核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的生長課堂教學(xué)探究

在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何構(gòu)建生長課堂一直是教師探索的方向.筆者近期參加了“基礎(chǔ)教育精品課\"遴選工作，做了“數(shù)學(xué)歸納法”的課例展示.本文將詳細闡述此次教學(xué)實踐的設(shè)計思路與感悟心得，為數(shù)學(xué)教學(xué)中核心素養(yǎng)的落地與生長課堂的構(gòu)建提供思考范例.

1教學(xué)分析

1.1內(nèi)容解析

“數(shù)學(xué)歸納法”是蘇教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第4章的內(nèi)容，在論證涉及自然數(shù)的命題時，數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的手段.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)學(xué)歸納法意義重大，不但有助于攻克高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難關(guān)，利于洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)，還能有效引導(dǎo)我們深入思考.”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)\"對“數(shù)學(xué)歸納法\"的要求是“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題”[盡管課程標(biāo)準(zhǔn)針對數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)要求并不高，但是在教學(xué)過程中，倘若僅僅讓學(xué)生機械地記住“兩步一結(jié)論\"這種固定的操作流程，而忽視引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會其原理，那么學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的認知就會停留在表面，僅僅知道怎么做卻不明白為何這樣做.如此一來，數(shù)學(xué)學(xué)科所追求的價值目標(biāo)便難以達成，最終在學(xué)生的認知體系里就會淪為空洞的推理演練，喪失數(shù)學(xué)歸納法本應(yīng)具有的深度與內(nèi)涵，無法真正實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與思維能力的有效培養(yǎng).因此，本節(jié)課既要教操作步驟，更要教對原理的理解，這是因為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，最有價值、最精彩的就是要學(xué)習(xí)一種思維方式.[2]

1.2學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法之前，學(xué)生已有知識儲備.[3]他們對推理的相關(guān)知識有所掌握，對于自然數(shù)相關(guān)的命題也不陌生，已形成對自然數(shù)無限性的直觀感受，并且在數(shù)學(xué)證明表達上積累了一定的經(jīng)驗.數(shù)學(xué)歸納法，從本質(zhì)上來說，就是需要將逐個遞進、永無正境的遞推精煉地概括為有限的兩個步驟，從而為證明與自然數(shù)相關(guān)的命題提供一種高效且嚴(yán)謹?shù)姆椒?事實上，學(xué)生在日常生活中，積累了很多“一個接著一個\"順序推進的實際經(jīng)驗，也逐漸形成了對事物\"無限發(fā)展”的認知概念.[3在學(xué)習(xí)集合、函數(shù)、數(shù)列等數(shù)學(xué)知識后，更是進一步樹立起“借有限掌控?zé)o限”“以任意把握全體”的數(shù)學(xué)觀念.這些寶貴的知識基礎(chǔ)與豐富的經(jīng)歷體驗，為數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)提供了絕佳的生長根基.基于此，本節(jié)課完全能夠開展一系列富有成效的探究活動，助力學(xué)生自主建構(gòu)起關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的知識體系，讓學(xué)習(xí)過程充滿深度理解與意義.

1.3教學(xué)問題診斷

學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的困難之處在于以下幾點： ① 難以接受將無窮多步的推理簡化為有限步證明的思維轉(zhuǎn)變； ② 對于“先假定結(jié)論正確，進而去求證該結(jié)論依然正確\"這一方式，學(xué)生在數(shù)學(xué)意義層面上難以領(lǐng)會； ③ 無法清晰認識到數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟各自存在的不可或缺性； ④ 在遞推關(guān)系的證明環(huán)節(jié)，面臨著很多數(shù)學(xué)層面的阻礙與難題，難以順利推進.

