“抽象”概念課的落地

“大道至簡”是將復(fù)雜事情做好的精髓，也是數(shù)學(xué)取得高分的底層邏輯.縱觀國內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)科教育，無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，都存在一個教育界公認的問題，那就是重視理論知識的列舉，而忽視其“如何來”的推導(dǎo)和“形象化”的演繹，偏離學(xué)生學(xué)習(xí)的認知邏輯.因此，做好“抽象”概念課的“形象化\"講解，使得其符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認知規(guī)律，是做好數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)工作的核心.[]一堂高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課不是講的云里霧里，讓學(xué)生聽得像“玄學(xué)”，而是讓更多的人能聽懂，這便是教學(xué)的最高境界.本節(jié)導(dǎo)數(shù)概念課遵從這一教學(xué)理念，讓“抽象”的概念簡單化、形象化，真正地讓學(xué)生的理解落到實處

1“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)案例設(shè)計及分析

“導(dǎo)數(shù)\"概念課教學(xué)，分為如下五個環(huán)節(jié).

1.1創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新

教師首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)初中和高一階段學(xué)過的函數(shù).

師：同學(xué)們，今天開始我們的新課程.請同學(xué)們畫幾個之前我們學(xué)過的初等函數(shù)圖象，老師叫幾個同學(xué)上黑板來繪制.

【設(shè)計意圖】對于以往初中和高一學(xué)過的函數(shù)內(nèi)容進行回顧，溫故知新，這一部分可以叫班級一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生上黑板畫圖，鞏固基礎(chǔ).同時進行新課引入.

1.2 回顧概念，抽象概括

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧函數(shù)基本概念，它描述了兩個變量之間的一種特定關(guān)系.給定兩個非空實數(shù)集D 和 M ，若存在對應(yīng)法則 f ，使得對于 D 中的每一個元素 x ，在 M 中都有唯一確定的元素 y 與之對應(yīng)，則稱 f 是從 D 到 M 的一個函數(shù)，記作 y=f（x），x∈ D .其中， D 稱為函數(shù) f 的定義域， x 所對應(yīng)的 稱為 f 在點 x 的函數(shù)值，常記為 f（x） .全體函數(shù)值的集合 稱為函數(shù) f 的值域.

以上概念不需要學(xué)生一字一字背，重點培養(yǎng)學(xué)生對于函數(shù)有一個基本的直觀理解，讓學(xué)生重點掌握經(jīng)典函數(shù)的圖象，如函數(shù) y=2x，y=x²，y=sinx 等的圖象，以上內(nèi)容作為新課前的復(fù)習(xí).

1.3概念辨析，內(nèi)化理解

至此，讓學(xué)生先回顧了函數(shù)基礎(chǔ)知識，然后進行新課導(dǎo)入.

教師繼續(xù)提問題，先帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)一個學(xué)過的概念—斜率，緊接著引入\"極限\"的概念.

師：同學(xué)們，在初中階段，我們就學(xué)過一次函數(shù)，在函數(shù) f（x）=kx（k≠0） 中，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)隨著比例系數(shù) k 的增大，該函數(shù)的圖象也就越來越“陡峭”，即該函數(shù)斜率越來越大，如何理解斜率呢？拿一個生活化的例子來解釋，函數(shù)陡斜程度類比爬山，斜率大的函數(shù)類比爬華山，爬劍閣道，非常陡峭；斜率小的類似爬家門口的小丘陵，很好爬，很平緩.

師：如圖1所示，函數(shù) y=5x 的圖象，相較于函數(shù) y=2x 和 y=0. 01x 的圖象來說很陡峭，類似于爬華山，而直線 _y=0.01x 相對來說很平緩，類似于走平緩的小山坡.同學(xué)們，這個一次函數(shù)圖象變換是線性的，根據(jù)以上的規(guī)律，大家說一下二次函數(shù)怎么分析斜率呢？

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生熟悉的一次函數(shù)，展開啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生自己判斷怎樣計算二次函數(shù)的斜率.

課堂氣氛很活躍，學(xué)生認真思考，給出自己的答案.

生1：老師，好像二次函數(shù)沒有辦法算斜率，因為二次函數(shù)圖象是彎曲的.

