單元視角前后關(guān)聯(lián)整體建構(gòu)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》頒布后，整體把握教學(xué)內(nèi)容，由獨立知識點教學(xué)向單元教學(xué)轉(zhuǎn)化，成為擺在高中數(shù)學(xué)教師面前的一項重要課題.[近年來，單元教學(xué)成為數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究熱點，各地區(qū)學(xué)校也積極進(jìn)行實踐嘗試.單元教學(xué)是從單元整體出發(fā)，圍繞大情境設(shè)計大問題，完成大任務(wù)，是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑之一.[2]

1問題提出

“單元”主要從結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識、基本數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)（關(guān)鍵能力）培養(yǎng)三個層次進(jìn)行劃分.其中，以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識為依據(jù)進(jìn)行單元劃分最為常見3，教材中的章節(jié)就是天然的單元.具體到教學(xué)實踐中，教師教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)應(yīng)注重課程結(jié)構(gòu)特征，掌握整體單元設(shè)計邏輯，設(shè)計出科學(xué)合理、實用高效的教學(xué)方法.[4但由于缺乏協(xié)調(diào)單元教學(xué)與課時教學(xué)的策略和工具，教師從“課時教學(xué)\"走向“單元教學(xué)\"仍面臨困境.[5教師可以先從單元視角下某節(jié)課的教學(xué)設(shè)計出發(fā)，循序漸進(jìn)地積累經(jīng)驗，再嘗試單元教學(xué).具體地說，單元視角下的教學(xué)是以某一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容為中心向更大的單元進(jìn)行拓展，借助知識間的關(guān)聯(lián)，在更大的單元背景下重構(gòu)該節(jié)課的教學(xué)設(shè)計.

2單元教學(xué)解讀

單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維，強調(diào)從整體的高度思考研究對象，組建學(xué)習(xí)單元，并將單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成作為一個整體性的任務(wù).[6在進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計時，教師往往需要考慮單元內(nèi)各個部分之間的關(guān)聯(lián)（如圖1），必要時還需重組學(xué)習(xí)內(nèi)容.例如，“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用\"的單元教學(xué)可以劃分為整體感知、探究建構(gòu)、應(yīng)用遷移、重構(gòu)拓展四個環(huán)節(jié).其中，整體感知部分包括感知實際問題背景下的變化率、感知切線斜率與導(dǎo)數(shù)、初步感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系等.每個環(huán)節(jié)的設(shè)計都以感知為目的，這樣的設(shè)計能很好地體現(xiàn)單元結(jié)構(gòu).在實際教學(xué)中，多數(shù)教師更習(xí)慣從某一節(jié)的內(nèi)容著手設(shè)計.因此，如何幫助教師形成在單元視角下備課的行為和習(xí)慣，是單元教學(xué)落地的重要一步.

單元教學(xué)是聚焦某一節(jié)的數(shù)學(xué)知識，同時又充分滲透單元思想的一種教學(xué)方式.在確定教學(xué)內(nèi)容之后，教師需要將其置于更大的單元背景下思考，尋找本節(jié)內(nèi)容與前后章節(jié)之間的關(guān)聯(lián)，梳理知識之間的邏輯關(guān)系，完成本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計（如圖2）.與一般教學(xué)設(shè)計相比，單元視角下的教學(xué)設(shè)計主體為某一節(jié)的內(nèi)容，關(guān)注點更集中，也更易于教師嘗試并堅持開展.

3單元視角的逐層外擴(kuò)

聚焦某一節(jié)的內(nèi)容后，從結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識視角出發(fā)進(jìn)行分析，發(fā)掘知識學(xué)習(xí)背后的數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)培養(yǎng)主線.以人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》中的“函數(shù)的極值”為例，本節(jié)內(nèi)容位于小單元“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用\"和大單元“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用\"中（如圖3）.從小單元視角進(jìn)行分析，前一節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”可以用于描述極值與極值點的特征、性質(zhì)，為后續(xù)作鋪墊；后一節(jié)“函數(shù)的最大（?。┲怠睘楹瘮?shù)的整體性質(zhì)，極值為與“最值”有關(guān)的局部性質(zhì)，即極值到最值為函數(shù)性質(zhì)從局部到整體的銜接與過渡（如圖4）.從大單元視角分析，極值與切線的斜率存在著不可分割的關(guān)系（如圖5）.

4單元視角下的教學(xué)設(shè)計

4.1問題情境

思考1在之前的課程中，我們都學(xué)習(xí)過函數(shù)的哪些基本性質(zhì)？在這些性質(zhì)中，哪些是函數(shù)的局部性質(zhì)？哪些是整體性質(zhì)？

思考2請結(jié)合“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系”的研究過程，談一談接下來應(yīng)該研究什么．

【設(shè)計意圖】在“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用\"這一小單元的知識體系中，函數(shù)的單調(diào)性、最值與極值是極為關(guān)鍵的概念，它們從不同維度刻畫了函數(shù)的性質(zhì)，彼此之間存在著緊密且微妙的聯(lián)系.單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，最值為函數(shù)的整體性質(zhì)，而極值則是與最值相關(guān)的局部性質(zhì)，是局部向整體過渡的橋梁.教師通過回顧已學(xué)過的基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行局部與整體的分類；通過局部與整體的對比，自然引出極值這一中間名詞，為后續(xù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值等內(nèi)容奠定堅實的基礎(chǔ)

4.2學(xué)生活動

實際操作：根據(jù)圖6抽象出一幅函數(shù)圖象.

