基于構(gòu)造法的高中數(shù)學(xué)解題策略研究

構(gòu)造法具體是指在數(shù)學(xué)問題的處理過程中按照定向思維難以對問題進行有效處理的情況下，可以嘗試根據(jù)題目設(shè)置的條件以及題目結(jié)論的主要信息，從新的角度、新的觀點去觀察和分析數(shù)學(xué)問題，把握能反映數(shù)學(xué)問題中條件與結(jié)論之間內(nèi)在關(guān)系的主要信息，基于數(shù)學(xué)問題的數(shù)據(jù)、坐標(biāo)等特征，使用題干信息重點整理原有材料，應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和相關(guān)理論，通過思維構(gòu)造的方式構(gòu)造滿足條件或者結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，使原有題目中隱藏的信息展現(xiàn)出來，從而有效解決數(shù)學(xué)問題.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐應(yīng)用，能有效鍛煉學(xué)生的思維能力，全面提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動的整體質(zhì)量.

1基于“構(gòu)造法”的高中數(shù)學(xué)解題優(yōu)勢

基于構(gòu)造法的實踐應(yīng)用能夠改變高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動，促進學(xué)生解題思路的優(yōu)化和解題能力的培養(yǎng)；能在教學(xué)實踐中提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行高效的分析和處理，從而系統(tǒng)鍛煉高中生的數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力.基于構(gòu)造法的實踐應(yīng)用能在高中解題教學(xué)中展現(xiàn)出以下幾個方面的應(yīng)用優(yōu)勢.

其一，有助于鍛煉學(xué)生的思維能力.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造法在解題實踐中的應(yīng)用是多種多樣的，能通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、方程、復(fù)數(shù)、圖形、向量、數(shù)學(xué)模型等方式對問題進行處理.高中數(shù)學(xué)問題非常靈活，教師要教導(dǎo)學(xué)生跳出框架式解題思維，靈活運用自己所學(xué)知識從不同的視角去思考數(shù)學(xué)問題，從而讓學(xué)生能夠自己尋找解題的思路，做到構(gòu)造法的熟練運用.[1]

其二，有助于提高學(xué)生的解題效率.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師引導(dǎo)學(xué)生認真觀察數(shù)學(xué)問題的特點和題干信息與結(jié)論信息的關(guān)系，判斷如何應(yīng)用構(gòu)造法探尋解決問題的關(guān)鍵信息，并通過提煉和轉(zhuǎn)化關(guān)鍵信息另辟蹊徑處理問題，從而提高解題效率.例如，在證明 的過程中，就可以構(gòu)造函數(shù)，通過設(shè) 完成對問題的轉(zhuǎn)化，先構(gòu)造函數(shù) ，然后以此為基礎(chǔ)對問題進行處理.通過構(gòu)造函數(shù)，學(xué)生能高效率地解決數(shù)學(xué)問題，其綜合學(xué)習(xí)能力也能得到有效的培養(yǎng).

其三，有助于培養(yǎng)學(xué)生的獨立學(xué)習(xí)能力.構(gòu)造法的實踐應(yīng)用，會有意識地鼓勵學(xué)生自主觀察題干內(nèi)容和分析題干信息，引導(dǎo)學(xué)生在系統(tǒng)分析和解讀的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)問題進行自主探究和處理，從而找到數(shù)學(xué)問題處理的技巧和方法.在此過程中，教師探索構(gòu)造法的應(yīng)用，能讓學(xué)生找到適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和問題處理方向，從而引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題處理的深度思考，有效鍛煉學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的綜合素質(zhì)，保障高中生的解決問題能力、獨立學(xué)習(xí)能力不斷得到提升，為高中生在數(shù)學(xué)解題方面實現(xiàn)全面發(fā)展奠定基礎(chǔ).

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實踐中，探索構(gòu)造法的實踐應(yīng)用，能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力和發(fā)散性思維能力[2]，有效啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的深度思考和探究，從而讓學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中保持積極的學(xué)習(xí)狀態(tài)，為高中階段學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度探索創(chuàng)造良好的條件

2基于構(gòu)造法的高中數(shù)學(xué)解題策略

構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)解題中一種重要的方法，它可以使數(shù)學(xué)問題得到更加清晰的表現(xiàn)，也可以在一定程度上簡化問題.構(gòu)造法的使用必須符合以下兩個條件：一是由若干條輔助線索所組成的題目，有一種\"由線串珠\"或“串珠為線\"的性質(zhì)；二是輔助線索要具有一定的數(shù)目.高中數(shù)學(xué)解題中運用構(gòu)造法能使問題得到更好解決，也能系統(tǒng)檢驗問題結(jié)果的正確性.下面就基于構(gòu)造法的實踐應(yīng)用對數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動的開展進行細化分析.

