結(jié)構(gòu)化教學(xué)視角下的課時(shí)教學(xué)實(shí)踐與思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版》）在“教學(xué)建議\"中指出：“要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系.\"因?yàn)閿?shù)學(xué)知識間存在著較強(qiáng)的邏輯關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)科具有顯著的結(jié)構(gòu)化特征，所以開展數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)對于學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識體系，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要意義.然而，在實(shí)際教學(xué)中，碎片化教學(xué)現(xiàn)象依然較為普遍.筆者近日觀摩的蘇科版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級下冊》第7章第1節(jié)“正切\(zhòng)"公開課就是如此，本文對此作些剖析并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)思考.

1課程安排及問題分析

1.1新知的形成

“正切\(zhòng)"公開課的第一節(jié)課出示書上五張“等底不等高”“等高不等底”“高底成比例”三種不同類型的臺階，讓學(xué)生判斷哪個(gè)臺階最陡，分析臺階的陡緩跟坡角的對邊、鄰邊的關(guān)系，歸納出坡角的大小和對邊與鄰邊的比值有關(guān)，并驗(yàn)證結(jié)論，介紹定義.第二節(jié)課讓學(xué)生回顧梳理直角三角形關(guān)于角、邊的相關(guān)知識，猜想出本課要研究邊與角的關(guān)系，結(jié)合 30^°，45^° 角所在直角三角形的邊角關(guān)系，猜想直角三角形中銳角的大小跟對邊與鄰邊的比值有關(guān)，并通過相似驗(yàn)證結(jié)論，給出定義.

1.2例題的設(shè)計(jì)

第一節(jié)課選取的例題是近年的中考題，主要在直角三角形和圓等不同背景下計(jì)算角的正切值，過分側(cè)重于直角三角形的尋找和角的轉(zhuǎn)化，難度偏大，學(xué)生參與度不高.由于新知的形成時(shí)間較短，導(dǎo)致第二節(jié)課后面剩余時(shí)間較多，只能用練習(xí)，東拼西湊，比較雜亂.

1.3體系的建構(gòu)

在本章知識體系環(huán)節(jié)，僅呈現(xiàn)知識學(xué)習(xí)先后順序，未能彰顯知識聯(lián)系的復(fù)雜性和緊密性，未能突出數(shù)學(xué)思維的特征和人們認(rèn)識數(shù)學(xué)的個(gè)人體驗(yàn).[只有形式和簡單的過程，缺乏思想和靈魂，沒有真正從內(nèi)在邏輯和現(xiàn)實(shí)情境中構(gòu)建整個(gè)知識體系.

問題分析：在新知形成中，第一節(jié)課引用書上的例子，設(shè)定對邊相等或鄰邊相等，通過比較鄰邊或?qū)叺拇笮≌f明角的大小，直接降低了思維的深度，概念的形成缺少自然探究的過程；第二節(jié)課由特殊角所在直角三角形兩邊的比例關(guān)系，直接猜想出角的大小與它所在直角三角形的對邊與鄰邊有關(guān)，再介紹正切概念，顯得過于直接牽強(qiáng).兩節(jié)課共性問題是沒有把數(shù)學(xué)抽象概念的形成作為素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，對概念的來龍去脈缺少整體性的考慮和關(guān)聯(lián)性的研究，從現(xiàn)實(shí)世界的客觀現(xiàn)象到發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式這一過程中，缺少自然過渡的臺階，使得學(xué)生的抽象能力難以形成.例題的設(shè)計(jì)沒有把數(shù)學(xué)的推理、計(jì)算和建模作為素養(yǎng)目標(biāo)，涉及的知識面單一或難度過高，與前后知識的銜接性或關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，本質(zhì)上缺少結(jié)構(gòu)化的視野，導(dǎo)致學(xué)生的推理能力、計(jì)算能力和模型意識難以形成.在體系建構(gòu)中，教師沒有從整體性視角建構(gòu)知識和方法體系，缺少對本章知識脈絡(luò)走向的引領(lǐng)、數(shù)學(xué)思想方法的啟迪、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的喚醒，缺少課時(shí)與整體的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)分析、類比和應(yīng)用，使學(xué)生難以形成全局的觀點(diǎn)，也未達(dá)成具有整體性特征的素養(yǎng)目標(biāo).從中可以看出，要達(dá)成課時(shí)教學(xué)的核心素養(yǎng)目標(biāo)，開展課時(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)是重要的路徑和抓手.

