‘動”“靜”合理融合，軌跡問題妙解決

涉及圓錐曲線中的軌跡問題，一直是高考、模擬卷以及競賽等命題中的一個熱點與難點問題，變化多端，形式各樣.它經(jīng)常以解答題形式出現(xiàn)，巧妙借助數(shù)值運算、推理證明、探索應(yīng)用等方式來創(chuàng)新設(shè)置，給問題的設(shè)置與應(yīng)用創(chuàng)設(shè)更加多樣的場景，

此類問題通過“動態(tài)\"場景與“靜態(tài)\"數(shù)值的巧妙融合，合理創(chuàng)設(shè)場景，進(jìn)而從“動”中取“靜”，以“動”致“靜”，在“動”中找規(guī)律，在“動”中取“定”，知識交匯性強(qiáng)，能力融合度高，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力等，充分體現(xiàn)試題的選拔性與區(qū)分度，倍受各級各類考試命題者的青睞.

1問題呈現(xiàn)

問題（2025年八省高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第18題）已知橢圓 c 的離心率為 ，左、右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）. （20

（1）求 C 的方程.

（2）已知點 M₀（1，4） ，證明：線段 F₁M₀ 的垂直平分線與 c 恰有一個公共點.

（3）設(shè) M 是坐標(biāo)平面上的動點，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，證明 M 的軌跡為圓，并求該圓的方程.

此題以橢圓為問題場景，通過三個小題來合理設(shè)置，以不同的難度系數(shù)與問題場景來設(shè)置，問題層層遞進(jìn)，切入點簡單，可以給不同層次的學(xué)生提供各自不同的需求，對于試題的選拔性與區(qū)分度有很好的體現(xiàn).

題目中，第（1）問依托橢圓的離心率與焦點坐標(biāo)，進(jìn)而來確定橢圓的方程，難度較小，普及大部分的學(xué)生，入手簡單；第（2）問結(jié)合定點的設(shè)置，利用線段 F₁M₀ 的垂直平分線與橢圓的位置關(guān)系，進(jìn)而證明兩者之間恰有一個公共點，難度中等；第（3）小問化第（2）問中的定點為一般性的動點，保持“線段F₁M 的垂直平分線與 c 恰有一個公共點\"這個條件，進(jìn)而探究動點的運動軌跡，利用證明來合理探究，并結(jié)合該圓的方程的求解進(jìn)行綜合應(yīng)用.

2問題破解

解析：（1）依題可得 解得 所以橢圓 C 的方程為

（2）設(shè)線段 F₁M₀ 的中點為點 P ，結(jié)合 F₁（-1 0（2號 ，可得點 P（0，2）

由 k_F1M0=2 ，則知線段 F₁M₀ 的垂直平分線的方程為y=-

聯(lián)立 消去參數(shù) 并整理，得x²-2x+1=0.

由于判別式 Δ=4-4=0 ，所以線段 F₁M₀ 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點

（3）設(shè)動點 M 的坐標(biāo)為 （x_m，y_m）

① 當(dāng) y_M=0 時，線段 F₁M 的重直平分線垂直于x軸，即x= ，此時與橢圓 C 恰有一個公共點的直線只有x=±2，故-1 或一3，此時點 M 的坐標(biāo)為（5，0）或 （-3，0）

② 當(dāng) y_M≠0 時，線段 F₁M 的垂直平分線的斜率存在，當(dāng) F₁M⊥x 軸時， x_M=-1 ，與橢圓 c 恰有一個公共點的直線只有 ，故 ，此時點 M 的坐標(biāo)為 或

當(dāng) x_M≠-1 時，有以下幾種解法，

方法1：交軌法，

設(shè)線段 F₁M 的垂直平分線與 c 相切于點Q（x₀，y₀） ，則 ，則知切點處的切線方程為 ，即 3x₀x+4y₀y=12 ，兩邊平方，得9x₀²x²+16y₀²y²+24x₀y₀xy=144.①

直線 F₁M 的方程為 y（（x+1），即4yox-（204號 ，兩邊平方，得 16y²x²+9x²y²- 24x₀y₀xy=16y₀².②

①+② ，可得（ 9x₀²+16y₀² ） （x²+y²）= 144+16y₀²

結(jié)合 ，可知 144=12（3x₀²+4y₀²） ，則有（9x₀²+16y₀²）（x²+y²）=36x₀²+64y₀² ，即 x²+y²=4. 又 x_M=2x_P+1 ， y_M=2y_P ，則 ，所以 M 的軌跡方程為 （x-1）²+y²=16 它是一個圓.

方法2：光學(xué)性質(zhì) 一定義法.

