大概念視野下數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵要義及操作路徑

大概念（BigIdeas）又稱大觀念.從數(shù)學(xué)學(xué)科角度來看，Charles認(rèn)為，一個(gè)大概念是對某個(gè)概念的陳述，這個(gè)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心，可以把各種數(shù)學(xué)理解聯(lián)結(jié)為一個(gè)連貫整體.1近年來，國際數(shù)學(xué)教育研究強(qiáng)調(diào)通過大概念整合學(xué)科內(nèi)容，以應(yīng)對“碎片化學(xué)習(xí)”的挑戰(zhàn).借助大概念，學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)對知識的深層理解，促進(jìn)知識的有效吸收與遷移，推動學(xué)習(xí)從淺層向深層轉(zhuǎn)變.與傳統(tǒng)教學(xué)不同，大概念教學(xué)追求認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化，使之成為一種反映專家思維的自然知識，在新的情境中可以被激活和運(yùn)用.轉(zhuǎn)化思想的一個(gè)基本特征便是化未知為已知，通過知識的類比遷移來解決問題，因此轉(zhuǎn)化思想屬于大概念范疇.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》著重強(qiáng)調(diào)了課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，要求引導(dǎo)學(xué)生體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法.轉(zhuǎn)化思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，能將復(fù)雜信息簡單化，串聯(lián)起學(xué)科內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)知識與方法的遷移，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的推理意識，提高學(xué)生解決問題的能力.合理運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，推動大概念教學(xué)的有效實(shí)施.

1數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵要義：大概念的映射與延伸

轉(zhuǎn)化思想在狹義上也被稱作化歸思想.張奠宙教授認(rèn)為，轉(zhuǎn)化思想具體表現(xiàn)為頭腦將不能解決的問題與之前解決過的問題建立聯(lián)系，將新舊問題進(jìn)行重組和轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決新問題.[3轉(zhuǎn)化思想通過聯(lián)結(jié)新舊知識節(jié)點(diǎn)，構(gòu)建層次化知識網(wǎng)絡(luò)，契合大概念倡導(dǎo)的“整體性\"特征.荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾（H.

Freudenthal）認(rèn)為數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化不僅僅是形式上的變換，更是一種思維過程，涉及從具體到抽象的轉(zhuǎn)化以及從一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)到另一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的映射.因此，在大概念視野下，可將轉(zhuǎn)化思想理解為一種解決問題的方法，當(dāng)遇到新的或難以解決的數(shù)學(xué)問題時(shí)，找到新舊知識之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，運(yùn)用已有的知識和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將現(xiàn)有問題轉(zhuǎn)化成自己能夠解決的問題，通過轉(zhuǎn)化來縮小新舊問題之間的差距，進(jìn)而使新問題得到解決

《數(shù)學(xué)化歸思維論》一書將轉(zhuǎn)化原則詳細(xì)分為“熟悉化”“模型化”“簡單化”“具體化”“特殊化”“二般化\"六個(gè)原則.[4這六大原則共同支撐大概念所倡導(dǎo)的\"知識聯(lián)結(jié)”與“思維進(jìn)階”理念，使得轉(zhuǎn)化思想成為貫通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心脈絡(luò).數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的基本特征主要包括化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化抽象為具體.轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用思路是將復(fù)雜問題簡單化，把難以處理的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題.基于轉(zhuǎn)化思想的六大原則，依據(jù)其基本特征，選擇合適的轉(zhuǎn)化方法來解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是連接數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁，實(shí)現(xiàn)了內(nèi)容、過程和價(jià)值的融合，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想解決問題，有助于學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識體系，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)與思考.澳大利亞教育心理學(xué)家斯瓦勒（J.Sweller）提出轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)在于通過認(rèn)知重構(gòu)，將高認(rèn)知負(fù)荷問題（抽象、復(fù)雜）轉(zhuǎn)化為低認(rèn)知負(fù)荷問題（具體、簡單）.[5例如，在\"分?jǐn)?shù)加法\"問題中，學(xué)生通過圖形表征將抽象符號轉(zhuǎn)化為直觀面積模型，以降低工作記憶負(fù)荷，

2數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的操作路徑：大概念導(dǎo)向的教學(xué)實(shí)踐

基于大概念的“整合性”“遷移性”與“結(jié)構(gòu)性”，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系，分別從分解組合、類比遷移、形形等價(jià)、數(shù)形結(jié)合四個(gè)方面具體闡述數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的操作路徑.

2.1分解組合：結(jié)構(gòu)化認(rèn)知的階梯式建構(gòu)

分解組合是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要途徑.分解，是指將一個(gè)復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)較為簡單或熟悉的小問題，依據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，分解策略通過分步解決子問題，避免工作記憶超載.[有時(shí)，僅靠分解并不能完全解決問題，還需要將分解后的小問題進(jìn)行重新組裝，從而使原問題得到解決.[7]

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的\"數(shù)的運(yùn)算”板塊中，蘊(yùn)含著豐富的轉(zhuǎn)化思想.“數(shù)的運(yùn)算”作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，貫穿小學(xué)一年級到六年級，整體性強(qiáng)，知識點(diǎn)之間的連貫性緊密.教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的算法，更要以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生理解算理，挖掘并提煉其中的轉(zhuǎn)化思想.