問題1回憶導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并用其描述圖7中所標(biāo)注的點的特點.

【設(shè)計意圖】在教學(xué)過程中，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)學(xué)生的需要與數(shù)學(xué)現(xiàn)實創(chuàng)設(shè)情境，也就是所謂的真情境.[因此，該活動的設(shè)計采取了山峰這一現(xiàn)實場景，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生的抽象能力.另外，復(fù)習(xí)導(dǎo)人利用學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，搭建新舊知識的橋梁，幫助學(xué)生接受新的信息，是單元視角的一種體現(xiàn).該活動的設(shè)計是從“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”這一單元視角進(jìn)行考慮，“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系”與極值定義、性質(zhì)等相關(guān)知識息息相關(guān).此活動可以幫助學(xué)生鞏固舊知識，為后續(xù)極值教學(xué)作鋪墊.

4.3數(shù)學(xué)建構(gòu)

4.3.1極值定義的獲取

問題2你能描述出圖7中函數(shù)在 P₁，P₂，P₃ 、P₄ 這些位置的共同點嗎？

問題3你能用符號語言描述“ P₁ 為其附近的最高點”嗎？

首先，教師讓學(xué)生以小組的形式觀察圖7中的函數(shù)圖象，討論問題2.其次，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行問題3的追問，引導(dǎo)學(xué)生用符號語言給出極大值的定義，對于極小值的定義也可以進(jìn)行類似的教學(xué).最后，教師給出極值、極值點的標(biāo)準(zhǔn)定義及其符號語言（如圖8）.

【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)從“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用\"這一單元視角進(jìn)行考慮.問題2是通過單調(diào)性的相關(guān)知識幫助學(xué)生利用已知描述未知；問題3中所提及的局部特征“附近的最高點”可以為最大值的教學(xué)作鋪墊.這種從局部到整體的變化體現(xiàn)，貫穿整個單元的知識體系，凸顯了“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用\"這一單元的整體性與連貫性，幫助學(xué)生構(gòu)建起一個完整且系統(tǒng)的函數(shù)性質(zhì)研究框架，

4.3.2利用導(dǎo)數(shù)求極值步驟的探索

問題4思考在 P₁，P₂，P₃，P₄ 這些點及其附近的導(dǎo)數(shù)（切線斜率）有何共同特征？ P_6?P_7?P₈ 及其附近呢？

問題5函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)有著怎樣的關(guān)系？如何用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值呢？

【設(shè)計意圖】從大單元“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用\"的視角來看，導(dǎo)數(shù)（切線斜率）對于極值尤為重要.例如，函數(shù)在極值點附近的導(dǎo)數(shù)（切線斜率）是極值性質(zhì)的一種體現(xiàn).教師結(jié)合圖7，先讓學(xué)生將極值與導(dǎo)數(shù)這一概念進(jìn)行聯(lián)系，加深他們對極值含義的理解，并幫助其進(jìn)行導(dǎo)數(shù)大單元知識系統(tǒng)的構(gòu)建；然后，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，用自己的語言總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)求極值的步驟

4.4數(shù)學(xué)應(yīng)用

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容可知，還有知識點“取得極值的充分條件、必要條件”未被涉及，本文選擇將其放置在數(shù)學(xué)應(yīng)用的環(huán)節(jié)講授.常規(guī)的例1講解完成后，先讓學(xué)生完成例2、例3，并思考兩個與 f^′（x₀）=0 相關(guān)的問題（問題6、問題7），進(jìn)而討論這三個題目之間的關(guān)聯(lián)（見表1），最后總結(jié)相關(guān)知識點.

例1請求出函數(shù) x2-4x的極值.

例2請求出函數(shù) f（x）=x³ 的極值.

例3請求出函數(shù) f（x）=|x| 的極值.

問題6如果 f^′（x₀）=0 ，則 f（x） 在 x=x₀ 處一定有極值嗎？

問題7如果 f（x） 在 x=x₀ 處取得極值，則一定有 f^′（x₀）=0 嗎？

綜合可得，極值與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系： 在 x= x₀ 處為0 f'（x）在 x=x₀ 附近兩側(cè)正負(fù)不同 f（x） 在在 x=x₀ 處可導(dǎo)x=x₀ 處取得極值.