生2：老師，我覺得生1說的也對，但是我認為二次函數(shù)是有無數(shù)個斜率，

生3：老師，我覺得二次函數(shù)斜率應(yīng)該給一個固定的區(qū)間去算.

師：二次函數(shù)的一般形式為 y=ax²+bx+c 4 （a≠0） ）.對于二次函數(shù)，它的變化顯然不是線性的（如圖2），我們?nèi)绾魏饬窟@一個變化情況呢？同學(xué)們，這就需要我們作切線，對于二次函數(shù)來說，切線的斜率從左到右是逐漸變大的（如圖3）.

師：同學(xué)們，現(xiàn)在請大家回想我們高一學(xué)過的表示直線的方法中的“點斜式”.我們先在坐標(biāo)軸上任意作出一條不垂直于坐標(biāo)軸的直線，取這條直線上的任何兩點 A 和 B ，記做 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）. 我們將這兩個點坐標(biāo)代入直線方程： y₁=kx₁+b，y₂= kx₂+b. 進行變形得 y₁-y₂=k（x₁-x₂） ，算出 k= y12，隨后得出求斜率k 的公式，如果直線變成曲線，還能用斜率 k 表示嗎？

1.4聯(lián)想類比，認識本質(zhì)

接下來，筆者用很直觀的方式為學(xué)生引入一個數(shù)學(xué)概念一極限，用生活中的例子引入：班里面李同學(xué)愛玩游戲，耽誤了學(xué)業(yè)，數(shù)學(xué)只能考20分；班里面的張同學(xué)從小一直很努力，數(shù)學(xué)考試每次都能接近滿分.后來，李同學(xué)決定好好學(xué)習(xí)，奮起直追.由于他努力學(xué)習(xí)，最終從20分考到60分，從60分考到95分，從95分考到120分，從120分考到140分.之后，反問學(xué)生，這個是不是極限.學(xué)生給出否定答案.

筆者根據(jù)這個背景換了一個角度：李同學(xué)從20分考到70分，從70分考到95分，從95分考到120分，從120分考到140分，從140分到146分，從146分到148分，從148分到149分，從149分到148分.由于他不注重書寫工整和數(shù)學(xué)邏輯的嚴謹，被扣卷面分，每次都接近滿分但始終考不到滿分.用這個例子類比極限的定義.

【設(shè)計意圖】通過生活化的情境來引入，理論結(jié)合實際，更符合當(dāng)下學(xué)生的認知觀念，讓學(xué)生對于本節(jié)課內(nèi)容具象化，有深刻的理解.

接下來，筆者進行講解，在理論上介紹極限，引人導(dǎo)數(shù).

假設(shè)函數(shù) y=f（x） 在點 x₀ 處的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x 在 x₀ 處取得增量 Δx ，相應(yīng)的函數(shù)取得增量 Δy ，如果 在 Δx 趨于0時的極限存在，那么稱函數(shù) y=f（x） 在點 x₀ 處可導(dǎo).

以上一長串文字可抽象成為一個式子，即 f^′（x）=

再去分析，可以看出分子可以替換成 Δy ，可以變成 中

師：同學(xué)們，大家應(yīng)該可以想到咱們剛說的點斜式求斜率的公式k=-y2 ，所以導(dǎo)數(shù)就可（204號以近似理解成函數(shù)在某點處切線的斜率.

【設(shè)計意圖】通過理論講解和實例分析本部分的內(nèi)容，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念和定義.通過詳細的文字描述，解釋了函數(shù)在某點處可導(dǎo)的定義，將復(fù)雜的文字描述抽象為數(shù)學(xué)式子，幫助學(xué)生更好地理解導(dǎo)數(shù)的定義.通過替換分子為 Δy ，進一步簡化了式子，并引導(dǎo)學(xué)生將其與點斜式求斜率的公式聯(lián)系起來，從而使學(xué)生能夠?qū)?dǎo)數(shù)近似地理解為函數(shù)在某點處切線的斜率.提高學(xué)生的理解能力和數(shù)學(xué)思維能力，幫助他們更好地掌握導(dǎo)數(shù)的概念和定義.

1.5學(xué)以致用，拓展延伸

師：同學(xué)們，相信大家到現(xiàn)在對于導(dǎo)數(shù)已經(jīng)有了一個清晰的認知.同學(xué)們能否試著從圖象的角度來理解導(dǎo)數(shù)的概念呢？

【設(shè)計意圖】拓展思維，接近本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)最重要的工具——圖象來思考抽象的概念.

