“三個理解”視域下模型觀念的課堂實踐與反思

模型觀念是對運用數(shù)學(xué)模型破解現(xiàn)實難題的清晰認(rèn)識.[經(jīng)由初步體驗數(shù)學(xué)建模的核心流程，學(xué)生可以從生活情境中提煉數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)建函數(shù)、方程、不等式等諸多數(shù)學(xué)模型，以描繪問題中的數(shù)量關(guān)聯(lián)及動態(tài)法則，深化理解層次.在求解結(jié)果后，學(xué)生還需要闡述其意義，以便更好地理解和應(yīng)用這些模型.

依據(jù)模型觀念觀察初中數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)現(xiàn)其存在如下問題： ① 知識的碎片化和斷層現(xiàn)象以及在知識構(gòu)建和演進過程中邏輯關(guān)系的缺失，使得學(xué)生難以全面把握數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系，從而無法真正培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的模型觀念； ② 在理解模型概念時缺乏深度洞察，于是在構(gòu)筑系統(tǒng)化學(xué)習(xí)進程的策略布局中顯現(xiàn)出短板，加之對學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀的探索未能達到詳盡之境，這一系列因素共同作用，阻礙了學(xué)生模型觀念的建立； ③ 脫離生活經(jīng)驗的培養(yǎng)模式[2]，使得學(xué)生難以形成研究知識的一般思路與方法，從而使模型觀念的培養(yǎng)難以有效落實.接下來，針對以上問題，探討解決方案并進行實踐反思.

1理解數(shù)學(xué)，把握知識邏輯

1.1梳理知識結(jié)構(gòu)

從函數(shù)視角審視一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式，有利于學(xué)生宏觀把握三個“一次”的關(guān)系，能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一，實現(xiàn)此三者間的橫向交織與縱向深化.此番探索，不僅發(fā)展了學(xué)生的模型思想，更為后續(xù)高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域中二次函數(shù)的探索及一元二次不等式的解析鋪設(shè)了基石，起到了先行組織者的作用.圖1生動勾勒了一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式的認(rèn)知架構(gòu)藍圖，展現(xiàn)了其間的邏輯脈絡(luò)與層次之美，

1.2剖析教學(xué)流程

從生活情境中抽象出三種數(shù)學(xué)模型：函數(shù)模型、方程模型、不等式模型，整體把握一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式的關(guān)系，形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系.3在教學(xué)過程中，筆者從學(xué)生熟悉的彈簧人手創(chuàng)設(shè)情境，分別構(gòu)建函數(shù)模型、方程模型及不等式模型來解決問題;通過教學(xué)片段1、教學(xué)片段2驅(qū)動學(xué)生探究一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次方程、一元一次不等式的條件，從數(shù)的層面認(rèn)識變量取值確定與不確定的動靜互化以及變量取值范圍有限制與無限制的動靜互化；通過教學(xué)片段3引導(dǎo)學(xué)生從形的角度感悟一次函數(shù)圖象對一元一次方程和一元一次不等式問題的幾何表征，內(nèi)化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；通過例題與變式激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識，提升學(xué)生解決問題的能力；通過歸納小結(jié)促進學(xué)生回顧、反思，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，

2理解學(xué)生，診斷認(rèn)知現(xiàn)狀

在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)情，設(shè)計合理的教學(xué)任務(wù)，觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，以點帶面地達成培養(yǎng)目標(biāo).

2.1診斷學(xué)情，先行組織

2.1.1學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中，學(xué)生理解了一次函數(shù)的幾何形態(tài)，也學(xué)會了用數(shù)軸表示不等式的解集，對于一次函數(shù)和一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系的認(rèn)知主要停留在代數(shù)層面.本課立足函數(shù)觀點、圖形視角，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識一次函數(shù)圖象和一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系，體會建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的一般思路與方法，

2.1.2學(xué)生的認(rèn)知特點

初二學(xué)生的思維發(fā)展正處于從直觀感知到邏輯推理的過渡階段，也具備一定的抽象概括能力.在學(xué)習(xí)中，學(xué)生希望通過動手操作、實踐檢驗，從解題走向解決問題.因此，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生“做中學(xué)、用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)”.本課從問題情境出發(fā)，通過問答和交流的形式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、建立模型、解決問題，發(fā)展學(xué)生的模型觀念和創(chuàng)新意識.