在四則運(yùn)算中，乘法是累加的過程，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，所以減法和乘法都可以轉(zhuǎn)化為加法，除法可以轉(zhuǎn)化為乘法.加減法的基礎(chǔ)是湊十法和破十法，掌握了進(jìn)退位加減法的算理，無論多大的數(shù)都能根據(jù)數(shù)位規(guī)則，轉(zhuǎn)化、分解成無數(shù)個(gè)20以內(nèi)的加減法，再將答案進(jìn)行組合得出最終結(jié)果.乘除法的基礎(chǔ)是表內(nèi)乘除口訣，掌握表內(nèi)乘除法之后，類比多位數(shù)加減法，可將多位數(shù)乘一位數(shù)分解為整百乘一位數(shù)、整十乘一位數(shù)與個(gè)位數(shù)乘一位數(shù)的和，多位數(shù)乘兩位數(shù)也可轉(zhuǎn)化為多位數(shù)乘一位數(shù).因此多位數(shù)的加減乘除都可以根據(jù)數(shù)位分解為一位數(shù)的加減乘除.

分解組合策略通過將整體問題分解為部分問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想中化繁為簡、化難為易、化未知為已知的核心特征.無論數(shù)多大，只要抓住運(yùn)算基本算理這一本質(zhì)，就能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜問題簡單化，分解問題逐個(gè)擊破，

教師在教學(xué)過程中，要不斷回顧之前簡單問題的解決方法，引導(dǎo)學(xué)生思考如何拆解問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，思考知識的遷移，從而解決問題.低年級學(xué)生重在感悟轉(zhuǎn)化思想，高年級學(xué)生則需要真正領(lǐng)悟并運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)行總結(jié)與概括.例如，高年級學(xué)生在教師和教材的提示下，主動運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決多位數(shù)乘除問題.

2.2類比遷移：跨數(shù)系的專家思維培養(yǎng)

類比是通過對兩個(gè)研究對象的比較，根據(jù)它們某些方面的相同或相似之處，推測它們在其他方面也可能相同或類似的一種推理方法.在數(shù)學(xué)新知識學(xué)習(xí)中，適時(shí)運(yùn)用類比進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，有助于學(xué)生理解新知識、鞏固舊知識.

數(shù)與代數(shù)中“數(shù)的認(rèn)識\"領(lǐng)域蘊(yùn)含著豐富的轉(zhuǎn)化思想.小學(xué)階段先學(xué)習(xí)了整數(shù)，接著學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)，最后學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù).不同數(shù)之間可以進(jìn)行類比轉(zhuǎn)化.學(xué)生借助轉(zhuǎn)化思想能夠不斷構(gòu)建新的概念.

在分?jǐn)?shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，教材更注重從生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的符號表達(dá)過渡，側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生理解這兩種數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的具體含義，但在一定程度上弱化了它們在數(shù)系概念中的抽象意義.由于學(xué)生在不同年齡段的認(rèn)知水平存在差異，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)都經(jīng)歷了初步認(rèn)識與再認(rèn)識階段.在數(shù)的初步認(rèn)識中，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)分別抽象出小數(shù)與分?jǐn)?shù)；在數(shù)的再認(rèn)識中，學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的單位以及數(shù)的意義，實(shí)現(xiàn)了從符號到數(shù)學(xué)抽象表達(dá)的轉(zhuǎn)化

雖然從生活情境抽象出數(shù)的教學(xué)方式便于學(xué)生理解，但這也導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)的本質(zhì)理解不足，不利于學(xué)生建立知識框架進(jìn)行知識遷移.整數(shù)和小數(shù)都是十進(jìn)制，有相似的計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)也有分?jǐn)?shù)單位，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從單位的角度理解數(shù)系，對不同的數(shù)進(jìn)行類比遷移，建立與運(yùn)算系統(tǒng)的聯(lián)系，將整數(shù)學(xué)習(xí)的知識和經(jīng)驗(yàn)遷移到小數(shù)與分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中.

在學(xué)習(xí)小數(shù)單位時(shí)，教師還可以進(jìn)一步類比時(shí)間單位、長度單位、面積單位等非十進(jìn)制的單位，讓學(xué)生獲得更豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提煉小數(shù)的抽象意義與本質(zhì)特征，加深對小數(shù)概念的理解.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義與分?jǐn)?shù)單位時(shí)，便能夠進(jìn)行知識的類比遷移，體會分?jǐn)?shù)作為數(shù)的意義.

從單位的角度認(rèn)識數(shù)系，體會數(shù)的一致性之后，學(xué)生便可進(jìn)一步體會運(yùn)算的一致性，將整數(shù)的運(yùn)算類比遷移到小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算.以加法為例，整數(shù)加法是 12+23=（10+20）+（2+3）=35 ，類比到小數(shù)加法是 2.4+4.6=（2+4）+（0.4+0.6）=7. 類比到分?jǐn)?shù)加法是 .整數(shù)加法的本質(zhì)是幾個(gè)計(jì)數(shù)單位相加，小數(shù)和分?jǐn)?shù)加法亦是如此.因此，學(xué)生掌握整數(shù)運(yùn)算的算理，就能類比遷移到小數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中.