【設(shè)計意圖】先利用常規(guī)例題，讓學(xué)生通過一個完整的解題過程加深對利用導(dǎo)數(shù)求極值步驟的印象；然后，給出兩個特殊例題，讓學(xué)生結(jié)合兩個相對應(yīng)的問題進(jìn)行思考，幫助學(xué)生從正、反兩個方面認(rèn)識4 f^′（x₀）=0^3′ 與“ f（x） 在 x=x₀ 處取得極值\"之間的復(fù)雜關(guān)系，從而更加準(zhǔn)確地把握導(dǎo)數(shù)與極值這兩個重要概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，

4.5 回顧反思

在“函數(shù)的極值\"講授課的總結(jié)環(huán)節(jié)，本文選擇從“導(dǎo)數(shù)\"這一大單元整體視角出發(fā)，以割線與平均變化率為起點建立留白板書，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行填空、討論，回答以下問題

問題8請觀察板書并進(jìn)行完善（如圖9），總結(jié)本節(jié)課涉及了哪些數(shù)學(xué)思想.

【設(shè)計意圖】通過留白板書，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元所學(xué)習(xí)過的知識點，建立知識之間的關(guān)系，幫助學(xué)生從單元的視角看待本節(jié)課.另外，通過問題的討論，可以將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想滲透于教學(xué)過程中，使學(xué)生更加深刻地理解這一數(shù)學(xué)思想，

4.6作業(yè)布置

必做題人教A版《普遍高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》P92練習(xí)題.

選做題預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容并思考極值與最值之間的關(guān)系，以及如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.

【設(shè)計意圖必做部分旨在通過必做題的訓(xùn)練，幫助學(xué)生精準(zhǔn)把握極值概念的本質(zhì)內(nèi)涵，深入理解函數(shù)在某點取得極值的條件與特征.選做部分以本節(jié)課所學(xué)的極值知識為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在鞏固現(xiàn)有知識的同時，自然地向后續(xù)課程的知識內(nèi)容進(jìn)行延伸與探索，幫助學(xué)生在潛意識里構(gòu)建起知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從單元整體視角去思考問題、理解知識體系的能力，為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ).

5結(jié)語

單元教學(xué)是指以數(shù)學(xué)知識的某一核心特征為主線，對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)整合與重組，形成邏輯連貫的教學(xué)單元，并基于該單元整體進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.在教學(xué)設(shè)計過程中，教師的關(guān)注點是整個單元，需要思考單元內(nèi)每一部分與其他部分之間的關(guān)聯(lián)，對整個單元的教學(xué)活動進(jìn)行設(shè)計

單元視角下的教學(xué)設(shè)計需要先確定某一章節(jié)為教學(xué)內(nèi)容，然后再選擇不同的單元視角進(jìn)行觀察，思考此章節(jié)與其他章節(jié)之間的關(guān)聯(lián)，需要教師從單元層面出發(fā)，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，對高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行梳理，準(zhǔn)確把握章節(jié)前后聯(lián)系，緊扣單元主題，設(shè)計恰當(dāng)?shù)恼n堂環(huán)節(jié)、適當(dāng)?shù)膯栴}以及習(xí)題等，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識間的聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)知識體系.例如，活動“極值定義的獲取”就是從“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”小單元視角進(jìn)行分析，將前后章節(jié)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大（?。┲蹬c極值進(jìn)行關(guān)聯(lián)；活動“利用導(dǎo)數(shù)求極值步驟的探索\"從大單元“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用\"的視角進(jìn)行分析，將導(dǎo)數(shù)（切線斜率）與極值進(jìn)行關(guān)聯(lián).

單元視角下的教學(xué)是教師從“課時教學(xué)”走向“單元教學(xué)”的過渡階段.以某節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容為教學(xué)設(shè)計主體，設(shè)計過程較為簡單，易于教師在每日的教學(xué)中滲透單元思想.隨著單元視角的逐層外擴(kuò)，教師在更大單元范圍內(nèi)整合知識的能力和系統(tǒng)設(shè)計的能力也將逐步提升，使得單元教學(xué)的設(shè)計和實施成為可能，進(jìn)而變得自然.

參考文獻(xiàn)

[1]顧乃春.單元整體視角下高中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)設(shè)計新探—以“直線的傾斜角與斜率”為例[J].天津師范大學(xué)學(xué)報（基礎(chǔ)教育版），2023（3）：31-35.

[2]王若，張來，祝維男.基于大單元視角的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計初探——以“對數(shù)函數(shù)（第一課時）”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（21）：22—23.

[3]曹一鳴，孫彬博，蘇明宇，等.促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計—以“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”為例[J].基礎(chǔ)教育課程，2023（6）：34-43.

[4]莫吉秀.高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計研究—以“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”單元教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)之友，2024（17）：40-42.

[5]王磊，陳建明，楊博諦，等.回顧與啟示：近四十年中國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)單元教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2023（4）：21-27.

[6]章飛，顧繼玲.單元教學(xué)的核心思想與基本路徑[J].數(shù)學(xué)通報，2019（10）：23-28.

[7]曹廣福，張蜀青.論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評價的核心要素—以高中導(dǎo)數(shù)概念課為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（4）：17-20.