2.2優(yōu)化過程，升格觀念

2.2.1觀察實驗，感知模型

通過彈簧秤掛重物的實驗操作，學(xué)生直觀感知物體質(zhì)量和彈簧伸長長度之間的關(guān)系，歷經(jīng)觀察、聯(lián)想、計數(shù)、制圖、歸納等一系列探索實踐，構(gòu)筑起線性函數(shù)的數(shù)學(xué)模擬框架.借由團隊探究之力，自然而然地將線性函數(shù)拓展至一元線性方程與不等式之中，達成既有知識對新認(rèn)知的吸納整合.

2.2.2內(nèi)化思想，領(lǐng)悟模型

數(shù)與形是研究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式三者關(guān)系的兩個重要視角，也是發(fā)展模型觀念的有效途徑.借助一次函數(shù)圖象解方程和不等式，凸顯函數(shù)思想的應(yīng)用.用函數(shù)觀點統(tǒng)攝方程、不等式的研究是本課應(yīng)有的站位.同時，函數(shù)思想的滲透促進了模型觀念的發(fā)展，

2.2.3 交流成果，體驗?zāi)Ｐ?/p>

學(xué)生在合作探究中質(zhì)疑、思辨，在交流互動中體驗、感悟，積極主動地參與數(shù)學(xué)建模的過程，形成“抽象問題一任務(wù)驅(qū)動一活動探究一反思提煉一解決問題\"的學(xué)習(xí)閉環(huán)，從而有效提高數(shù)學(xué)建模能力.

3理解教學(xué)，落實模型觀念

3.1課時目標(biāo)

在本次教學(xué)中，學(xué)生將深入探索一次函數(shù)、一元一次方程及一元一次不等式的微妙聯(lián)結(jié)，以此深化對于這些基本構(gòu)建的認(rèn)知，并領(lǐng)悟“數(shù)形融合”的哲學(xué)智慧與模型思維的精髓.課時目標(biāo)是運用一次函數(shù)的直觀圖象作為透鏡，透視并解析一元一次方程與一元一次不等式的奧秘.這一過程將通過敏銳的觀察、深度的思考、深人的交流與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿炞C，共同塑造學(xué)生高級的認(rèn)知策略與深邃的思維模式，

3.2教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：用一次函數(shù)圖象解一元一次方程、一元一次不等式.

教學(xué)難點：根據(jù)一次函數(shù)的圖象直接解決一元一次方程、一元一次不等式相關(guān)問題.

3.3教學(xué)過程

3.3.1貼近生活，學(xué)科借力

教學(xué)片段1.

師：同學(xué)們，生活中用來稱物體質(zhì)量的秤有哪些呢？

生：桿秤、磅秤、電子秤.

師：不錯，那么我們在物理課上研究過的是哪種秤呢？

生：彈簧秤.

師：誰能說說彈簧秤的工作原理？下面我們做個實驗.

實驗操作：逐漸增加砝碼質(zhì)量，并記錄彈簧長度，由學(xué)生操作并記錄.

生：彈簧秤稱重時，將彈簧的一端固定，另一端掛物體，物體的質(zhì)量和彈簧伸長的長度是成正比的.

師：非常好！其實，物理上的胡克定律“在彈性限度內(nèi)，物體的形變與引起形變的外力成正比”，就很好地解釋了彈簧秤的工作原理.

【設(shè)計意圖喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗和學(xué)科經(jīng)驗，讓學(xué)生初步感知彈簧秤的工作原理，為一次函數(shù)模型的出場作思維鋪墊，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，

3.3.2認(rèn)識原理，數(shù)學(xué)表征

教學(xué)片段2.

師：我們從數(shù)學(xué)的角度審視剛剛的實驗過程.假設(shè)彈簧的初始長度為 4cm ，每掛 50g 的物體，彈簧伸長 1cm. 如果把物體的質(zhì)量設(shè)為 xg ，把彈簧的長度設(shè)為 ycm ，你能說說其中的變化關(guān)系嗎？

生：物體的質(zhì)量與彈簧的長度之間的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，可以用 50+4來表示.作出圖象（如圖2），可以看出是一條經(jīng)過點 （0，4） 的射線， y 隨著 x 的增大而增大.

