基于問題探究概念聚焦素養(yǎng)深度教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》以下簡稱\"新課標(biāo)\"強調(diào)：“高中數(shù)學(xué)課程體現(xiàn)社會發(fā)展的需求、數(shù)學(xué)學(xué)科的特征和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”基于新課標(biāo)的要求，各版高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了重新修訂，都關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，將核心素養(yǎng)與教材內(nèi)容有機結(jié)合，構(gòu)建一條“抽象數(shù)學(xué)研究對象一發(fā)現(xiàn)問題一提出問題一解決問題一獲得新知\"的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑.[2]

新課標(biāo)要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).[3這需要一線數(shù)學(xué)教師結(jié)合學(xué)情對新教材進(jìn)行“二次開發(fā)”，將教材轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)材”，設(shè)計問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，從而在理解數(shù)學(xué)知識的過程中落實“四基”與“四能”，在數(shù)學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).鑒于此，本文以蘇教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》“相互獨立事件\"的教學(xué)為例，談?wù)剬Υ说恼J(rèn)識與思考.

1課堂教學(xué)片段

1.1問題引路，獲得數(shù)學(xué)概念

問題1考查下面的隨機事件A和隨機事件B.

A：同時拋擲兩顆骰子，第一顆向上的點數(shù)是1.

B ：同時拋擲兩顆骰子，第二顆向上的點數(shù)是2.

事件 A 發(fā)生與否對事件 B 發(fā)生有沒有影響？

生1：因為同時拋擲兩顆骰子，第一顆骰子的結(jié)果不影響第二顆骰子的結(jié)果，所以事件 A 發(fā)生與否對事件 B 發(fā)生沒有影響

問題2從事件發(fā)生概率的角度能否說明第一顆骰子的結(jié)果不影響第二顆骰子的結(jié)果？

生2：如果事件 A 發(fā)生，則事件 B 發(fā)生的概率為 ;如果事件A不發(fā)生，則事件 B 發(fā)生的概率為 .由此可見，事件 A 發(fā)生與否對事件 B 發(fā)生的概率沒有影響.

結(jié)論1：如果事件 A 是否發(fā)生不影響事件 B 發(fā)生的概率，那么稱 ^A，B 為相互獨立事件.

【設(shè)計意圖】“同時拋擲兩顆骰子”是學(xué)生熟悉的問題情境.問題1從學(xué)生熟悉的問題情境出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生思考事件A發(fā)生與事件 B 發(fā)生是否相互影響，感知“相互獨立事件”的概念；問題2進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生從概率的角度解釋生1的“第一顆骰子的結(jié)果不影響第二顆骰子的結(jié)果”，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，概括形成“相互獨立事件\"的概念.

1.2創(chuàng)設(shè)情境，辨析概念內(nèi)涵

問題3如圖1所示，大正方形被平均分成9個部分，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一點（每次都能投中），投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事件記為 A .投中最上面3個小正方形區(qū)域的事件記為 B ，試判斷A與 B 是否為獨立事件？

生3：左上角的小正方形既屬于最左側(cè)3個小正方形區(qū)域，也屬于最上面3個小正方形區(qū)域，事件 A 和事件 B 有共同的部分，所以事件 A 和事件 B 的發(fā)生是相互影響的，事件 A 和事件 B 不是相互獨立事件.

生4：不對，應(yīng)該是相互獨立事件.如果事件A發(fā)生，則事件 B 發(fā)生的概率為 ；如果事件 A 不發(fā)生，則事件 B 發(fā)生的概率為 .所以事件 A 是否發(fā)生不影響事件 B 發(fā)生的概率.

問題4兩位同學(xué)的解釋都有道理，但是結(jié)論又相互矛盾.你支持哪一方呢？為什么？

生5：我覺得事件 A 和事件 B 是相互獨立事件.一開始我感覺不是相互獨立的，理由和生3一樣，但是聽了生4的解釋，我覺得我們應(yīng)該從定義人手進(jìn)行判斷，定義里面講的是概率互不影響，所以我們要關(guān)注事件A和事件 B 發(fā)生的概率

師：這個同學(xué)回答得非常好！在結(jié)果出現(xiàn)問題時，我們需要回歸概念的定義.剛才講過了“如果事件 A 是否發(fā)生不影響事件 B 發(fā)生的概率，那么稱A，B 為相互獨立事件”，我們要判斷事件A發(fā)生與否是否會影響事件 B 發(fā)生的概率，如果沒有影響，那么就是相互獨立事件.