2課時(shí)結(jié)構(gòu)及解讀

美國教育心理學(xué)家布魯納（J.S.Bruner）認(rèn)為，結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容有助于學(xué)生理解，在學(xué)習(xí)后期不容易遺忘.同時(shí)，學(xué)生從結(jié)構(gòu)化中學(xué)到的原則、原理易于正向遷移到未來類似的情境中，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，讓學(xué)生能夠獨(dú)立獲取更高層次的知識.因此，教師在備課時(shí)要對教學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)化解讀，從整體關(guān)聯(lián)的角度剖析內(nèi)容，

2.1知識明線，前后銜接

作為“銳角三角函數(shù)\"章節(jié)開篇第1課時(shí)，教材從先比較三個(gè)“等底不等高”“等高不等底”“高底成比例”的臺階哪個(gè)更陡，引出直角三角形中可以用銳角的對邊與鄰邊的比值刻畫這個(gè)角的大小，再利用相似三角形的知識證明了“如果直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定，那么這個(gè)銳角的對邊與鄰邊的比值也確定”，在此基礎(chǔ)上得到了正切的概念.本課時(shí)以相似三角形、勾股定理、函數(shù)的概念等內(nèi)容為基礎(chǔ)，為正弦、余弦概念的學(xué)習(xí)作鋪墊.與之相關(guān)聯(lián)的舊知還有： 30^° 角所對直角邊是斜邊的一半，揭示了直角三角形的銳角的大小可能與邊的比值有關(guān)；直線y=kx+b（k≠0） 中， k 與直線的傾斜程度有關(guān)，體現(xiàn)出數(shù)字與角度的關(guān)系.

2.2方法暗線，整體思考

人教版和浙教版“銳角三角函數(shù)”章節(jié)開篇第1課時(shí)介紹的是正弦、余弦、正切，這兩者與蘇科版教材的引入順序和方法均有較大差異.事實(shí)上，正切、正弦、余弦本身并不存在因果關(guān)系，它們的引入順序不會(huì)影響到學(xué)生的認(rèn)知層次.真正對學(xué)生認(rèn)知產(chǎn)生重要影響的是銳角三角函數(shù)是用線段的比刻畫角的大小的一種方法，這種方法貫穿本章的學(xué)習(xí)過程.對初中生而言，從“線段長\"到“線段比”是認(rèn)識上的一次飛躍.3因此，教學(xué)的重點(diǎn)是充分引導(dǎo)學(xué)生自主探究“為什么會(huì)想到用線段比刻畫銳角的大小，為什么要放在直角三角形中來研究”，同時(shí)要感知這種方法在正切、正弦、余弦中的連貫性和一致性.與之相關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷：用疊合法比較兩個(gè)直角三角板中的銳角時(shí)，除了觀察邊的相對位置，還能通過固定一邊（控制變量法）來探究角與另一邊的變化關(guān)系，這一過程既鞏固了疊合法的應(yīng)用，也為后續(xù)比較角的大小提供了新思路；特殊角的大小與其所在直角三角形的邊的比例有關(guān)，這又為猜想提供了不完全歸納；三角形的相似為證明提供了方法.

3結(jié)構(gòu)化教學(xué)及理解

結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要教師站在課程、單元、課時(shí)的視角，根據(jù)數(shù)學(xué)知識的邏輯性、關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)性等特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和生活經(jīng)驗(yàn)，幫助他們從整體上理解知識的來龍去脈、例題的前因后果、學(xué)習(xí)的通性通法.因此，教師首先要厘清教學(xué)前后知識的關(guān)聯(lián)，從學(xué)生的知識積累和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，鋪設(shè)知識生長的臺階，逐級深人探析概念的形成；其次抓住新知的本質(zhì)，尋找前后銜接與左右關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)具有呼應(yīng)性、開放性、動(dòng)態(tài)性的例題，形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)；最后總結(jié)延伸，完善知識結(jié)構(gòu)，積累思想方法，關(guān)聯(lián)其他課時(shí)內(nèi)容，形成全局的邏輯結(jié)構(gòu).4具體流程如圖1所示.