師：我們?nèi)我猱嬕粋€二次函數(shù)圖象，如 y= 0.3x² ，取這條曲線上的任意一點 A（1，0.3） ，如何求得這個點處函數(shù)圖象的斜率呢？我們只知道一個點肯定不可能求出來，所以我們可以取另一個點，如點 B（3，2，7） ，根據(jù)斜率公式，我們可以求出來過這兩點直線的斜率k.同學(xué)們仔細思考一下，求的這個斜率有什么作用呢？

生1：老師，我覺得這個斜率可以表示函數(shù)圖象在這一點附近的傾斜程度.也就是說，斜率越大，函數(shù)圖象在這一點附近就越陡峭；斜率越小，函數(shù)圖象在這一點附近就越平緩，

生2：我覺得對于二次函數(shù)來說，這個斜率還可以幫助我們理解函數(shù)的增減性.例如在 y=0.3x² 這個函數(shù)里，因為二次項系數(shù)為正，所以函數(shù)圖象開口向上，那么在任意一點處的斜率如果為正，就說明函數(shù)在這個點附近是增函數(shù)；如果斜率為負，就說明函數(shù)在這個點附近是減函數(shù)，

師：我們剛才求的是兩點之間的斜率，如果要更精確地表示這一點處的斜率，是不是應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)呢？

師：同學(xué)們，我們可以將兩點的縱坐標(biāo)之差設(shè)為 Δy ，橫坐標(biāo)之差設(shè)為 Δx ，將點 B 不斷地沿著函數(shù)圖象向著點 A 靠攏，當(dāng)兩個點越來越接近的時候，過這兩點直線的斜率越來越趨近于這點處切線的斜率，所以 0.6x ，點 A（1，0，3） 處的斜率 k 為0.6.

2 三點想法

2.1“抽象”不等于“完全學(xué)不會”

看似抽象的概念，其實可以有若干種方法將其具象化.以本課為例，課堂伊始，筆者先帶領(lǐng)學(xué)生進行函數(shù)的復(fù)習(xí)，然后進行舊概念和新概念的交叉復(fù)習(xí)，不斷地將復(fù)雜的問題簡單化.對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，很多學(xué)生都覺得很抽象，難以理解，但是筆者巧妙地將它與變化率、斜率這些概念類比，就可以迎刃而解了.數(shù)學(xué)概念本身是對事物本質(zhì)的反映，具有極為明顯的抽象特點，要求教學(xué)過程中教師能夠采用正確的教學(xué)方法使概念中的內(nèi)容特征與表現(xiàn)規(guī)律展示出來，引導(dǎo)學(xué)生對信息內(nèi)容進行概括，這樣數(shù)學(xué)概念將更為清晰.[2]

2.2重視數(shù)學(xué)最重要的工具—圖象的作用

對于抽象概念的直觀展示，圖象起了十分重要的作用，好多復(fù)雜的數(shù)學(xué)試題需要利用圖象的作用才能更好的解決.這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)潛移默化地使用圖象這一工具，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，并在此基礎(chǔ)上，重點培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣

2.3培養(yǎng)學(xué)生堅毅心態(tài)

目前的新高考，越來越重視對于新概念的考查，雖說是新概念，但題型的拓展大多都是在《高等數(shù)學(xué)》這本書里找的，而且大部分僅僅局限于前三章內(nèi)容.很多教師認為題目越來越活，教學(xué)的時候?qū)τ趯W(xué)生的培養(yǎng)缺乏信心.從本質(zhì)上來說，學(xué)生害怕的是題目所帶來的陌生感，尤其是高考考場上，接觸一個或兩個甚至更多全新的概念是個挑戰(zhàn).因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)通過設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，鼓勵學(xué)生面對困難時不輕言放棄，引導(dǎo)他們從失敗中汲取經(jīng)驗，逐步建立自信和韌性

參考文獻

[1沈嬈.基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下概念教學(xué)的研究—以高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為例[J].科教導(dǎo)刊-電子版（中旬），2019（3）：181.

[2]鐘婭潔.基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究[J].中華少年，2020（4）：189-190.