探究三角形的內(nèi)角和與外角和的區(qū)別

在課堂上，初中數(shù)學(xué)教師巧設(shè)情境教學(xué)模式，向?qū)W生介紹三角形的定義，可以幫助學(xué)生了解三角形的特征和性質(zhì)；同時(shí)，可以運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，引導(dǎo)學(xué)生在生活中觀察和比較不同形狀的三角形，從而進(jìn)一步提升計(jì)算能力.

1掌握三角形內(nèi)角和的特點(diǎn)

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形的內(nèi)角和為 180^° 的特點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)線求和等方法，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行練習(xí)題，讓學(xué)生計(jì)算不同形狀三角形的內(nèi)角和.

1.1三角形的內(nèi)角和恒定

根據(jù)三角形的定義，三角形的三個(gè)內(nèi)角的和總是等于 180^°. 對(duì)于鈍角三角形來(lái)說(shuō)，其中一個(gè)內(nèi)角大于 90^° ，而其他兩個(gè)內(nèi)角的和小于 90^° ，使得總的內(nèi)角和仍然等于 180^° .對(duì)于任意一個(gè)三角形，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)相加總是等于 180^° ，這個(gè)規(guī)律在解決三角形問(wèn)題時(shí)非常有用，可以幫助學(xué)生計(jì)算出未知的角度或邊長(zhǎng).無(wú)論三角形的形狀和大小如何，其內(nèi)角的和始終等于 180^° ，這個(gè)特性被稱(chēng)為三角形的內(nèi)角和定理，是數(shù)學(xué)中的基本原理，需要教師通過(guò)幾何或代數(shù)方法來(lái)證明.

1.2直角三角形的重要特征

在直角三角形中，一個(gè)內(nèi)角為 90^° ，被稱(chēng)為直角，而其他兩個(gè)內(nèi)角的和為 90^° ，這是因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和定理仍然適用于直角三角形.因此，無(wú)論直角三角形的其他兩個(gè)內(nèi)角是多少，它們的和都必須等于90^° ，這個(gè)特性是直角三角形的一個(gè)重要特征，也是解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)的一個(gè)重要線索.例如，教師可以舉例書(shū)的一角、黑板的一角、三角尺的直角等，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形中的直角；還可以通過(guò)圖片進(jìn)行教學(xué)（如圖1）.

教師準(zhǔn)備一些不同形狀的卡片，其中一些卡片是直角三角形，另外一些卡片是其他類(lèi)型的三角形，將這些卡片按照直角三角形和其他三角形的特征進(jìn)行分類(lèi).同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察直角三角形卡片，并讓他們描述這些三角形卡片的共同特征.學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這些三角形卡片都有一個(gè)共同的角是 90^°

1.3銳角三角形的重要特征

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知，無(wú)論三角形是銳角、鈍角還是直角三角形，所有內(nèi)角的和都等于180^° .銳角三角形是指所有內(nèi)角都小于 90^° 的三角形.教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生掌握銳角三角形的特征： ① 大于0^° 而小于 90^° 的角，叫作銳角，銳角三角形的三個(gè)角都是銳角； ② 設(shè)銳角三角形的三邊 a2+ b²gt;c² ③ 銳角三角形的每條高均在三角形內(nèi)； ④ 三內(nèi)角和為 180^° ，外角和為 360^°;⑤ 設(shè)三角形的三邊為 a，b，c 則 a+bgt;c

1.4鈍角三角形的重要特性

鈍角三角形是指至少有一個(gè)內(nèi)角大于 90^° 的三角形，除了一個(gè)內(nèi)角大于 90^° 之外，三個(gè)內(nèi)角的和仍然為 180^° ，這個(gè)性質(zhì)與三角形的基本定理是一致的.在學(xué)生完成與鈍角三角形相關(guān)的練習(xí)后，教師可以組織學(xué)生討論不同形狀三角形的內(nèi)角和是否滿足180^° 的規(guī)律，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，確保學(xué)生理解了三角形內(nèi)角和等于 180^° 的定理.學(xué)生將通過(guò)觀察、練習(xí)和討論，逐步理解三角形內(nèi)角和定理，并能夠應(yīng)用該定理來(lái)計(jì)算不同形狀三角形的內(nèi)角度數(shù)