【設(shè)計意圖】通過問題3的解決，學(xué)生得到兩個相互矛盾的結(jié)論，激發(fā)學(xué)生對“相互獨立事件”概念內(nèi)涵的進(jìn)一步思考，用抽象的“概率”代替直觀的感知來判斷事件 A 與事件 B 是否相互獨立.部分學(xué)生對\"相互獨立事件”的概念產(chǎn)生了誤解.問題3的解題過程顯示，學(xué)生看似明白實則沒有準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念.通過生生交流、師生交流，在質(zhì)疑中思考問題，在思考中明晰概念，讓學(xué)生真正掌握概念的內(nèi)涵，

1.3歸納反思，挖掘概念本質(zhì)

問題5回顧問題2和問題3，大家觀察一下P（AB），P（A），P（B） 三者之間有怎樣的關(guān)系.

生

問題6問題2和問題3中，事件 A 和事件 B 是相互獨立的，同時 P（AB）=P（A）P（B） 那么P（AB）=P（A）P（B） 與“事件 A 和事件 B 是相互獨立”有怎樣的關(guān)系呢？

生7：它們可能是等價的，

師：這個同學(xué)的猜想是正確的.對于相互獨立事件，有結(jié)論 ^°A，B 相互獨立等價于 P（AB）=P（A） ·P（B）^′ ：

問題7這個結(jié)論有什么作用呢？

生8：我們判斷事件 A 和事件 B 是否相互獨立可以看“ P（AB）=P（A）P（B） ”是否成立.

師：我們得到了相互獨立事件的另一個定義，即對任意兩個事件 A 和事件 B ，如果 P（AB）=P（A） ·P（B） 成立，則稱事件 A 與事件 B 相互獨立，簡稱獨立.

問題8相互獨立事件定義有兩個，請同學(xué)們比較一下.

生9：定義一是關(guān)于事件 A 是否發(fā)生兩種情況下事件 B 發(fā)生的概率；定義二只要考慮 P（AB） .P（A），P（B） ，看三者是否滿足 P（AB）=P（A） ·P（B） 的關(guān)系.因此，用定義二判斷容易些，

【設(shè)計意圖】通過對問題2和問題3結(jié)論的反思，得到“ P（AB）=P（A）P（B） ”與“事件 A 和事件 B 相互獨立\"的關(guān)系，從而抽象概括出“事件 A 和事件 B 相互獨立\"的第二個定義.教師通過鼓勵學(xué)生大膽猜想和歸納，讓概念生成更加自然，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).“相互獨立事件”的兩個定義是其概念的兩種不同表現(xiàn)形式，是對“相互獨立事件\"概念的生動描述，從抽象到具體，幫助學(xué)生進(jìn)一步把握概念的核心.通過兩個定義的比較，啟發(fā)學(xué)生反思概念的使用過程，體會定義二的簡捷性，為下面運用定義二解決問題作好鋪墊，

1.4問題解決，深化概念理解

問題9互為對立事件的兩個事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件 A 與事件 B 相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立？

學(xué)生的推導(dǎo)過程如下： ，所以 美 ，所以事件 A 與事件 相互獨立.同理可得事件 與事件 B 相互獨立，事件 與事件 相互獨立.

問題10我們知道，如果三個事件 A，B，C 兩兩互斥，那么概率加法公式 P（A∪B∪C）= P（A）+P（B）+P（C） 成立.但當(dāng)三個事件 A，B，C 兩兩獨立時，等式 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 成立嗎？

生10：成立.

生11：不成立.

教師追問：這兩個同學(xué)能不能解釋一下？

生10和生11：憑感覺

師：感覺有時候是靠不住的，就像前面的同學(xué)感覺兩個事件不是相互獨立事件，但是按照定義操作發(fā)現(xiàn)是相互獨立事件.我們來看一個具體例子.

問題11設(shè)樣本空間 含有等可能的樣本點，且 A = { a ， b} ， B ={ a ， c} ， C = { a ， d} . A ， B ， C"三個事件是否兩兩獨立？ P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 成立嗎？

生12：通過概率的計算我們得到 P（AB）= P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B） ·P（C） ，所以 A，B，C 三個事件兩兩獨立，但是 4，P（A）P（B）P（C）= ，所以P（ABC）≠P（A）P（B）P（C）.

師：這說明 ?_A，B，C 三個事件兩兩獨立\"推不出來“ P 成立”，那么4 成立\"能否推出“ A ，^B，C 三個事件兩兩獨立”？

生13：不一定.

師：還是靠感覺證明嗎？

生14：可以像剛才那樣舉例證明，

師：非常好！

問題12如圖2所示，一個正八面體八個面分別標(biāo)有數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為 .能否構(gòu)造適當(dāng)?shù)氖录?A . ，使 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 成立，但不滿足 ^{A，B，C} 兩兩獨立？

生15：設(shè)A={1，2，3，4}， ，則 ，但是 P（AB）= ≠P（B）P（C）.故A和B不獨立，A和C不獨立，B 和 C 不獨立.

