基于“教一學(xué)一評”一致性的高中數(shù)學(xué)微專題教學(xué)實踐研究

“教一學(xué)一評”一致性，指的是教師的教、學(xué)生的學(xué)以及對教與學(xué)的評價具有高度的相關(guān)性.具體而言，就是教什么、學(xué)什么、考什么是一致的；如何教、如何學(xué)、如何考是一致的；教到哪種程度、學(xué)到哪種程度、考到哪種程度是一致的；教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實施、教學(xué)效果是一致的.隨著課程改革的深入推進(jìn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何提升學(xué)生獨立思考、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，已成為教學(xué)中的重要議題.本文以“圓錐曲線中動弦中點軌跡方程”微專題教學(xué)實踐活動為例，開展“評價任務(wù)嵌入式的微專題教學(xué)活動”，探索如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實現(xiàn)教師的教、學(xué)生的學(xué)以及對學(xué)習(xí)結(jié)果評價之間的協(xié)調(diào)配合，為數(shù)學(xué)教學(xué)實踐提供可參考的優(yōu)化思路.

1“教一學(xué)一評”一致性理論

從構(gòu)成要素來說，“教一學(xué)一評”一致性包含“學(xué)—教”“學(xué)—評\"\"教—評”三組關(guān)系.[1]“教—學(xué)—評”一致性是實現(xiàn)新時代育人目標(biāo)的重要途徑，聯(lián)通了教學(xué)設(shè)計、課程實踐和學(xué)習(xí)評價，有利于將教師預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)習(xí)的實際成果.“教一學(xué)一評”一致性理論指導(dǎo)下的教學(xué)活動，有效地解決了“教師教什么”“學(xué)生學(xué)什么”“是否達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)”這三大關(guān)鍵問題

2微專題教學(xué)的特點

課堂教學(xué)的主要目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).微專題課是立足于某些相關(guān)聯(lián)的或能單獨研究的知識點、數(shù)學(xué)思想方法、專題問題等，是教師基于問題解決教學(xué)的重要授課形式.[2]與傳統(tǒng)教學(xué)相比，微專題教學(xué)更注重知識的應(yīng)用與實際操作，幫助學(xué)生跳出“題?！?，真正實現(xiàn)“一題多解”和“觸類旁通”.因此，微專題教學(xué)實踐的引人，有效解決了傳統(tǒng)課堂中教學(xué)時間緊湊、缺少留白時間、學(xué)生參與度低等問題，是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的一條新途徑.

3“教一學(xué)一評”一致性導(dǎo)向下的微專題教學(xué)研究

3.1從“以評促教”角度理解微專題教學(xué)

2024年高考數(shù)學(xué)卷突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、探究能力和問題解決能力[3]，通過強(qiáng)化綜合性考查和加強(qiáng)考教銜接，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)重視學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).基于此，微專題教學(xué)應(yīng)結(jié)合“以評促教”的理念，通過精準(zhǔn)的評價促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn).

評價不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的檢測工具，更是推動學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié).從“以評促教\"的角度出發(fā)，以中國高考評價體系為指導(dǎo)，制定符合教學(xué)目標(biāo)的評價體系，開發(fā)“評價任務(wù)嵌人式的微專題教學(xué)活動”，能夠使教師及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并根據(jù)反饋調(diào)整教學(xué)內(nèi)容與難度.這種教學(xué)方式突破了傳統(tǒng)應(yīng)試教育的局限，真正實現(xiàn)了“學(xué)一教”“學(xué)—評”“教一評”三組關(guān)系的協(xié)調(diào)一致性.

3.2從“以學(xué)定教”角度組織微專題教學(xué)

在教學(xué)過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)可以分為兩個部分：一是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程；二是學(xué)生獲得的學(xué)習(xí)成果.比起學(xué)生“學(xué)會什么”，教師更應(yīng)關(guān)注學(xué)生“怎么學(xué)\"和“如何學(xué)會”.從“教育一教學(xué)\"思維范式轉(zhuǎn)向“課程一教學(xué)\"思維范式，使得教學(xué)設(shè)計的關(guān)注點從應(yīng)然的“教師應(yīng)該教什么\"轉(zhuǎn)向?qū)嵢坏腬"學(xué)生能夠?qū)W會什么”[4]