4課時(shí)優(yōu)化及說明

4.1概念形成，鋪墊自然

問題1長城被稱為世界八大奇跡之一，氣勢磅礴，綿延起伏，欣賞長城圖片（如圖2），你覺得哪一段臺階平緩些？哪一段臺階陡峭些？如何比較圖3臺階的平坦與陡峭？為什么？

問題2為比較兩個(gè)銳角的大小，我們先把這兩個(gè)銳角放在直角三角形中研究，如圖4用疊合法比較 ∠ABC 和 ∠FBC 的大小，由 BF 在 ∠ABC 內(nèi)部可得 ∠ABCgt;∠FBC， 觀察此時(shí)點(diǎn) D 的位置，還可以用什么量來反映角的大?。康玫绞裁唇Y(jié)論？類似的，換個(gè)視角，又可以得到什么結(jié)論？如果把這兩個(gè)角放在一般三角形中研究行不行？放在哪類三角形更好？

問題3剛才的探究方法與物理學(xué)中的控制變量法不謀而合，我們發(fā)現(xiàn)角的大小跟它所在直角三角形的對邊和鄰邊都有關(guān)系，是跟這兩邊的和、差、積還是商有關(guān)？請舉例說明.圖4中， ∠DBE 和 ∠FBC 相等，觀察它們各自所在的三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

問題4在 RtΔABC 中，當(dāng)銳角 ∠A 確定后，它的對邊與鄰邊的比值是否唯一確定？為什么？“唯一確定”讓你聯(lián)想到什么舊知？

教學(xué)說明：問題1引導(dǎo)學(xué)生把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，得出臺階陡緩程度跟坡面與水平面的夾角（坡角）有關(guān).問題2中，教師回顧用疊合法比較角的大小，并用兩個(gè)直角三角形的硬紙片演示，作出相應(yīng)的示意圖，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)ABC和 ∠FBC 的大小與AC、FC的長短關(guān)系，讓學(xué)生反思上述研究方法，喚醒物理學(xué)中的控制變量法，觸類旁通換邊思考，從而得到如果 ∠A 的一條鄰邊不變，對邊越大，∠A 越大；如果 ∠A 的對邊不變，鄰邊越小， ∠A 越大.最后一小問旨在讓學(xué)生理解放在直角三角形中研究角與邊關(guān)系的意義，引出三角函數(shù)發(fā)展史，為概念的生成作鋪墊.問題3猜想結(jié)論并通過 30^°，45^° 角驗(yàn)證，再利用原圖分析同角或等角和對邊與鄰邊的比值關(guān)系，得出角的大小與這兩邊的比值有關(guān).問題

4通過相似證明當(dāng)角的大小確定時(shí)，有唯一的比值與之對應(yīng)，讓學(xué)生由此聯(lián)想到函數(shù)的概念，順勢引出正切的定義，揭示本課課題.

4.2例題設(shè)計(jì)，多方融合

問題5如圖5所示，在 RtΔABC 中， ∠C=90^° ，若，求 ？請你結(jié)合正切的定義，設(shè)計(jì)問題并讓其他同學(xué)求解.

變式如圖6所示， D 為 ?AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CD 分別為 AB 邊上的高、中線和角平分線時(shí)，求tan∠BCD 的值.