2計(jì)算三角形的外角和方法

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并了解三角形內(nèi)角和與外角和的關(guān)系.教師在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生完成練習(xí)題，讓學(xué)生計(jì)算不同形狀三角形的外角和；運(yùn)用觀察法與比較法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察不同形狀的三角形，讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)三角形外角的特征和性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的興趣和探究欲望；以解決實(shí)際問(wèn)題為線索，引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用三角形的內(nèi)角和、外角和相關(guān)知識(shí)；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作，互相交流和分享解題思路，增強(qiáng)學(xué)生的合作能力和思維能力.

2.1教學(xué)資源

首先，教師提供一些繪有不同形狀的三角形幾何實(shí)物和教具來(lái)讓學(xué)生觀察和比較不同形狀的三角形[1]，讓學(xué)生可以更好地理解和掌握不同形狀三角形的特點(diǎn)和性質(zhì).學(xué)生可以通過(guò)觀察和比較角度、邊長(zhǎng)、形狀等方面的差異，從而加深對(duì)三角形的認(rèn)識(shí).

其次，教學(xué)投影儀或白板是非常有用的教學(xué)資源.[2它可以用來(lái)展示示例問(wèn)題、解題步驟和相關(guān)概念.通過(guò)投影儀或白板，教師可以在講臺(tái)展示不同形狀的三角形，并與學(xué)生一起探討它們的特征和性質(zhì)；同時(shí)，可以繪制不同的三角形，標(biāo)注角度和邊長(zhǎng)，并與學(xué)生討論它們之間的關(guān)系.教師使用教學(xué)投影儀或白板，還可以展示相關(guān)的圖象、圖表和視頻等，幫助學(xué)生更好地理解不同形狀三角形的性質(zhì)；可以展示實(shí)際生活中應(yīng)用三角形的示例，如建筑物、橋梁或藝術(shù)作品，使學(xué)生能夠更好地理解三角形的重要性和實(shí)際應(yīng)用.總之，教學(xué)投影儀或白板是教學(xué)三角形性質(zhì)的重要工具，可以幫助學(xué)生觀察、分析和討論不同形狀三角形的特征，并促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何概念的理解和應(yīng)用能力的提高.

最后，在課堂上，教師應(yīng)緊扣具體的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)有效的問(wèn)題情境.[3例如，一個(gè)建筑設(shè)計(jì)師正在設(shè)計(jì)一座建筑物的屋頂，這個(gè)屋頂是由一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三角形組成的.已知等邊三角形的內(nèi)角和為 180^° ，等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為 60^° 教師針對(duì)等邊三角形，提問(wèn)學(xué)生“每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少”.對(duì)于等腰三角形，提問(wèn)\"其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少？三個(gè)內(nèi)角的和是多少？屋頂?shù)膬?nèi)角和外角的度數(shù)分別是多少”.教師要求學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)，如三角形內(nèi)角和等，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，并給出詳細(xì)的解答步驟.教師可以在教學(xué)課件中提供示例解答和計(jì)算公式，以幫助學(xué)生理解和應(yīng)用所學(xué)的知識(shí).

2.2練習(xí)題評(píng)估

教師應(yīng)用一些練習(xí)題來(lái)測(cè)試學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和、外角和的理解和計(jì)算能力.例如，三角形的一個(gè)內(nèi)角為 70^° ，另外兩個(gè)內(nèi)角的和是多少度；如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是 45^° 和 85^° ，那么第三個(gè)內(nèi)角是多少度；是否存在一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是 60^°?70^° 和 80^° ；一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是 65^° 和 75^° ，這個(gè)三角形的第三個(gè)內(nèi)角是多少度；一個(gè)三角形的其中一個(gè)內(nèi)角為 120^° ，它的外角是多少度.