結(jié)論 2：A，B，C 三個事件兩兩獨立， P（ABC）= P（A）P（B）P（C） 不一定成立； P（ABC）=P（A） ·P（B）P（C） 成立，但是 A，B，C 三個事件不一定滿足兩兩獨立.說明 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 與 A ，^13，C 三個事件兩兩獨立沒有關(guān)系.

問題13教材中有這樣一句話“獨立事件可以推廣到 n 個事件的情形 （n∈N，ngt;2） ·一般地，如果事件 A₁，A₂，…，A_n 相互獨立，那么 P（A₁A₂…A_n）= P（A₁）P（A₂）…P（A_n）^′ ”，這與結(jié)論2是否矛盾呢？

生16：剛才我們推出 ?_{A1，A2，…，An} 相互獨立”與“ P（A₁A₂…A_n）=P（A₁）P（A₂）…P（A_n） ”沒關(guān)系.

師：難道教材上面這句話是錯的？這可是一個重大的發(fā)現(xiàn).

生17：老師，我們的結(jié)論和教材上的不一樣！教材上是“相互獨立”，我們推出來的結(jié)論是“兩兩獨立”.“相互獨立\"和“兩兩獨立\"是不是意思不一樣？

問題14“兩兩獨立”和“相互獨立”是同一個概念嗎？

師：兩個事件兩兩獨立和相互獨立是一樣的；三個及以上的事件兩兩獨立和相互獨立是不一樣的概念.設(shè) A，B，C 是三個事件，如果同時滿足以下等式：P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C） =P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B） ·P（C） ，則稱事件 A，B，C 相互獨立.

【設(shè)計意圖】在問題9的解決過程中，學(xué)生進(jìn)一步掌握如何證明兩個事件為“相互獨立事件”，強化基礎(chǔ)知識與基本技能.類比于兩兩互斥事件的概率加法公式的推廣，問題10讓學(xué)生對 ?_A，B，C 三個事件兩兩獨立\"與“ 成立”的關(guān)系進(jìn)行了深入的思考，通過具體實例，明確兩者之間沒有關(guān)系，深化對“兩兩獨立”的理解.問題12嘗試讓學(xué)生自行建構(gòu)事件 A，B，C ，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“具體一抽象一具體”的概念建構(gòu)過程，體會概念的本質(zhì).問題13引發(fā)了學(xué)生對教材的質(zhì)疑和討論，從而明確“兩兩獨立”和“相互獨立”是不同概念，避免概念混淆，順利解決疑惑.通過一個又一個問題的提出，不斷激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生疑問，在不斷的疑問中思考，在持續(xù)的思考中碰撞出智慧的火花，消除了學(xué)生對概念的誤解，加強了學(xué)生對概念的深度理解.

2教學(xué)反思

2.1精準(zhǔn)設(shè)計問題，讓概念生成更自然

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.Halmos）認(rèn)為“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.新課標(biāo)要求學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.因此，基于問題的課堂教學(xué)受到越來越廣泛的關(guān)注和重視.本節(jié)課通過“同時拋擲兩顆骰子\"的問題引出“相互獨立事件”的概念，接著利用問題3將學(xué)生帶入思維的沖突中.學(xué)生在辨析中厘清概念的內(nèi)涵，自然生成“相互獨立事件”的第二定義.問題設(shè)計時，教師需要選擇學(xué)生熟悉的真實情境，問題1就是來源于日常生活.教師要關(guān)注學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，設(shè)計的問題要能夠讓學(xué)生“跳一跳能夠得著”，即與學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知有一定的差距但是在學(xué)生的能力范圍之內(nèi)，適合學(xué)生的思維水平，低于學(xué)生認(rèn)知的問題會降低學(xué)生的興趣和注意力，難度太大的問題會打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.在教學(xué)設(shè)計時，要充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能的探究方向，對教學(xué)過程中學(xué)生出現(xiàn)的一些“意外\"想法即使不能探究成功，也要給予肯定和鼓勵，要保護(hù)學(xué)生探究的積極性.這樣才能讓探究的過程更加真實、自然.[4與此同時，教師需要整合問題內(nèi)容，精心布局提問環(huán)節(jié)，通過主干問題的邏輯串聯(lián)構(gòu)建數(shù)學(xué)思維梯度，避免問題的碎片化、離散性和隨意化，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，實現(xiàn)系統(tǒng)里所說的“整體大于部分之和”的功能.問題鏈不是一個個問題的簡單堆砌，而是有明確的目標(biāo)指引和緊密的有機聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在問題的變化過程中經(jīng)歷概念的抽象建構(gòu)，實現(xiàn)概念的同化和順應(yīng)，

