初高中數(shù)學育人一體化視角下的教學實踐

2019年國務(wù)院頒布的《關(guān)于深化教育教學改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》著重強調(diào)了課程內(nèi)容連貫性與一體化建設(shè)的重要性，同時將學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)置于關(guān)鍵位置.在數(shù)學教學實踐領(lǐng)域，教師需嚴格遵循這些指導(dǎo)原則，保證知識實現(xiàn)有序銜接，推動教育目標高效達成.數(shù)學學科教學具有循序漸進、逐步深入的特性.以“特殊角的三角函數(shù)值”為例，其作為三角函數(shù)知識體系的基石，在初中和高中階段分別承載著不同的角色，具備不同程度的重要性.初中階段，學生對特殊角的三角函數(shù)值展開初步認識并進行簡單應(yīng)用；步入高中階段，則以初中知識為依托，進一步深化拓展，用于攻克更為復(fù)雜的數(shù)學問題與實際應(yīng)用難題.基于這樣的教育背景，本文從初高中數(shù)學育人一體化的視角出發(fā)，深入思考如何將幾何思維巧妙融入特殊角三角函數(shù)值的教學過程，通過深度剖析這一教學內(nèi)容，探索如何切實做好初高中數(shù)學教學的銜接工作，以期為數(shù)學教學實踐提供有益參考.

1洞察教學脈絡(luò)，剖析教學背景

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱\"義務(wù)教育課標\"對初中階段三角函數(shù)學習提出要求，要求學生“利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù) （sinA，cosA，tanA） ，知道 30^°，45^° 60^° 角的三角函數(shù)值”[1《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）（以下簡稱“高中課標\"》則明確指出：“初中學習三角函數(shù)是為了解直角三角形，并不討論三角函數(shù)的基本性質(zhì).在高中階段，借助單位圓建立角度與對應(yīng)弧長的關(guān)系，用對應(yīng)弧長刻畫角的大?。灰驗殚L度單位與實數(shù)單位一致，這就使得三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值的取值都是實數(shù)，符合對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義.\"[2在這一學習過程中，需借助幾何直觀，著重培養(yǎng)學生的直觀想象與邏輯推理素養(yǎng).

由此可見，“形”作為連接初高中三角函數(shù)學習的關(guān)鍵紐帶，具有重要意義.在數(shù)學學習過程中，諸多重要的數(shù)學結(jié)論常依賴直觀感知，即所謂“看”出來的.這種“看”的能力，本質(zhì)上依托直觀想象素養(yǎng).從知識銜接的角度而言，高中階段各類三角函數(shù)公式的學習，其根基可追溯至初中階段對特殊角三角函數(shù)的學習.初中階段特殊角三角函數(shù)的學習，不僅是知識的初步積累，更是為高中階段進一步深化學習埋下伏筆，對學生后續(xù)的數(shù)學學習發(fā)展起著不可或缺的奠基作用.

在初中數(shù)學的學習進程中，學生往往對探索特殊運算結(jié)果背后的一般性規(guī)律充滿好奇.借助代數(shù)推理，他們能夠從具體數(shù)值運算出發(fā)，思考這些特殊情形是否能推導(dǎo)出普遍適用的規(guī)律.在高中階段的教學里，教師引導(dǎo)學生運用幾何圖形構(gòu)造的方法，將抽象的代數(shù)規(guī)律具象化，以直觀、形象的方式完成對一般性規(guī)律的論證，幫助學生實現(xiàn)從特殊到一般的思維跨越，深化對數(shù)學知識的理解與掌握

2整合知識圖譜，架構(gòu)教學內(nèi)容

2.1內(nèi)容分析及重構(gòu)策略

傳統(tǒng)的“特殊角的三角函數(shù)值\"課時教學主線如下： ① 根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求出 的三角函數(shù)值； ② 利用這些特殊角的三角函數(shù)進行運算； ③ 將三角函數(shù)值作為已知條件，求出幾何圖形中的特殊角度值； ④ 將求角度和三角函數(shù)值的問題進行總結(jié)歸納.

這種教學模式基本上可以覆蓋義務(wù)教育課標的要求，并且能夠起到對這些特殊角的三角函數(shù)值的雙向識記的作用，但這種模式的教學其實歸根結(jié)底只是運算技能的固化教學，對教材中出現(xiàn)的運算結(jié)構(gòu)缺乏進一步的挖掘，這實際上也對數(shù)感意識更好、抽象素養(yǎng)更強的學生帶來不公平.

