁F₂ 的面積為5，求雙曲線 C 的方程.

解析：設點 P 在雙曲線的右支上，由雙曲線定義可知， ∣PF₁∣-∣PF₂∣=2a.①

因為 PF₁⊥PF₂ ，所以 ∣PF₁∣²-∣PF₂∣²= 4c².②

聯(lián)立 ①② ，得 ∣PF₁∣∣PF₂∣=2c²-2a²

且 ，所以 ，62=5，所以雙曲線的方程為

2利用參數(shù)方程或定理求解定值問題

定值問題是圓錐曲線中比較常見的問題.在思維定式的影響下，一部分學生習慣通過傳統(tǒng)解法得出答案，除了浪費很多時間之外，也加大了錯誤的發(fā)生率.[4為了有效解決此類問題，教師要引導學生對圓錐曲線的雙曲線題型產(chǎn)生清晰認識，讓他們可以準確了解定值問題，并通過合理的思路進行解答，即從圓錐曲線參數(shù)方程的角度或余弦定理出發(fā)，遵循靈活應用的基本原則，明確雙曲線方程和其他方程的差異性.

例1已知雙曲線方程 x²-y²=2a² ，設 C 上一點 P 到兩條漸進線的距離依次是 d₁，d₂ ，那么 d₁ ·d₂ 的值為.

A.1 B. a² （204號 C. b² D. c²

該題目涉及的知識點與雙曲線相關(guān)，解題的過程中要將雙曲線的參數(shù)方程作為依據(jù)和主要手段，先表示點 P 的坐標，隨后運用點到直線的距離得出答案.

解析：設點 P 的坐標為 ，根 據(jù)點到直線的距離，得 secθ+tanθ|，則 d₁ · ，故選擇B.

例2已雙曲線 為雙曲線上一點， ∠F₁PF₂=θ ，求 ΔF₁PF₂ 的面積.

解析：在 ΔF₁PF₂ 中，由三角形的面積公式得

由余弦定理得 ∣F₁F₂∣²=（2c）²=∣PF₁∣²+ ∣PF₂∣²-2∣PF₁∣?∣PF₂∣cosθ.②

由雙曲線的定義可得 ∣PF₁∣-∣PF₂∣=2a ，即∣PF₁∣²+∣PF₂∣²-2∣PF₁∣?∣PF₂∣=4a².③

由 ②③ ，得

則 所以 （204號 （20號 ΔF₁PF₂ 的面積為

3利用思維導圖進行雙曲線解題教學

由于高中數(shù)學圓錐曲線中雙曲線這部分知識點具有多而雜的特征，所以計算的過程往往很困難.不少學生受圓錐曲線中雙曲線復雜題型的影響，在解題的過程中沒有頭緒，讀題的過程中也難以準確捕捉到關(guān)鍵字，逐漸陷入解題障礙的困境.因此，在教學雙曲線題型解法的過程中，教師需提升對思維導圖的關(guān)注度，利用思維導圖梳理知識網(wǎng)絡，從有用的條件人手，使學生可以逐漸對這些條件產(chǎn)生清晰的認識.[5]

教師在介紹思維導圖的過程中以雙曲線在實際生活中的應用為主，并體現(xiàn)出雙曲線在工程、物理中的應用.教師需通過思維導圖的框架，逐步引導學生思考雙曲線的定義、方程及其應用.在教學過程中，避免單純的知識灌輸，而是通過問題的設置，引導學生自主探索和推理.教師在講解每個知識點時，需結(jié)合思維導圖中的具體內(nèi)容，幫助學生厘清不同部分之間的聯(lián)系.例如，通過分析焦點、準線、漸近線等概念，幫助學生理解雙曲線的幾何意義，之后通過實際的例題，幫助學生理解如何將知識應用到解題中.在雙曲線方程的教學中，除了基礎(chǔ)的代數(shù)運算，還要注意培養(yǎng)學生的幾何直覺和圖象理解能力.

4結(jié)語

雙曲線是圓錐曲線教學中非常重要的一部分.首先，教師可以通過繪制幾何示意圖來引導學生理解不同圓錐曲線的幾何特性，如橢圓的長軸、短軸和焦點位置，拋物線的焦點、準線和頂點位置等.這有助于學生直觀地理解圓錐曲線的形狀和特點.其次，可以向?qū)W生介紹各種圓錐曲線的標準方程，并通過推導的方式解釋方程中各項的含義.例如，通過橢圓的定義推導出標準方程，或通過焦點和直線性質(zhì)推導出拋物線的標準方程.同時，需不斷強調(diào)雙曲線的內(nèi)涵和解題方式，提供一些具體的實例讓學生分析圓錐曲線的方程.最后，需加強對雙曲線特殊性的分析，了解目前高中生對這部分內(nèi)容的掌握情況，在此基礎(chǔ)上設計一些應用問題，讓學生將圓錐曲線的方程與實際問題相結(jié)合，從而培養(yǎng)學生的問題解決能力和應用能力.這些問題可以涉及幾何、物理、工程等不同領(lǐng)域，如拋物線的拋物面應用、橢圓的行星軌道模擬等.

參考文獻

[1]王曦.巧用定義求解高中數(shù)學圓錐曲線方程[J].數(shù)理化解題研究，2023（36）：2-4.

[2]李琴.高中數(shù)學變式教學應用析談—以“圓錐曲線的方程”為例[J].考試周刊，2023（31）：76-80.

[3]高芳民.巧用定義解題[J].數(shù)理天地（高中版），2020（8）：18-19.

[4]單燦.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的使用[J].數(shù)理天地（高中版），2022（14）：31-32.

[5]顏進怡.基于思維導圖的高中圓錐曲線教學策略研究[D].延邊：延邊大學，2022.