問題6已知直線 l₁：y=k₁x+b₁ 與 l₂：y= k₂x+b₂ ，若 k₁=k₂gt;0 且 b₁≠b₂ ，則直線 l₁ 平行于l₂ ，為什么？

教學(xué)說明：問題5從動(dòng)態(tài)開放的角度設(shè)計(jì)例題，讓學(xué)生充分理解定義的內(nèi)涵和外延，掌握求銳角的正切值的前提、題型、背景和方法.學(xué)生一般會(huì)假設(shè)已知兩直角邊長、一直角邊和斜邊以及一邊一角等求解其他元素.后面的變式巧妙對應(yīng)了三角形三線的動(dòng)態(tài)介紹，涉及角的轉(zhuǎn)化以及求解特殊角的正切值.問題6體現(xiàn)了 k 值與直線的位置有關(guān)，是一次函數(shù)的教學(xué)難點(diǎn).此處可從特殊到一般讓學(xué)生嘗試體驗(yàn)，如已知直線過點(diǎn)（1，2），（3，4），求 k ；已知直線過點(diǎn) （x₁，y₁），（x₂，y₂） ，求 k ，讓學(xué)生在求解過程中領(lǐng)悟 k 的值等于這兩點(diǎn)的鉛垂距離、水平距離的比值，即傾斜角的正切值，體會(huì)數(shù)學(xué)知識相互之間的關(guān)聯(lián)及本課的研究價(jià)值.

4.3整體建構(gòu)，融會(huì)貫通

問題7回顧本課的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，說說本課的知識線和注意點(diǎn)、涉及的數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)習(xí)的價(jià)值.思考直角三角形中兩邊比值的組合還有哪些，重點(diǎn)會(huì)研究哪些組合，如何來研究，研究哪些內(nèi)容？

在此基礎(chǔ)上，教師介紹國內(nèi)外三角學(xué)發(fā)展史及三角函數(shù)發(fā)展的變化，點(diǎn)明三角函數(shù)的產(chǎn)生源于生活之需，適發(fā)展之要.

教學(xué)說明：教師引導(dǎo)學(xué)生從四個(gè)方面概括：一是復(fù)述學(xué)習(xí)了什么；二是分享怎么學(xué)的；三是明確為什么學(xué)；四是了解后面會(huì)學(xué)什么，怎么學(xué)，并梳理形成知識結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生理解知識的內(nèi)在生長脈絡(luò).以三角函數(shù)史為鑒，感受三角函數(shù)發(fā)生、發(fā)展的過程，體會(huì)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的價(jià)值意義，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力.

5結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思考

結(jié)構(gòu)化視角下的課時(shí)教學(xué)，要求學(xué)習(xí)者的知識結(jié)構(gòu)螺旋式上升，這種螺旋式上升需要在學(xué)生原有的知識觀念和新知識發(fā)生不同程度的認(rèn)知沖突作用下形成，這其中包括同化、順應(yīng)等過程.[5因此，課時(shí)教學(xué)要基于學(xué)生已有的認(rèn)知，以發(fā)展核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，從結(jié)構(gòu)化的視角對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組和優(yōu)化，通過數(shù)學(xué)情境的鋪墊，呈現(xiàn)知識間的前后關(guān)聯(lián)、學(xué)法的相似相通、思想的前后融通，幫助學(xué)生解決問題并形成有效的遷移，建立結(jié)構(gòu)化知識體系.

5.1線性鏈接要點(diǎn)，拾級探究新知

美國教育學(xué)者威金斯（G.Wiggins）和麥克泰格（J.McTighe）認(rèn)為，良好的設(shè)計(jì)不僅僅是讓學(xué)生獲得一些新的技術(shù)和技能，而是為了以目標(biāo)及其潛在的含義為導(dǎo)向，產(chǎn)生更全面、更具體的學(xué)習(xí).教師在授課前，要厘清教學(xué)內(nèi)容有哪些知識要點(diǎn)，這些知識點(diǎn)的銜接點(diǎn)是什么，如何自然銜接，串點(diǎn)成線；教學(xué)的重難點(diǎn)是什么，如何提供合乎邏輯的思考臺階，拾級而上地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造，突破重難點(diǎn)；教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)是什么，如何體現(xiàn)等.在此基礎(chǔ)上，圍繞教學(xué)的重難點(diǎn)，設(shè)計(jì)一系列子問題，用序列的方式將一個(gè)個(gè)知識點(diǎn)呈現(xiàn)，伴隨著知識的生長發(fā)展，思想方法線和素養(yǎng)線交織前行，最終對所學(xué)內(nèi)容形成較為全面、完整的看法.