基于這一理念，微專題教學(xué)的設(shè)計應(yīng)從學(xué)生的學(xué)習(xí)需求出發(fā)，合理規(guī)劃學(xué)生“如何學(xué)會”的過程.因此，本文以“圓錐曲線中動弦中點軌跡方程\"為主題，以“幫助學(xué)生掌握解決這類問題的兩種普適性解法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”為核心目標(biāo)，以“符合核心目標(biāo)的學(xué)習(xí)評價系統(tǒng)”為診斷依據(jù)，開展教學(xué)實踐活動.通過“學(xué)和教”“學(xué)和評”“教和評”三者的有機(jī)一致性，幫助學(xué)生實現(xiàn)有效學(xué)習(xí).

4教學(xué)實踐

4.1確定核心目標(biāo)

以“圓錐曲線中動弦中點軌跡方程”為主題的數(shù)學(xué)探究活動，旨在幫助學(xué)生掌握解決這類問題的兩種普適性解法.因此，本節(jié)課將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為出發(fā)點，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，對所要達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行水平層次劃分（見表1），為后續(xù)微專題教學(xué)活動和教學(xué)評價提供理論依據(jù)

4.2開發(fā)符合核心目標(biāo)的評價系統(tǒng)

基于“教一學(xué)—評”一致性理論的微專題教學(xué)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為課堂主體，所有教學(xué)活動都應(yīng)圍繞學(xué)生“怎么學(xué)”和\"學(xué)到什么”展開.為判斷學(xué)生是否達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，根據(jù)核心目標(biāo)設(shè)計了學(xué)習(xí)評價框架（如圖1），并將其應(yīng)用于整個微專題教學(xué)過程中.

4.3教學(xué)過程

4.3.1環(huán)節(jié)一

前測題已知過點 P（3，2） 的直線與圓 C_：x²+ y²+2y-3=0 交于點 A，B ，求弦 AB 中點 M 的軌跡方程.

解法一：利用垂直向量的數(shù)量積為0，即利用 求解.

解法二：利用垂直直線的斜率乘積為一1，即利用 k_CM?k_PM=-1 求解

解法三：利用勾股定理，即利用 |CM|²+|PM|²= |CP|² 求解.

解法四：由幾何條件 CM⊥PM 得到點 M 的軌跡是以 PC 為直徑的一個圓，從而求得點 M 的軌跡方程.

【設(shè)計意圖】動點軌跡問題的微專題教學(xué)一般放在直線和圓的方程以及圓錐曲線學(xué)習(xí)之后，此時學(xué)生對于軌跡方程已經(jīng)有了豐富的理性與感性認(rèn)識，對于從已知條件中提取出幾何要素，建立軌跡方程并不陌生，因此通過前測題回顧了動點軌跡方程的相關(guān)知識，為后續(xù)問題的解決起到先行組織者的作用.環(huán)節(jié)一的評價框架見表2.

4.3.2 環(huán)節(jié)二

探究題已知過點 P（4，0） 的直線與橢圓 y²=1 交于點 ^A，B ，求弦 _AB 中點 M 的軌跡方程.

問題1探究題與前測題有什么區(qū)別？

生：題目中的條件從圓變成了橢圓.

問題2探究題還能利用前測題的解法進(jìn)行求解嗎？為什么？

生：不能，因為上面提到的幾種解法都是從圓的特殊條件入手得到的，在橢圓中顯然不適用.

教師引導(dǎo)：動點 M（x，y） 滿足的幾何條件不易表達(dá)，但我們知道動點 M（x，y） 是隨著直線斜率的變化而有規(guī)律的運動，因此我們可以嘗試通過假設(shè)直線AB的方程表示出 x 與 的關(guān)系，整理得到動點 M 的軌跡方程.

解法一：當(dāng) k 存在時，設(shè)過點 P（4，0） 的直線為 y=k（x-4） 聯(lián)立方程 消去 ，整理得到（4k²+1）x²-32k²x+64k²-4=0.

設(shè)弦的兩個端點分別為 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 中點 ，則 中

代人 y=k（x-4） ，得到 y²=k²（x-4）²= ，即 （x-2）²+4y²=4

又因為過點 P（4，0） 的直線與橢圓相交，所以Δ=16（-12k²+1）gt;0 ，解得 ，即 0? 2，解得0xlt;1.