師：很棒！從形的角度更清晰地揭示了彈簧秤測重原理，其實測量的就是彈簧的長度.那么，你能通過測量彈簧的長度確定物體的質(zhì)量嗎？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生對彈簧秤的工作原理進行數(shù)學(xué)表征，建立一次函數(shù)模型，深刻理解物體的質(zhì)量與彈簧的長度之間的關(guān)系，自然引出描述相等關(guān)系的一元一次方程模型

3.3.3問題驅(qū)動，合理建構(gòu)

教學(xué)片段3.

師：如果彈簧的長度為 12cm ，那么所掛物體的質(zhì)量是多少？

生：應(yīng)該是 400g 業(yè)師：你是怎樣得到的呢？

生：因為已知的是因變量 y 的值，求的是自變量x 的值，所以只要把 y 賦值為12，解方程就可以了.

師：說到重點了.一旦確定因變量的值，一次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元一次方程，當(dāng)然確定自變量的值，也是同樣的道理.還有其他途徑求得物體的質(zhì)量嗎？

生：觀察圖象，很方便.作出 y=12 的直線，容易看出它與 圖象的交點的橫坐標(biāo)為 400，它就是問題的答案.

師：確實，利用一次函數(shù)圖象可以很直觀地求得一元一次方程的解，這就是數(shù)形結(jié)合的妙用.大家知道，彈簧秤不可能無限伸長，如果這根彈簧最多伸長到 16cm ，那么它最多能掛多重的物體呢？

生：這個問題相當(dāng)于限制因變量 的取值范圍，從而限制自變量 x 的取值范圍.因此，要讓 小于等于16，然后去解不等式

師：有道理！類比前面的問題，我們發(fā)現(xiàn)確定一次函數(shù)兩個變量中一個變量的范圍，就得到一元一次不等式，解不等式，可以得到另一個變量的范圍.你能從圖象的角度給出解釋嗎？

生：作出 y=16 的直線，找到它與 圖象的交點，位于直線 y=16 下方起點至交點之間點的橫坐標(biāo)的取值范圍，就是不等式的解集

【設(shè)計意圖】設(shè)置問題串，層層追問，驅(qū)動學(xué)生自主探究一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次方程、一元一次不等式的條件，啟發(fā)學(xué)生數(shù)形對照，深刻領(lǐng)悟三個“一次”模型間的聯(lián)系和區(qū)別，體會它們在解決問題中的作用和價值.

3.3.4鞏固提升，抽象拓展

例題畫出 y=2x+4 的圖象，根據(jù)圖象求2x+4=0，2x+4lt;0，2x+4gt;6 的解.

變式若 y=kx+b（k≠0） 的圖象經(jīng)過（-2，0）和（0，3），求 kx+b=0 和 kx+bgt;0 的解.

【設(shè)計意圖】例題與變式讓學(xué)生體會研究過程，內(nèi)化思想方法，積累活動經(jīng)驗，進一步促進學(xué)生在數(shù)與形研究視角間自然切換.

3.3.5 回顧反思，思維升華

問題梳理本節(jié)課的研究歷程，你能說說研究的路徑與方法嗎？在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，你還想研究什么？你有值得遷移應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗嗎？

【設(shè)計意圖適度留白，加強小結(jié)的開放性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生提煉研究問題的一般思路與方法，形成可遷移的一般數(shù)學(xué)觀念.

4結(jié)語

發(fā)展模型觀念是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路，也是促進學(xué)生思維進階的突破方式.教師應(yīng)不遺余力地引導(dǎo)學(xué)生洞察問題條件與所求目標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系，從已知的數(shù)學(xué)信息中提煉數(shù)學(xué)模型，多維度、多層次地進行探究、分析、應(yīng)用、反思，最終形成解決模型問題的策略和方法.可見，在實際教學(xué)中，教師要創(chuàng)造性地給學(xué)生留白，促進學(xué)生開展合乎邏輯的思考，培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的能力.

參考文獻

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[2][3]朱宸材，茅莉萍，徐芷筠.指向初中生模型觀念培養(yǎng)的教學(xué)實踐與反思 —以一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式為例J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2023（6）：56-60.