例如，在本課中，正切的定義是教學(xué)的重難點(diǎn)，關(guān)鍵要突破以下幾點(diǎn)：一是為什么想到用直角三角形邊的大小反映角的大??；二是為什么要同時(shí)看兩邊的關(guān)系，是兩邊的什么關(guān)系；三是為什么要放在直角三角形中研究，其他三角形是否可以.正切研究一個(gè)角與兩邊的關(guān)系，如何化歸到兩個(gè)變量之間的關(guān)系，涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法，蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.這就需要教師站在學(xué)生的角度分析新舊知識的銜接點(diǎn)，鋪設(shè)合適的臺階引導(dǎo)并幫助學(xué)生探究新知.具體如圖7所示.

5.2網(wǎng)狀發(fā)散例題，深度理解概念

學(xué)生在了解概念的形成和發(fā)展過程后，需要通過一定量的例題訓(xùn)練理解概念，掌握內(nèi)涵和外延.教師圍繞概念設(shè)計(jì)例題，要充分考慮例題在深化理解概念的潛在作用，既要體現(xiàn)概念的應(yīng)用，又要結(jié)合學(xué)生原有知識儲備，從開放性、動(dòng)態(tài)性、呼應(yīng)性等視角構(gòu)建更加靈活、廣泛的知識網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)性例題，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)、思考和創(chuàng)造，

本課共設(shè)三例，例1屬于開放性例題，較為基礎(chǔ)，圍繞正切的知識要點(diǎn)，在直角三角形中已知兩邊求正切以及已知一邊一角求其余量，讓學(xué)生多元化的研究和歸納，明概念之本，知解題之道.例2屬于動(dòng)態(tài)性例題，難度中等.直角頂點(diǎn)與斜邊上的動(dòng)點(diǎn)的連線，形成斜邊上的高、中線及直角平分線，求這些連線與直角邊夾角的正切值.這道題讓學(xué)生學(xué)會(huì)在不同背景下把銳角轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解，明轉(zhuǎn)化之法，優(yōu)解題之術(shù).例3屬于呼應(yīng)性例題，通過數(shù)形結(jié)合用新知解決舊問，有一定難度.正切函數(shù)的學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一個(gè)由形到數(shù)的過程，而本題則是通過數(shù)反映形，需要從深層次的數(shù)學(xué)思想層面來綜合體會(huì)、領(lǐng)悟，從而發(fā)展核心素養(yǎng).這三例圍繞“正切”這一核心概念從橫向和縱向兩個(gè)維度設(shè)計(jì)，注重知識和方法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，難度逐層增加，知識前后呼應(yīng)，架設(shè)起融通前后知識的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，具體如圖8.

5.3整體構(gòu)建框架，內(nèi)化結(jié)構(gòu)思想

正切是九年級學(xué)習(xí)的內(nèi)容，由于缺少同類知識的學(xué)習(xí)經(jīng)歷參考，學(xué)生只能依托情境，借助疊合法、控制變量法、三角形相似等方法，開辟新路徑，從而獲取知識、認(rèn)識概念.為培養(yǎng)學(xué)生的整體思維，形成同類知識學(xué)習(xí)的一般觀念，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理知識的發(fā)生、發(fā)展過程以及各個(gè)要點(diǎn)的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，形成一個(gè)較為全面的認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)正弦和余弦提供方法與途徑.

本課通過讓學(xué)生了解直角三角形的研究進(jìn)程，即先角后邊，再研究邊角關(guān)系，最后通過樹狀圖介紹本章的知識體系.對于銳角，教師可以提出問題“我們研究了它的對邊與鄰邊的比值，而三角形除了兩直角邊外，還有斜邊，這些邊可以組合成哪些比值，你覺得最有價(jià)值的是哪幾對？我們會(huì)沿著什么路徑研究”，讓學(xué)生系統(tǒng)地了解整章內(nèi)容及結(jié)構(gòu)，為高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).

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