從發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的角度再定位本節(jié)課，就可以從用特殊角三角函數(shù)值完成運算的初級模式，重構(gòu)為用特殊角的三角函數(shù)值發(fā)現(xiàn)更一般化的三角函數(shù)公式的深度層面.這樣的教學模式既達到了運算素養(yǎng)的發(fā)展目的，更深化了初中階段銳角三角函數(shù)的章節(jié)生成和目標：來源于幾何構(gòu)造又最終服務(wù)于幾何構(gòu)造，對后續(xù)的高中三角函數(shù)學習中涉及的多種關(guān)鍵公式進行知識儲備.

2.2目標調(diào)整及設(shè)計思路

在\"特殊角的三角函數(shù)值\"教學中，以“從特殊到一般\"思想為指導(dǎo)，將教學內(nèi)容重構(gòu)為以下兩大遞進板塊.

第一板塊聚焦 特殊角，教師依據(jù)認知沖突理論設(shè)置運算沖突情境，從而借助特殊直角三角形性質(zhì)計算三角函數(shù)值，感悟“變中不變\"本質(zhì)，深化銳角三角函數(shù)概念理解.

第二板塊以 15^° 角為切入點，教師運用啟發(fā)式教學，引導(dǎo)學生利用特殊角構(gòu)造 15^° 角，通過圖形生成其三角函數(shù)值，以此挖掘一般和差規(guī)律，通過不同角度組合發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值隨角度和差變化的規(guī)律，最終上升到一般性圖形構(gòu)造層面，構(gòu)建通用數(shù)學模型，全面提升學生運算、推理、建模等能力與創(chuàng)新意識.

2.3學情把握及應(yīng)對方法

在福建省現(xiàn)行使用的三種教材版本中，銳角三角函數(shù)這個章節(jié)都是安排在九年級進行學習，在思維水平層面，九年級的學生已經(jīng)具備了一定的運算、推理和建模素養(yǎng)，且具備了從特殊到一般、將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的思考方式.在知識結(jié)構(gòu)層面，九年級的學生已經(jīng)學習了 sinA，cosA，tanA 的概念，同時已經(jīng)經(jīng)歷了對含 30^° 和 45^° 角的直角三角形的從定性到定量的多角度研究，因此從育人一體化視角考慮學生的發(fā)展，可以從代數(shù)結(jié)構(gòu)的識別和幾何結(jié)構(gòu)的生成兩個更高維度實現(xiàn)學生初高中三角函數(shù)知識體系發(fā)展的銜接需求，

3踐行融合教學，探索模式多元

與特殊角的三角函數(shù)值有關(guān)的運算問題是運算的基礎(chǔ)，也是義務(wù)教育課標中要求應(yīng)知應(yīng)會的基本內(nèi)容.銳角三角函數(shù)在義務(wù)教育課標中是放在“圖形與幾何\"這個模塊中的，因此兩個板塊的問題設(shè)置就圍繞在“如何將幾何構(gòu)造思維滲透在特殊角的三角函數(shù)值的運算與運用中\(zhòng)"這條設(shè)計主線上，具體教學設(shè)計如下.

教學板塊1：以幾何構(gòu)造計算特殊角三角函數(shù)值，感悟“變中不變”.

問題1求下列各式的值.

（204 （1）2sin30^°cos30^°

（2 ）sin60^°cos30^°-sin30^°cos60^°.

（3）2tan30°／1-tan230°

追問為了求這些式子的值，我們需要知道這些銳角三角函數(shù)值，這些值是已知的嗎？如果不知道，我們能求出來嗎？

教學說明：利用特殊角三角函數(shù)值進行運算是本節(jié)課的核心目標之一.這個問題的設(shè)置制造了真實有效的認知沖突，要想得到運算結(jié)果就必須要先有這些特殊角的三角函數(shù)值.這就意味著學生必須能夠先利用銳角三角函數(shù)的概念，構(gòu)造出含 30^° 的直角三角形和含45°的直角三角形，求出相應(yīng)邊的比，即可完成上述各式的運算，而這個幾何構(gòu)造求值的過程是最基本的，也可以體現(xiàn)初中階段在求銳角三角函數(shù)值或用銳角三角函數(shù)值解決問題時的核心策略或通性通法，即通過構(gòu)造有效的直角三角形，得到該直角三角形邊的比.

問題2設(shè)計可以求出 30^° ，45°，60°的三角函數(shù)值的圖形并說明理由.