2.1構(gòu)造函數(shù)，提高數(shù)學(xué)解題思維能力

函數(shù)知識點是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較重要的內(nèi)容.教師在教學(xué)中通過構(gòu)造函數(shù)的方式引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行系統(tǒng)的探索和分析，能讓學(xué)生在復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中，巧妙融入函數(shù)思想對問題進行處理，促使學(xué)生的解題能力和思維能力得到相應(yīng)的鍛煉

例1已知 x，y，z∈（0，1） ，證明： x（1-y）+ y（1-z）+z（1-x）lt;1. （204號

解題思路：針對此類數(shù)學(xué)問題進行處理的過程中，教師指導(dǎo)學(xué)生觀察題干信息，能看到題目的條件和結(jié)論存在一定的對稱性，但是難以直接有效地證明，因此可以嘗試從構(gòu)造函數(shù)的視角對問題進行處理.在證明此類數(shù)學(xué)問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先綜合分析題干信息，然后構(gòu)造函數(shù) f（x）=（y+z-1）. =x+（yz-y-z+1） ： y，z∈（0，1） ，因此能夠得到f（0）=yz-y-z+1=（y-1）（z-1）gt;0，f（1）= （y+z-1）+（yz-y-z+1）=yzgt;0 此時由于f（x） 是一次函數(shù)，函數(shù)圖象為直線，根據(jù) x∈（0，1） 可以判斷出恒有 f（x）gt;0 ，那么就可以證明 （y+z- 1）x+（yz-y-z+1）gt;0 ，最終可以證明x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）lt;1 ，完成對數(shù)學(xué)問題的求解.

在此類數(shù)學(xué)問題中，通過構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，就能對數(shù)學(xué)問題進行簡單化的處理.教師可以幫助學(xué)生重新整理題干信息和數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生在認真思考和分析的基礎(chǔ)上探索數(shù)學(xué)知識的多元化應(yīng)用，通過構(gòu)造函數(shù)完成對數(shù)學(xué)問題的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化.

2.2構(gòu)造方程，開發(fā)數(shù)學(xué)解題工具

方程是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中很多數(shù)學(xué)問題的處理都需要方程的支持.教師在教學(xué)活動中也可以組織學(xué)生觀察題干信息涉及的數(shù)量關(guān)系，通過構(gòu)造方程快速找到解題思路，通過使用自變量和因變量這一概念進行解題.[3

例2已知 a，b，c 為互不相等的實數(shù)，證明：

解題思路：對于此類問題的處理，如果簡單地觀察信息會發(fā)現(xiàn)證明部分的內(nèi)容比較復(fù)雜，存在無從下手的情況.此時為了能對數(shù)學(xué)問題進行高效化的分析和解決，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生采用構(gòu)造方程的方法，對數(shù)學(xué)問題進行有效的轉(zhuǎn)化.具體證明過程如下.

解析：構(gòu)造

顯然 _a，b，c 為方程的三個互不相等的實根.從 而對任意實數(shù) x 均滿足 令 x=0 ，得

在此數(shù)學(xué)問題中，基于構(gòu)造方程的實踐應(yīng)用，就能對數(shù)學(xué)問題進行簡單化的處理，并且學(xué)生可以比較清晰明了地分析解題的具體思路和過程，掌握思維轉(zhuǎn)換的技巧和方法.

2.3構(gòu)造復(fù)數(shù)，簡化數(shù)學(xué)解題過程

在高中數(shù)學(xué)知識體系中，復(fù)數(shù)實際上是實數(shù)的延伸.為了提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的效率和效果，教師可以將一些無法有效理解的實數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)數(shù)問題，通過構(gòu)造復(fù)數(shù)的方式改變數(shù)的結(jié)構(gòu)，有效促進學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的深度思考.

例3已知 a，b，x，y 均為正實數(shù)，并且 x²+ y²=1 ，求證： a+b

解題思路：對于此類數(shù)學(xué)問題的證明，由于式子 相對比較復(fù)雜，學(xué)生在處理過程中無法找到解決問題的關(guān)鍵點.教師在解題訓(xùn)練中指導(dǎo)學(xué)生將實數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)數(shù)，表面上會使數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，但實際上會讓數(shù)學(xué)解題的過程更加簡明化，從而提高學(xué)生解決問題的效率，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解.在具體證明過程中，可以通過設(shè) z₁=ax+byi z₂=bx+ayi 的方式完成復(fù)數(shù)的構(gòu)造，然后就能夠得到 ，這樣就能完成對不等式的證明，最終得到

在此類數(shù)學(xué)問題的處理過程中，通過構(gòu)造復(fù)數(shù)的方式，能實現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的成功轉(zhuǎn)化，使學(xué)生可以系統(tǒng)地思考數(shù)學(xué)問題的處理技巧和處理方法，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題簡化為易于理解和接受的形式，從而降低解題難度和復(fù)雜度，幫助學(xué)生在短時間內(nèi)找到問題所對應(yīng)的知識點和解題思路

2.4構(gòu)造向量，展示全新數(shù)學(xué)證明方式

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，向量問題是比較常見的數(shù)學(xué)問題.教師通過構(gòu)造法的應(yīng)用帶領(lǐng)學(xué)生對向量問題進行處理，通過使用向量表示具體的等式結(jié)構(gòu)，將原有題干信息進行變形處理，從而為學(xué)生提供全新的證明方式，使學(xué)生能從不同的視角理解和認識數(shù)學(xué)向量問題的處理技巧和方法，有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量.