2教學(xué)過程

2.1情境引入

情境1：法國數(shù)學(xué)家費馬（P.deFermat）是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻.因為他的本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以“業(yè)余王子”的美稱.費馬觀察到 2²⁰+1=3，2²¹+1=5，2²²+1=17，2²³+1= 257，2²⁴+1=65537 都是素數(shù)，于是猜想 F_n=2²ⁿ+ 1（n∈N） 都是素數(shù).1732年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Eu-ler）發(fā)現(xiàn)費馬錯了！當(dāng) n=5 時， F₅=4294967297= 6700417×641

問題1費馬運用什么方法得到的結(jié)論？為什么會出現(xiàn)錯誤？

問題2既然歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，那這種方法有沒有意義呢？

師生探究.

師：費馬運用歸納猜想的方法得到了結(jié)論.雖然發(fā)生了錯誤，但歸納法可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，促進科學(xué)的發(fā)展

【設(shè)計意圖】把費馬素數(shù)猜想的過程展現(xiàn)在學(xué)生面前，分析數(shù)學(xué)家所使用的數(shù)學(xué)思想方法，再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維方式，從而幫助學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考問題，激發(fā)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué).

情境2：對于數(shù)列{an），已知a1=1，an+1=1+an（n∈N^* ）

問題3求出數(shù)列 a_n 的前4項，你能得到什么猜想？

問題4你的猜想一定正確嗎？

師生探究：通過對 n=1，2，3，4 前4項的歸納，學(xué)生可以猜想出其通項公式，但也有學(xué)生提出歸納推理得出的結(jié)論不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明

師：要證明這個猜想，同學(xué)們自然就會想到從n=5 開始逐一驗證，當(dāng) n 較小時可以一一驗證，但當(dāng)n 較大時，逐個驗證起來會很麻煩，特別是證明 n 取所有正整數(shù)時，逐個驗證是不可能的.因此，我們需要尋求一種方法，通過有限個步驟的推導(dǎo)，證明 n 取所有正整數(shù) n 都成立.

【設(shè)計意圖】通過經(jīng)歷數(shù)列通項公式的歸納、猜想、驗證過程，體會研究“尋求通過有限個步驟的推理，去證明 n 取所有正整數(shù)都成立\"的必要性.通過學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，激發(fā)其求知的欲望，促使學(xué)生更加主動地學(xué)習(xí)，這正是生長課堂要追求的，

2.2學(xué)生活動

師：你見過多米諾骨牌游戲嗎？對我們解決本題有什么啟示？

教師通過PPT播放多米諾骨牌傾倒的動畫（如圖1）.

學(xué)生小組合作，探究思考“這項游戲中，要讓全部多米諾骨牌依次倒下，需滿足什么條件”

【設(shè)計意圖】多米諾骨牌游戲以直觀鮮活的形式，闡釋了抽象的數(shù)學(xué)歸納法原理，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)歸納法，這是學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法原理的“先行組織者”.

師：為了回答這個問題，我們先來研究有限塊骨牌倒下的情況.請同學(xué)們小組討論，思考“如何保證10塊骨牌全部倒下？如何保證從第3塊開始的8塊骨牌全部倒下”

師：我們再來研究無數(shù)塊骨牌倒下的情況.請同學(xué)們小組討論，思考“如果有 n 塊骨牌，如何保證全部倒下呢”.

生：所有的骨牌都倒下需要滿足兩個條件： ① 第一塊骨牌必須倒下； ② 對于任意緊鄰的兩塊骨牌而言，前面一塊骨牌倒下，必然要引發(fā)后面一塊骨牌跟著倒下.

師：條件 ② 的作用是什么？能否用數(shù)學(xué)語言表述？

師生探究：條件 ② 事實上給出了一個遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第 k 塊倒下，則相鄰的第 k+1 塊也倒下.