當(dāng) k 不存在時，不符合題意，故舍去

綜上，所求的弦中點 M 的軌跡方程是 （x- 2）²+4y²=4（0?xlt;1）

總結(jié)：利用消參法解決問題時，聯(lián)立橢圓方程與直線方程，并消去 ，得到關(guān)于 x 的方程，然后借助韋達(dá)定理求解有關(guān)數(shù)據(jù)

教師引導(dǎo)：在解決圓錐曲線中有關(guān)弦中點問題時，我們常常會想到點差法，假設(shè)兩個端點 _y1），B（x₂，y₂） 的坐標(biāo)，再代入圓錐曲線方程中，作差得到動點 M 的軌跡方程

解法二：設(shè)動點 M（x，y） ，弦的兩個端點分別為 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 聯(lián)立方程 得 x₂²）+（y₁²-y₂²）=0 ，即 （y₁+y₂）（y₁-y₂）=0 ，所以 （20 ，所以 因為點M（x，y） 是弦 _AB 的中點，所以 x₁+x₂=2x，y₁+ y₂=2y

點 M（x，y） 和點 P（4，0） 都在直線 AB 上，所以 4=0，得到（x-2）2+4y²=4.

x 范圍的求解過程同解法一.

綜上，點 M 的軌跡方程是 （x-2）²+4y²=4 中 （0?xlt;1） ·

總結(jié)：點差法的精髓在于設(shè)而不求，通過將弦兩端點 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 代入橢圓方程，借助作差得到動點軌跡方程.點差法相較于消參法而言，計算量小但難以求出參數(shù)范圍.因此，運用點差法求解動點軌跡方程需要結(jié)合消參法得到參數(shù)的范圍.

【設(shè)計意圖】在這一環(huán)節(jié)中，教師授課過程聚焦于講授圓錐曲線動弦中點軌跡問題的兩種常見解題方法，使學(xué)生獲得對動弦中點軌跡問題的結(jié)構(gòu)性理解.環(huán)節(jié)二的評價框架見表3.

4.3.3 環(huán)節(jié)三

問題3請仿照前測題和探究題，從條件入手嘗試設(shè)計一道新題目作為課后作業(yè).

教師引導(dǎo)：前測題和探究題為學(xué)生的改編提供了一個明確的方向，即改變條件中圓錐曲線的類型.

變式1已知過點 P（3，1） 的直線與雙曲線 c 交于點 A，B ，求弦 _AB 中點 M 的軌跡 方程.

變式2已知過點 P（-2，0） 的直線與拋物線 C：y²=4x 交于點 A，B ，求弦 _AB 中點 M 的軌跡 方程.

問題4能否整理出三種圓錐曲線動弦中點軌跡問題的一般性結(jié)論.

問題5在這個過程中你體會到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

師生活動：學(xué)生凝練兩種解題方法的特點，歸納出所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生在圓錐曲線動弦中點軌跡問題的知識體系下進(jìn)行“再創(chuàng)造”，積極參與學(xué)習(xí)過程，建立圓錐曲線動弦中點軌跡問題的知識框架.緊扣教學(xué)主題，推動知識遷移，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的進(jìn)一步提升.各環(huán)節(jié)的評價框架見表4.

5結(jié)語

本文以“教一學(xué)一評”一致性理論為指導(dǎo)，結(jié)合“圓錐曲線中動弦中點軌跡方程”這一主題，開展了高中數(shù)學(xué)微專題教學(xué)的實踐研究.基于核心素養(yǎng)的目標(biāo)要求，設(shè)計了適應(yīng)學(xué)生需求的教學(xué)活動和學(xué)習(xí)評價框架，幫助學(xué)生在掌握知識的同時發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

注重“教一學(xué)一評\"有機(jī)統(tǒng)一的微專題教學(xué)能夠有效聚焦學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，突破傳統(tǒng)教學(xué)中的瓶頸，真正實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).同時，通過對學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)成果的動態(tài)診斷，教師可以及時調(diào)整教學(xué)策略，更好地滿足不同層次學(xué)生的需求.

參考文獻(xiàn)

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