例4已知 a，b，c 為正數(shù)，求函數(shù) y= 的最小值.

解題思路：在對此類問題進行處理的過程中，由于給出的題干信息比較簡單，而函數(shù)式比較復(fù)雜，如果讓學(xué)生對問題進行系統(tǒng)的分析和處理，可能會浪費大量的解題時間，出現(xiàn)學(xué)生的解題正確率下降的情況.嘗試引入構(gòu)造向量的技巧和方法，就能夠?qū)υ瘮?shù)轉(zhuǎn)化處理，幫助學(xué)生找到有效處理問題的技巧.例如，構(gòu)造向量 ，原函數(shù)進行轉(zhuǎn)化為 y=∣a∣+∣b∣?∣a+b∣= ，得到（20 ，從而完成對此類數(shù)學(xué)問題的求解.[7]

在處理此類問題的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生采用構(gòu)造向量的方式，借助向量 完成對函數(shù)的轉(zhuǎn)化和處理，能夠充分利用問題中的條件和結(jié)論來構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，完成對數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)解析，從而使學(xué)生可以通過特定的符號和函數(shù)分析數(shù)學(xué)問題，在深度思考的基礎(chǔ)上實現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的高效處理

2.5構(gòu)造幾何圖形，引入數(shù)形結(jié)合模式

一般情況下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的代數(shù)問題整體比較抽象，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的處理存在一定的難度.適當(dāng)?shù)囊霕?gòu)造法對數(shù)學(xué)問題進行分析，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螆D形處理的方式，就能夠增強數(shù)學(xué)問題分析和處理的直觀性，在解決數(shù)學(xué)問題方面達到事半功倍的效果.學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解能力也會明顯的提升.[4]

例5 求證：

解題思路：對于此類數(shù)學(xué)問題的處理，教師應(yīng)該先帶領(lǐng)學(xué)生系統(tǒng)分析 的結(jié)構(gòu)，然后嘗試從數(shù)形結(jié)合的角度構(gòu)造橢圓方程，完成對數(shù)學(xué)問題的處理.這種將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螆D形的方式，讓學(xué)生能夠直觀地分析題目中的已知條件和求證內(nèi)容，從而使學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力得到顯著的提升.[5]在解決問題的過程中，可以先令 y= ，那么這個函數(shù)的圖象就是橢圓+=1的上半部分，此時可以設(shè)y-2x=m，只要證明 即可.因為 ψ_m 是直線 y= 2x+m 在 軸上的截距，因此結(jié)合圖象信息可以判斷，在直線 y=2x+m 過點 的情況下， Ω_m 有最小值且最小值是一. .在直線 y=2x+m 與橢圓上半部分相切的情況下， ψ_m 有最大值.根據(jù){y=2x+m，可以得到13x2+4mx+m2-4=0.令Δ=4（52-9m²）=0 ，得到 或 m= （舍），那么在綜合分析和計算的基礎(chǔ)上就可以判斷 Ψ_m 的最大值為 ，因此可以得到 ，最終證明-

在處理此類數(shù)學(xué)問題的過程中，采用構(gòu)造幾何圖形的方式，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形問題加以分析，使解題的過程更加清晰明了，提高解決數(shù)學(xué)問題的效率和正確率；使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和問題處理能力得到顯著的提升，可以為學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)奠定堅實的基礎(chǔ).

3結(jié)語

構(gòu)造法是解題的一種重要方法，它可以使問題得到更加清晰的表現(xiàn)，也可以在一定程度上簡化問題，為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題提供良好的支持.因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該探索構(gòu)造法的合理化應(yīng)用，通過教學(xué)活動的改革創(chuàng)新展現(xiàn)構(gòu)造法的應(yīng)用優(yōu)勢，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)解題的新思考和新探索.唯有如此，才能充分展現(xiàn)構(gòu)造法的應(yīng)用價值，全面支持高中數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)教學(xué)的創(chuàng)新推進，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力得到高效的鍛煉，切實提升高中生數(shù)學(xué)整體學(xué)習(xí)的有效性.

參考文獻

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[2]張宏敏.應(yīng)用構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的解題策略[J].數(shù)理天地（高中版），2022（18）：49-51.

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[4]何應(yīng)海.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線問題中“構(gòu)造法”的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（1）：86-87.

[5]王媛.淺析“構(gòu)造法”運用在高中數(shù)學(xué)解題中的具體策略[J]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（14）：129.