【設(shè)計意圖】從有限塊骨牌倒下到無限塊骨牌倒下的原因分析，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表示“假設(shè)第 k 塊倒下，則相鄰的第 k+1 塊也倒下\"的過程.美國教育家布魯納（J.S.Bruner）的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)\"強調(diào)知識發(fā)生、發(fā)展的過程.通過類比多米諾骨牌的過程，學(xué)生能夠捕捉到數(shù)學(xué)歸納法的基本特征，這一學(xué)習(xí)方式體現(xiàn)了再創(chuàng)造的特性，屬于發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)，也是生長課堂需具備的.

2.3意義建構(gòu)

師：數(shù)列通項公式 的猜想與多米諾骨牌游戲有相似性嗎？請同學(xué)們嘗試類比多米諾骨牌游戲解決這個問題.（1）從生活到數(shù)學(xué).類比多米諾骨牌游戲原理，填寫表1.

（2）從特殊到一般.

類比通項公式為 的證明方法，填寫表2.

【設(shè)計意圖】從生活實例出發(fā)，遷移到數(shù)列通項公式 的證明方法，這是從生活到數(shù)學(xué)的過程.從數(shù)列通項公式 的證明，拓展到與正整數(shù) n 有關(guān)命題的證明，這是從特殊到一般的過程.兩次遷移和拓展，讓數(shù)學(xué)歸納法原理呼之欲出.

2.4數(shù)學(xué)理論

問題5什么是數(shù)學(xué)歸納法？

師生探究：一般地，對于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法原理.

（1）證明當(dāng) ）時命題成立，

（2）假設(shè)當(dāng) ）時命題成立，證明當(dāng) n=k+1 時命題也成立.

根據(jù)（1）（2）就可以斷定命題對于從 n₀ 開始的所有正整數(shù) n 都成立.

這時，我們獲得了證明自然數(shù)相關(guān)問題的強大手段——數(shù)學(xué)歸納法.

【設(shè)計意圖數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上是一種演繹證明方法.它獨辟蹊徑，把原本無窮無盡的歸納過程巧妙地轉(zhuǎn)化為有限步的演繹操作.面對涉及自然數(shù)的命題，無論是進行證明、推理，還是深入探究，數(shù)學(xué)歸納法都堪稱是最有效的數(shù)學(xué)手段.

3教學(xué)反思

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下如何構(gòu)建生長課堂，這是我們一直在探索的問題.筆者認為核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的生長課堂需要重視問題情境的創(chuàng)設(shè)、數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、例題教學(xué)的思維展示和回顧反思環(huán)節(jié)的思想引領(lǐng)，讓學(xué)生在主動探索中理解和掌握數(shù)學(xué)知識，實現(xiàn)高效的\"生長教育”

3.1在創(chuàng)設(shè)問題情境中，體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識的必要性

問題情境大致可以分為兩類：一類是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活情境，從中抽取出所要研究的數(shù)學(xué)模型，并進行抽象概括，提煉出共性數(shù)學(xué)特征；另一類是從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部發(fā)展、生成的現(xiàn)實情境，自然生成，符合學(xué)科發(fā)展需要.無論采用哪一類辦法，都要能夠讓學(xué)生萌生出對新知識的強烈渴求，切實體會到學(xué)習(xí)新知識的必要性，起到質(zhì)疑激趣的功能.

在本節(jié)課中，通過呈現(xiàn)費馬素數(shù)猜想以及數(shù)列通項公式的歸納、猜想情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從歸納推理得出可能錯誤或需要進一步證明的結(jié)論，從而深刻體會到尋求一種有效證明方法（數(shù)學(xué)歸納法）的必要性，將學(xué)生置于主動探索新知識的情境之中.

3.2在建構(gòu)新數(shù)學(xué)概念的過程中，體現(xiàn)新知識的生長性

找準(zhǔn)新知識的生長點和培養(yǎng)基，“刨根問底”\"嚼得菜根”，深挖固著點，即解決新知識是從哪里來的問題，找到其邏輯上的起點.否則，新知識就像水中浮萍，隨波逐流.“萍水相逢，盡是他鄉(xiāng)之客”就是“無根的教學(xué)”4]，使得已有的認知結(jié)構(gòu)和新知識無法建立起穩(wěn)定的、持久的聯(lián)系，非常容易遺忘，不能夠建立起“新的認知平衡”.