設(shè)線段 F₁M 的中點為 P ，線段 F₁M 的垂直平分線與 C 相切于點 Q

如圖1所示，利用橢圓的定義可知 ∣QF₁∣+ ∣QF₂∣=2a=4 ，結(jié)合平面幾何的基本性質(zhì)可知∣QF₁∣=∣QM∣ ，且 M，Q，F(xiàn)₂ 三點共線，則有∣QM∣+∣QF₂∣=4 ，即 ∣MF₂∣=4 ，所以 M 的軌跡是以 F₂（1，0） 為圓心，半徑為4的一個圓，其對應(yīng)的方程為 （x-1）²+y²=16

方法3：光學(xué)性質(zhì) 比例法.

設(shè)線段 F₁M 的中點為 P ，線段 F₁M 的垂直平 分線 ξ_l 與 C 相切于點 Q（x₀，y₀） 則

切點 Q 處的切線方程為 ，令 y= 0，得 ，所以

結(jié)合焦半徑公式，得 ∣QF₁∣=a+ex₀=2+ 2x，IQF2丨=a-exo=2- ，所以 則知切線 ξ_l 平分 ∠F₁QF₂ 的外角，故點 M 在直線 QF₂ 上

因為 ∣MF₂∣=∣QM∣+∣QF₂∣=∣QF₁∣+ ∣QF₂∣=2a=4 ，所以 M 的軌跡是以 為圓心，半徑為4的一個圓，其對應(yīng)的方程為 （x-1）²+ y²=16

方法4：設(shè)線法.

設(shè)線段 F₁M 的垂直平分線 ξ_l 為 y=kx+m ，與C 的方程 聯(lián)立，消去參數(shù) y 并整理可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0. （2

令判別式 Δ=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）= 0，整理可得 4k²+3=m²

設(shè)點M（xo，y），則k= 直線 ξ_l 為 y- 即 ，則知 （20號 ，即 ，化簡有 16（x₀+1）²+12y₀²= （x₀²+y₀²-1）² ，變形有 12（x₀+1）²+12y₀²=（x₀²+ （204號 y₀²-1）²-4（x₀+1）²=（x₀²+y₀²-2x₀-3）[（x₀+ 1）²+y₀²] ，即 0，亦即 x₀²+y₀²-2x₀-15=0 ，所以 M 的軌跡是圓，方程為 x²+y²-2x-15=0.

點評：該題中，通過合理的三步設(shè)置，全面考查橢圓方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系以及軌跡方程的證明，需要學(xué)生綜合運用橢圓的定義、性質(zhì)和直線方程的知識，通過聯(lián)立方程、判別式等方法進(jìn)行求解.對于動點所滿足的軌跡的確定與方程的求解，關(guān)鍵在于考查圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其綜合應(yīng)用，利用曲線的定義、幾何的比例等思維方法加以展開，處理起來比較簡捷直接，成為解決此類問題中比較常用的基本技巧思維；當(dāng)然，也可以借助交軌法或設(shè)線法加以直接剖析，只是數(shù)學(xué)運算量比較大，操作起來相對比較繁雜.

3結(jié)論歸納

根據(jù)以上具體問題與解析，合理加以歸納與總結(jié)，對于涉及動點與橢圓的焦點之間線段的垂直平分線與橢圓恰有一個公共點的軌跡問題，可得以下一般性的結(jié)論.

已知橢圓 C 的左、右焦點分別為 F₁，F(xiàn)₂ ，設(shè) M 是坐標(biāo)平面上的動點，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，則動點M 的軌跡為圓，該圓的方程為 （x-c）²+y²=4a² ，其中 c²=a²-b² ：

該結(jié)論的證明與推理過程，可以參考以上問題中第（3）問的方法2，這里不再贅述.

4教學(xué)啟示

涉及圓錐曲線中的軌跡判斷或證明問題，往往是基于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，結(jié)合點的坐標(biāo)、直線的方程以及曲線的方程等設(shè)置不同場景與問題類型的展示，利用問題中點、直線、曲線等“動”與“靜\"的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，通過運動變化，從中尋找動點運動變化過程中的“軌跡\"加以合理判斷或證明.

在具體解答時，往往借助函數(shù)與方程思維、解析幾何思維等，合理化歸與轉(zhuǎn)化，借助各種不同的技巧方法巧妙判斷相關(guān)的軌跡問題.解決此類解析幾何的綜合應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于合理利用“動”“靜”結(jié)合，借助解析幾何的問題背景，聯(lián)系相關(guān)知識模塊中的基礎(chǔ)知識與基本技能，特別是平面幾何的幾何性質(zhì)、解析幾何的基本性質(zhì)等，全面發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)