勾股定理及逆定理在幾何問題和形似代數(shù)問題中的妙用

幾何問題通常涉及對象的位置和運動變化，而形似代數(shù)問題涉及幾何圖形的相似性質(zhì)及其代數(shù)表示.這些問題常常需要學(xué)生將幾何概念與代數(shù)運算相結(jié)合，進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)和計算.筆者將運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式，結(jié)合勾股定理及其逆定理，探索解決幾何問題和形似代數(shù)問題的有效方法.通過分析相關(guān)題目，探討如何幫助學(xué)生理解全等條件的數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)抽象能力和解題技巧，

1勾股定理及逆定理介紹

勾股定理描述的是直角三角形中兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的逆定理描述的是如果三角形的兩個邊長的平方和等于第三個邊長的平方，則該三角形為直角三角形.

勾股定理及逆定理廣泛應(yīng)用于幾何學(xué)和物理學(xué)中的各種問題，如計算三角形的邊長、角度和面積，解決直角三角形的實際問題，以及在三維空間中計算距離和向量的長度等.該定理的應(yīng)用不僅限于幾何學(xué)領(lǐng)域，還可以拓展到其他數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域，如形似代數(shù)問題.

2勾股定理及逆定理在幾何問題中的妙用

2.1折疊問題

折疊問題通常涉及紙張或其他材料的折疊方式和幾何形狀的變化.在初中數(shù)學(xué)中，折疊問題尤為常見，也是學(xué)生最為頭疼的問題之一，其實，學(xué)生只要

利用勾股定理，即可輕松解決.[1]

例1如圖所示，有長方形 ABCD ，其邊長AB為 16cm ，BC為 20cm. 將 AD 折疊使點 D 與邊 BC 上的點 F 重合.

求： （1）CE 的長.

（2）AE 的長.

分析：因為 AD=AF ，根據(jù)勾股定理，先計算BF 的長，然后得到 CF 的長，再根據(jù)勾股定理，求出CE 的長，最終得到 AE 的長.

解析：（1）因為四邊形ABCD為長方形，所以AD=BC=20cm，CD=AB=16cm. （204號

根據(jù)題意知， ΔADE?ΔAFE ，所以 AF= AD=20cm，DE=EF.

假設(shè) DE 的長為 x ，則 CE=CD-DE=16-x

在 ΔABF 中，根據(jù)勾股定理，得 BF= BF=20-12=8（cm） 業(yè)

在 RtΔECF 中，根據(jù)勾股定理，得 EF²= CE²+CF² ，即 x²=（16-x）²+8² ，解方程，得 x= 10，則 CE=16-10=6（cm） ·

（2）根據(jù)勾股定理知，

2.2涉及相似、全等、等腰三角形的綜合問題

勾股定理及逆定理在求解相似、全等、等腰三角形問題中可以起到關(guān)鍵作用.根據(jù)勾股定理，如果兩個三角形的對應(yīng)邊長成比例，那么它們是相似的；如果兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等，那么它們是全等的；如果一個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，那么它是等腰三角形.勾股定理的逆定理把數(shù)與形統(tǒng)一起來，打破了證一個角是 90^° ，只能靠角與角之間轉(zhuǎn)化的固定模式.[2]

例2如圖所示，三角形ACB與三角形ECD均為等腰直角三角形.證明： AE=BD ，且 AE⊥BD .若 BD=10 ，求 AD 的長.

分析：根據(jù)等腰直角三角形邊長和角度的關(guān)系，先確定 ΔACE 與 ΔBCD 為全等三角形，再運用勾股定理，進(jìn)行邊長求解.

解析：如圖1所示，延長線段EA與BD交于點 M

在 ΔACE 和 ΔBCD 中，因為 CA=CB .∠ACE=∠BCD，CE=CD 所以 ΔACE?ΔBCD （SAS），所以 AE=BD ∠AEC=∠BDC

因為 ∠CAE=∠DAM ， ∠AEC+∠CAE+ #∠ACE=180^° ， ∠ADM+∠DAM+∠AMD= 180^° ，所以 ∠AMD=∠ACE=90^° ， AE⊥BD

因為 ΔECD 為等腰直角三角形，所以 EC= DC=8. 設(shè) BC=x ，則在 RtΔDCB 中， 8²+x²=10² .即 BC=6 ，因為 AC=BC ，所以 AD=CD-AC= 8-6=2 業(yè)

2.3 動態(tài)圖形問題

在求解動態(tài)圖形問題時，勾股定理及逆定理可以幫助分析和解決問題.例如，點 P 在三角形ABC所在平面上移動，想要確定它在不同位置時三角形的性質(zhì).可以先利用勾股定理及逆定理來計算三角形ABC的邊長或角度大小，然后根據(jù)具體情況，通過不斷計算邊長，可以觀察到三角形的形狀是否發(fā)生變化.

例3如圖所示，直角三角形ABC中， AB 長度為 20cm，BC 長度為 12cm ，點 P 以每秒 1cm 的速度，從點 C 沿著 CA 方向開始沿著三角形的周長運動，設(shè)點 P 的運動時間為t.

求：（1）當(dāng) Ψ_tΨ_Ψ 為幾秒時， BP 將ABC的周長分成相等的兩部分.