本節(jié)課以學(xué)生已有的推理知識、對自然數(shù)命題的熟悉程度、對自然數(shù)無限性的感性認識以及對數(shù)學(xué)的證明表達能力為基礎(chǔ)，借助多米諾骨牌游戲這一形象的“先行組織者”，從有限塊骨牌倒下的條件類比到無限塊骨牌倒下的條件，進而遷移到數(shù)列通項公式證明以及與正整數(shù) n 有關(guān)命題的證明，讓數(shù)學(xué)歸納法原理自然地從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗中生長出來，建立起與原有認知結(jié)構(gòu)的緊密聯(lián)系.

3.3在新概念的意義建構(gòu)環(huán)節(jié)中，體現(xiàn)內(nèi)涵與外延的生成性

意義建構(gòu)要讓學(xué)生充分地參與進來，讓學(xué)生不斷地參與活動，特別是思維活動，把學(xué)生的主體地位凸顯出來，讓學(xué)生在活動過程中積累學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，獲得需要的知識.這樣的教學(xué)才是最有效，也必定是最高效的.

在數(shù)學(xué)歸納法的意義建構(gòu)過程中，教師先引導(dǎo)學(xué)生自主探究多米諾骨牌游戲中骨牌全部倒下的條件，然后讓學(xué)生類比到數(shù)列通項公式證明，從生活到數(shù)學(xué)，從特殊到一般，逐步構(gòu)建起數(shù)學(xué)歸納法原理的內(nèi)涵與外延，讓學(xué)生在親身參與和思考中深人理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，而非單純記憶定義和步驟.

3.4在例題教學(xué)環(huán)節(jié)中，充分展示解題思路的建構(gòu)性

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要標(biāo)志.例題教學(xué)有“知其然”“知其所以然”“何由以知其所以然”三重境界，即怎么做、為什么這么做、怎么想到要這樣做的.例題教學(xué)要研究通解通法.通解通法就是解決這一類問題最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序.

在本節(jié)課的例題教學(xué)中，對于情境1，先讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明，然后展示典型錯誤的證明過程，引導(dǎo)學(xué)生反思錯因，深入探究數(shù)學(xué)歸納法證明時兩個步驟的作用與價值，讓學(xué)生明白每一步的必要性以及正確的操作方式，達到知其然且知其所以然的效果.情境2則進一步強化學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法證明步驟的理解，尤其是關(guān)鍵步驟中利用歸納假設(shè)和保證結(jié)構(gòu)一致性的運用，掌握解決此類問題的通解通法，體會如何從已有的知識和方法出發(fā)構(gòu)建解題思路.

3.5在回顧反思環(huán)節(jié)中，要突出化隱為顯的思想性

“編筐編籮，重在收口.\"在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)中要把本節(jié)課概念學(xué)習(xí)、例題教學(xué)、鞏固訓(xùn)練環(huán)節(jié)中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法進行化隱為顯的挖掘、提煉、升華，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的經(jīng)驗、策略與智慧.

在本節(jié)課的回顧反思環(huán)節(jié)，通過引導(dǎo)學(xué)生回顧知識與技能、獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，將本節(jié)課中蘊含的類比思想、從特殊到一般的思想、演繹推理思想等數(shù)學(xué)思想方法進行了明確的提煉，幫助學(xué)生梳理學(xué)習(xí)過程，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的寶貴經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中有更全面、深入的收獲和成長.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普遍高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]喬愛萍.“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)實錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（3）：6-9.

[3]賀育林.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想—以“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)設(shè)計為例[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（6）：31-33.

4卓斌.“向量的加法”兩種教學(xué)過程的比較與思考J」中國數(shù)學(xué)教育，2015（8）：54-57.