2.3課堂討論

創(chuàng)新教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)教學(xué)延伸.教師可以帶領(lǐng)學(xué)生探究三角形周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握計(jì)算公式，并通過(guò)課堂擴(kuò)展到其他多邊形的角度和性質(zhì)研究中，如四邊形、五邊形等，歸納總結(jié)得出以下結(jié)論：三角形的內(nèi)角和外角是與三角形的各個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的角；三角形的內(nèi)角和為 180^° ，通常用字母 A，B，C 表示三角形的內(nèi)角；三角形外角是與之相鄰的內(nèi)角的補(bǔ)角（兩角相加等于 180^°） ，三角形的外角和等于 360^° ，通常用字母 A^′?B^′?C^′ 表示三角形的外角.具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè) ΔABC ，其三個(gè)內(nèi)角分別為 ∠A，∠B 和 ∠C. 以頂點(diǎn) A 為例， ∠A 的外角記為 ∠A^′ = ∠A^′ 是 ∠A 的補(bǔ)角，即 ∠A+∠A^′ =180^° ：

3探究三角形的內(nèi)角和外角的區(qū)別

教師引導(dǎo)學(xué)生深入分析三角形的內(nèi)角和外角的區(qū)別：三角形的內(nèi)角是指三角形內(nèi)部與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的角度，對(duì)于一個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，內(nèi)角的度數(shù)和總等于 180^° ，三角形的外角的度數(shù)和總是等于360^° ；三角形的外角是指位于三角形外部的角，對(duì)于每個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角來(lái)說(shuō)，它所對(duì)的外角的度數(shù)等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和.

例1已知 ∠A，∠B，∠ACB 是 ΔABC 的三個(gè)內(nèi)角，點(diǎn) D 是邊 BC 外的一點(diǎn)，證明： ∠A+∠B+ ∠ACB=180^° ∠A+∠B=∠ACD

解析：如圖所示，作 CE//AB ，并延長(zhǎng) BC 到點(diǎn) D

·： ∠1=∠A （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， ∠2= ∠B （兩直線平行，同位角相等）.

. ?∠1+∠2+∠ACB=180^° （平角定義），·： .∠A+∠B+∠ACB=180^° （等量代換）.

： ∠ACD+∠ACB=180^° ， ∠A+∠B+ ∠ACB=180^°

∠A+"∠B="∠ACD.

教師可以通過(guò)例題講解，促進(jìn)學(xué)生靈活利用三角形知識(shí).

例2如圖所示，已知 ∠B=40^° ∠C=59^° ∠DEC=47^° ，求 ∠F 的度數(shù).

解析：： ∠CAF=∠B+∠C=99^° 。， ∠AEF= ∠DEC=47^° （對(duì)頂角相等），： ∠F=180^°- ∠CAF-∠AEF=180^°-99^°-47^°=34^°

此題先由外角的性質(zhì)求 ∠CAF 的度數(shù)，再利用對(duì)頂角相等得 ∠AEF 的度數(shù)，最后運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求得 ∠F 的度數(shù).教師先引導(dǎo)學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)，然后進(jìn)行解題過(guò)程講解，促進(jìn)學(xué)生掌握三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理

4結(jié)語(yǔ)

課堂討論是評(píng)估學(xué)生對(duì)概念掌握情況的有效方式.教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生討論，評(píng)估學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和、外角和的掌握情況.教師給學(xué)生提出基于三角形內(nèi)角和、外角和的開(kāi)放性問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生思考和討論，從而加深學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和、外角和概念的理解，從而提高學(xué)生的思維能力和合作能力.

參考文獻(xiàn)

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