教學說明：為了求出相應(yīng)的三角函數(shù)值，學生構(gòu)造的方法可能是多元的，如為了求出 45^° 角的三角函數(shù)值可能構(gòu)造的圖形就是正方形，為了求出 30^°，60^° 角的三角函數(shù)值可能構(gòu)造出的圖形就是等邊三角形.學生設(shè)參的方法也會是多元的.教學中應(yīng)該要提倡學生的發(fā)散思維，教師的主導(dǎo)作用就在于將發(fā)散的思維進行聚焦，讓學生感受不同構(gòu)造思維的共同本源就是回到含 30^° 角的直角三角形與含 45^° 角的直角三角形中.

追問1利用分別含有 40^° 和 30^° 的兩個直角三角形，我們就可以求出 30^°，45^°，60^° 角的正弦，余弦，正切值，那么我們是不是可以根據(jù)之前學習函數(shù)的經(jīng)驗，將角度與三角函數(shù)值進行整理并列表呢？

教學說明：在教師展示的這兩個直角三角形的基礎(chǔ)上，學生求出相應(yīng)的三角函數(shù)值的難度是不大的，但是求出的值可能是無序的，這里就需要教師引導(dǎo)學生通過學習函數(shù)的經(jīng)驗，將 角從小到大地完成排列，同時亦可將正弦，余弦，正切值同時填入一張表格中，這個列表的過程是初中階段函數(shù)學習的必要步驟和基本技能，也是程序化思維的滲透，同時能讓學生在潛移默化中感受三角函數(shù)值與角度增減性關(guān)系的特殊化滲透，

追問2根據(jù)這張?zhí)厥饨堑娜呛瘮?shù)表，請同學們完成問題1的計算.

追問3大家觀察這些算式的結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

教學說明：利用特殊角的三角函數(shù)值進行運算是本節(jié)課的另一條關(guān)鍵主線，問題1中的三個算式的結(jié)果就能讓有較好數(shù)感的學生產(chǎn)生這樣的思考：為什么這些比較復(fù)雜的算式的結(jié)果與某些特殊角的三角函數(shù)值會相等呢？這僅僅只是巧合還是這些算式的結(jié)構(gòu)就是與這些三角函數(shù)值有著必然的聯(lián)系呢？這個問題串的設(shè)置達成了運算主線的基本閉環(huán)，同時通過結(jié)果與結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系鏈接了由特殊走向一般的思維主線.

教學板塊2：以幾何構(gòu)造生成一般角三角函數(shù)值，挖掘一般規(guī)律，

問題3為了驗證同學們的猜想，我們需要一些更一般的銳角的三角函數(shù)值，同學們想想就利用我們手上的這兩塊直角三角形紙片，你還能組合出哪些銳角呢？

教學說明：三角板的拼接是學生小學階段就接觸過的問題，這也是學生幾何直觀在分類討論思想引領(lǐng)下的重要實踐過程.由于初中銳角三角函數(shù)知識的學習，學生在拼接的過程中是容易獲得15°和75^° 這兩個銳角的.在前面的三角函數(shù)的概念學習過程中，學生已經(jīng)知道了如果兩個銳角互余，那么這兩個銳角的三角函數(shù)之間存在誘導(dǎo)關(guān)系，因此為了完成猜想，就至少要求出 15^° 或者 75^° 角中任意一個角的三角函數(shù)值，而這個求值過程既有角度的構(gòu)造，又有直角三角形的構(gòu)造，這就為幾何構(gòu)造思維的生成打開了通道.

問題4求出 sin15^° 的值.

教學說明：在構(gòu)造 15^° 的過程中，可能有如下方法 .因此，根據(jù)求銳角三角函數(shù)值的經(jīng)驗，學生在求值的過程中，可能想到以下幾種構(gòu)造方式

（1）利用 ，想到在含 15^° 的直角三角形中構(gòu)造 15^° 為底角的等腰三角形，則該三角形的一個外角就是 30^° ，即如圖1、圖2所示的兩種構(gòu)造方式，但圖2的構(gòu)造破壞了圖形中的直角，使得邊的表示出現(xiàn)了障礙，圖1的構(gòu)造需要對斜邊表示中出現(xiàn)的重根號進行處理，這對學生的運算表達的素養(yǎng)提出了較高要求.

（2）如圖3、圖4所示.利用 60^°-45^°=15^° ，想到在含 60^° 的直角三角形中構(gòu)造出 45^° 角，從而獲得等腰直角三角形，以此通過兩個特殊直角三角形的三邊關(guān)系，將15°角所在的直角三角形的邊表示出來，

（3）利用 45^°-30^°=15^° ，這種方法本質(zhì)上與第（2）種構(gòu)造模式相同.

這里圖形的三種構(gòu)造方法，實際上就是學生在初中階段化歸思想的重要體現(xiàn)，利用角度之間和、差、倍、分的關(guān)系將未知三角函數(shù)值的計算向已知三角函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化，解決一般角的三角函數(shù)值問題，同時亦可為在高中階段證明半角公式或和差化積公式提供思路

問題5計算下面幾個式子.