2.2探尋數(shù)學(xué)本真，讓概念理解更透徹

首先，通過問題1和問題2的解決，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上獲得了“相互獨立事件”概念的語義表征，但是知道概念并不等同于理解概念.針對概念中容易出錯的地方設(shè)計了問題3，最左側(cè)3個小正方形區(qū)域和最上面3個小正方形區(qū)域的共同部分對學(xué)生產(chǎn)生了干擾，引起學(xué)生的爭論，啟發(fā)學(xué)會回歸到概念的本質(zhì)去解決問題，回歸到知識的本源去辨析概念.其次，數(shù)學(xué)概念的抽象性在于它的符號表征.學(xué)生對5、6、7三個問題進(jìn)行歸納梳理，找出共性，概括出“相互獨立事件\"的第二定義，用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系.問題9聯(lián)系前面的對立事件，探究對立事件的“相互獨立”關(guān)系，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的遷移應(yīng)用，加深了對“對立事件”和“相互獨立事件”概念的理解.最后，教師通過問題10、問題11、問題12，引導(dǎo)學(xué)生深入辨析“兩兩獨立”和“相互獨立”之間的關(guān)系，拓展數(shù)學(xué)概念，追尋概念本質(zhì).回顧整節(jié)課，正如章建躍教授所言“讓數(shù)學(xué)概念在問題的探究過程中實現(xiàn)從表面到本質(zhì)、從抽象到具體、從孤立到系統(tǒng)”[5]從表面到本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生理解“相互獨立事件”概念的內(nèi)涵和外延，把握概念的深層結(jié)構(gòu)；從抽象到具體，引導(dǎo)學(xué)生把握“相互獨立事件”概念的不同表現(xiàn)形式，在典型、精彩的數(shù)學(xué)問題被解決的過程中進(jìn)一步把握概念的具體細(xì)節(jié)，實現(xiàn)對抽象概念的具體應(yīng)用，體現(xiàn)了從“學(xué)概念”到“用概念”；從孤立到系統(tǒng)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“相互獨立”“對立”“兩兩獨立”之間的關(guān)系和聯(lián)系，通過對概念間關(guān)系的考查，在概念的聯(lián)系中把握概念的核心所在，實現(xiàn)概念的靈活遷移，構(gòu)建層次鮮明、立體結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)，

2.3圍繞核心素養(yǎng)，讓概念教學(xué)更深刻

章建躍教授認(rèn)為教好數(shù)學(xué)就是落實數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，而概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，得出概念的過程是最典型的數(shù)學(xué)抽象的過程.6教師通過創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，自然地抽象概括出“相互獨立事件”的概念.定義一與定義二既是數(shù)學(xué)概念的不同表征，也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不同水平的體現(xiàn).從水平一的“能夠解釋數(shù)學(xué)概念的含義\"到水平二的“能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念\"的過程中，彰顯了圍繞核心素養(yǎng)的課堂教學(xué).在概念的辨析與問題的解決過程中，無論是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，還是分析條件、探索論證的思路都促進(jìn)了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂上的發(fā)展.在問題12的自主探究過程中，教師激發(fā)學(xué)生嘗試自行建構(gòu)事件的模型來討論結(jié)論是否成立.學(xué)生面對實際問題，從數(shù)學(xué)的視角建立模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題，有力推動數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展，積累數(shù)學(xué)活動和實踐的經(jīng)驗.因此，無論是課前的教學(xué)設(shè)計，還是實際的課堂教學(xué)，教師都要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，圍繞核心素養(yǎng)去設(shè)計問題和教學(xué)環(huán)節(jié).許多教師認(rèn)為“相互獨立事件\"是一個簡單的概念，在課堂教學(xué)時往往一帶而過.但是，無論是舊版教材還是新版教材，不約而同地將“相互獨立事件\"設(shè)計為一個課時.這說明“相互獨立事件”是概率學(xué)習(xí)的初始概念，為后面學(xué)習(xí)條件概率進(jìn)行鋪墊，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)知識的基石.教師要重視教材，讓學(xué)生自然經(jīng)歷概念的形成過程，基于核心素養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生深刻地理解概念的本質(zhì)，獲得概念的內(nèi)化.深刻的教學(xué)應(yīng)該教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維來分析世界，用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)世界，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的智慧，實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人.[7]

參考文獻(xiàn)

[1][3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)3）—《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（25）：5-11.

[4]吳新建.讓探究成為習(xí)慣使學(xué)習(xí)更加自然—以“等比數(shù)列的前項 n 和\"教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報，2017（8）：27-30.

[5]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄（上卷）M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[6]章建躍.樹立課程意識落實核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報，2016（5）：1—4+14.

[7]宋秀云.讓“簡單內(nèi)容”教得深刻[J].數(shù)學(xué)通報，2016（4）：16-19.