（2）當(dāng) Ψ_t 為幾秒時， BP 將ABC的面積分成相等的兩部分.

（3）當(dāng) Ψ_t 為幾秒時， BP 平分 ∠ABC

解析：（ 16（cm）

因為 BP 將ABC的周長分成相等的兩部分，所以 BC+PC=AB+AP ，即 12+t=20+16-t ，得到 t=12 （秒）.

（2）因為 BP 將 ΔABC 的面積分成相等的兩部分，所以點 P 為 AC 的中點，此時 2t=16 ，得 t= 8（秒）.

（3）如圖2所示，作 PD⊥AB 業(yè)

因為 ΔBCP?ΔBDP ，設(shè) PD=CP=t ，所以O(shè)B=CB=12，AD=8，AP=16-t

在 RtΔADP 中，利用 AP²=AD²+DP² ，即t²+8²=（16-t）² ，得 t=6（FL） ·

3勾股定理及逆定理在形似代數(shù)問題中的妙用

3.1求代數(shù)式最小值

勾股定理及逆定理一般用于幾何問題，而求解代數(shù)式的最小值問題通常需要使用微積分的方法.在某些特定情況下，也可以通過利用勾股定理的性質(zhì)來解決代數(shù)式最小值問題

例1如圖所示，點 C 在線段 BD 上移動，已知AB=10，BD=16，DE=2. （204

（1）設(shè) CD=x ，用含 x 的代數(shù)式表示 AC+CE 的長.

（2）C點在什么位置時， AC 與 CE 之和最小.

（3）根據(jù)上述規(guī)律，求代數(shù)式 的最小值.

分析：（1）圖中有兩個直角三角形 RtΔABC 和RtΔDCE，AC，CE 的長可以用勾股定理表示出來；（2）當(dāng) C 點在 AE 上時， AC+CE 的值最小；（3）觀察代數(shù)式，只要讓 BD=12，AB=3，CD=x ，就能將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為 AC+CE 的和.

解析：（1）在 RtΔABC 和 RtΔDCE 中， AC= ，所以 AC+CE= 號

（2）當(dāng)點 A，C，E 共線時， AC+CE 最小.

（3）如圖3所示，過 E 點作 EF⊥AB 于點 F

根據(jù)（2）的探索，將 AB 的長由10改為 _3，BD 長改為12，其他條件不變.

設(shè) CD=x ，此時 AE 的長度就是代數(shù)式 的最小值，最小值為

3.2證明不等式

證明不等式問題一般需要使用代數(shù)或數(shù)學(xué)推理的方法.雖然勾股定理及逆定理的應(yīng)用范圍有限，但在某些特定情況下，可以將幾何性質(zhì)與不等式問題聯(lián)系起來，從而進(jìn)行證明.

例2任意一個三角形，其邊長為 a，b，c ，證明：不等式 a+bgt;c，b+cgt;a，c+agt;b 成立.

分析：可以使用勾股定理來證明這個不等式.

解析：對于任意三角形 ABC ，假設(shè)從頂點 C 向邊 AB 作高 h ，將三角形分為兩個直角三角形ACD和 BCD ，其中 D 是垂足在 AB 邊上的點.設(shè) AD=d .DB=e ，則 AB=c=d+e

在直角三角形 BCD 中，有 a²=e²+h² ；在直角三角形 ACD 中，有 b²=d²+h² ：

想要證明 a+bgt;c ，只需要 業(yè)

由于 hgt;0 ，所以對于任何正數(shù) h ，都有 和

因此 ，即 a+bgt;c 類似地，可以證明 b+cgt;a 和 c+agt;b

4利用勾股定理及逆定理解題的注意事項

在利用勾股定理及其逆定理解題時，有幾個注意事項： ① 確定適用范圍.勾股定理適用于直角三角形，逆定理適用于已知兩邊長度或兩邊長度和一個角度的情況.在解題前，要先確定問題是否符合這些條件. ② 清楚問題要求.在解題前，要仔細(xì)理解問題的要求和給定條件，確保理解問題的幾何意義和需要求解的未知量. ③ 注意單位統(tǒng)一.在進(jìn)行計算時，要確保所有量的單位一致，以避免計算錯誤. ④ 結(jié)合其他物理或數(shù)學(xué)定律.勾股定理及其逆定理通常與其他物理定律或數(shù)學(xué)原理結(jié)合使用，以解決更復(fù)雜的問題.在解題時，要根據(jù)具體情況，結(jié)合其他相關(guān)知識進(jìn)行綜合分析和計算. ⑤ 仔細(xì)檢查計算結(jié)果.在完成計算后，要仔細(xì)檢查計算結(jié)果，確保計算過程正確無誤.

5結(jié)語

勾股定理及其逆定理是一對重要的數(shù)學(xué)定理，具有廣泛的應(yīng)用價值，并且在解決幾何和形似代數(shù)問題以及其他相關(guān)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)計算中起著重要的作用

參考文獻(xiàn)

[1]楊姝誼.讓數(shù)學(xué)教學(xué)“動”起來—以勾股定理及其逆定理的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)之友，2022（24）：23-25.

[2]陳曉燕.例談勾股定理的逆定理在解題中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2021（4）：24-25.