（1）sin45^°cos30^°-cos45^°sin30^°. 2 （20 （3）sin30^°cos15^°-cos30^°sin15^°.

教學說明：利用sin15V6-2 以及在前面構(gòu)造過程中易得的cos156+√2. ，可以求出三個式中 子的值都是 ，在前面求值過程中鋪墊的觀察猜想，也就是這三個式子的值都等于 sin15^° ，教師在學生完成運算的前提下，再引導(dǎo)學生觀察式子結(jié)構(gòu)，學生自然可以發(fā)現(xiàn)計算結(jié)構(gòu)中的共同特征，通過此過程發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，提高數(shù)學抽象素養(yǎng).

問題6已知 α 和 β 是銳角，其中 αgt;β. 求證：sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.

教學說明：在前面發(fā)散性思維主導(dǎo)下的求值構(gòu)造過程中，學生已經(jīng)積累了足夠的構(gòu)造經(jīng)驗，因此能建立起從特殊到一般的圖形遷移思考.和差化積公式結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，需要學生有單位1的意識，才能讓圖形中的線段以銳角三角函數(shù)的形式進行呈現(xiàn)，這也與高中在真正開始對三角函數(shù)進行研究時引入單位圓的思維方式不謀而合，這個過程對學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)的要求都達到了較高的程度.和差化積公式的證明絕不僅是單純知識點的簡單講解，更是思維方式有效聯(lián)系的體現(xiàn).

剛剛證明的其實是高中三角函數(shù)學習中的一個非常重要的公式：和差化積公式.高中學生還將學習非常多的三角函數(shù)公式，但這些公式背后所蘊含的幾何構(gòu)造是可以利用初中知識實現(xiàn)的.初高中數(shù)學育人一體化不能僅僅停留在淺表的知識學習，在教學中滲透思維方式的聯(lián)系，構(gòu)建知識體系的聯(lián)系，最終達到培植素養(yǎng)的聯(lián)系，是初高中聯(lián)系視角下課程設(shè)計的有效化模式.

4復(fù)盤教學成效，反思教學過程

4.1關(guān)注素養(yǎng)，培育初高中一體化

在本次課程中，學生通過數(shù)學眼光觀察運算結(jié)構(gòu)，運用數(shù)學語言闡述一般公式，并憑借數(shù)學思維論證一般公式.這一過程不僅實現(xiàn)了素養(yǎng)培育的多元化，還呈現(xiàn)出階梯式的培育路徑.與傳統(tǒng)課堂相比，本次教學既達成了將特殊角三角函數(shù)值融入運算的目標，也實現(xiàn)了特殊角源于幾何圖形、服務(wù)于幾何構(gòu)造的推理目標，有力地促進了學生數(shù)學素養(yǎng)的全面發(fā)展

4.2設(shè)置問題，串聯(lián)初高中一體化

為使初中與高中數(shù)學知識的銜接自然流暢，問題串的引導(dǎo)式設(shè)計至關(guān)重要.教學伊始，通過精心設(shè)計運算環(huán)節(jié)制造認知沖突，促使學生意識到獲取對應(yīng)三角函數(shù)值是完成運算的關(guān)鍵.要得到這些值，學生需構(gòu)建兩種基礎(chǔ)三角形.運算結(jié)果與特定三角函數(shù)值的“巧合”，成功激發(fā)學生的探究欲望.為驗證猜想，學生需運用非特殊三角函數(shù)值進行驗證，在此過程中完成圖形與角度的構(gòu)造，并通過運算得出結(jié)論，最終實現(xiàn)和差化積公式的證明.這一過程循序漸進地提升了學生的運算技能與思維能力，讓學生在跨越學段的知識探索中獲得成就感

4.3體現(xiàn)思維育人，實現(xiàn)初高中一體化

高中階段三角函數(shù)變換公式的證明方法眾多，如角度代換、向量證明、恒等變形展開等，但這些方法往往依賴高中知識鋪墊，在初中階段可操作性欠佳.當所研究的角為銳角時，和差化積公式等均可采用初中幾何證明策略.幾何構(gòu)造思維作為初中數(shù)學的核心思維之一，既能簡化繁雜的代數(shù)運算，又是連接初中平面幾何與高中立體幾何的橋梁.學生所學知識具有階段性，但思維的培養(yǎng)可跨越階段，使人終身受益.這也正是初高中數(shù)學育人一體化視角下教學實踐的重要目標.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）M.北京：人民教育出版社，2020.