除了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的類比遷移外，比、除法、分?jǐn)?shù)三者也可進(jìn)行類比遷移與比較.因此，教師在低年級的教學(xué)中應(yīng)不斷鋪墊數(shù)系的相似性，著重強(qiáng)調(diào)單位的意義，讓學(xué)生形成初步的感知，以便在后續(xù)學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)時(shí)，學(xué)生能夠自主進(jìn)行類比遷移.

2.3形形等價(jià)：空間推理能力的可視化訓(xùn)練

形形等價(jià)是指借助圖形之間的不變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，主要有易曲為直、割補(bǔ)倍拼以及旋轉(zhuǎn)平移等方法.易曲為直有助于強(qiáng)化立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，割補(bǔ)倍拼的轉(zhuǎn)化思想能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)不同圖形面積的轉(zhuǎn)化遷移.圖形轉(zhuǎn)化激活頂葉皮層空間網(wǎng)絡(luò)，提升幾何推理能力.[9]

在學(xué)生學(xué)習(xí)長方形的面積計(jì)算公式之后，教材依次安排平行四邊形、三角形、梯形面積的學(xué)習(xí)內(nèi)容，緊密圍繞“等價(jià)轉(zhuǎn)化一公式推導(dǎo)一實(shí)踐應(yīng)用”這一流程展開.在探究平行四邊形面積時(shí)，利用割補(bǔ)平移法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，類比長方形面積公式實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；在探究三角形和梯形面積時(shí)，利用倍拼法將它們轉(zhuǎn)化為平行四邊形，其中三角形面積轉(zhuǎn)化是等積轉(zhuǎn)化，梯形面積轉(zhuǎn)化是非等積轉(zhuǎn)化.教師需引導(dǎo)學(xué)生通過對比轉(zhuǎn)化前后的數(shù)學(xué)關(guān)系，主動參與轉(zhuǎn)化過程，從而理解轉(zhuǎn)化思想與數(shù)學(xué)知識之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián).

易曲為直在圓的相關(guān)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)明顯.學(xué)習(xí)圓的周長時(shí)，將圓的周長轉(zhuǎn)化為直線來測量；求圓柱體的側(cè)面積時(shí)，把圓柱側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為長方形，將不易計(jì)算、測量的曲線形圖形轉(zhuǎn)化為直線型圖形.

在實(shí)際教學(xué)中，教師可讓學(xué)生準(zhǔn)備圓形紙片，通過滾動法或繞線法測量圓的周長.滾動法是讓圓形紙片在直尺上滾動一周，測量滾動距離；繞線法是用線繞圓一周后測量線的長度.求圓柱側(cè)面積時(shí)，教師可讓學(xué)生動手剪開圓柱側(cè)面，觀察展開后的長方形與圓柱各部分的關(guān)系，即長方形的長等于圓柱底面的周長，長方形的寬等于圓柱的高，進(jìn)而得出圓柱側(cè)面積 底面周長 × 高

教師在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生動手操作、積極探索，讓學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)展邏輯推理能力、問題解決能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.4數(shù)形結(jié)合：多模態(tài)表征的協(xié)同效應(yīng)

數(shù)形結(jié)合是將數(shù)與形結(jié)合起來解決問題，能使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題直觀化，“視覺一符號\"雙通道編碼可加速抽象概念理解.[10]若圖形中隱含數(shù)的規(guī)律，便可將數(shù)融于形，用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題；若數(shù)中蘊(yùn)含圖形的解法，可借助圖形直觀解釋抽象的數(shù)學(xué)原理和事實(shí).小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的抽象水平有限，經(jīng)常需要借助直觀圖形來輔助理解，如借助數(shù)軸理解分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)，利用長方形模型解釋分?jǐn)?shù)乘法的原理，利用面積模型解釋乘法分配律、雞兔同籠問題與完全平方公式等，

數(shù)系中的所有數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，借助數(shù)軸，不僅能表示數(shù)，還可以直觀進(jìn)行數(shù)的比較，理解等值分?jǐn)?shù)等.因此，在學(xué)生認(rèn)識不同的數(shù)時(shí)，教師一方面可以借助各種圖形幫助學(xué)生直觀理解數(shù)，另一方面也可以借助數(shù)軸表示數(shù).除此之外，教師還可以利用編程工具設(shè)計(jì)“數(shù)形轉(zhuǎn)換\"互動游戲，讓學(xué)生通過拖動圖形驗(yàn)證代數(shù)公式，實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)”.

雞兔同籠問題可通過構(gòu)造面積模型來解決.題目如下：籠子里有若干只雞和兔.從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳.雞和兔各有幾只？其面積模型如圖1所示.

AB=35 表示一共35個(gè)頭， BC=2 表示雞有兩只腳， BE=4 表示兔有4只腳， " K "H = 9 4 表示一共94只腳，問雞、兔各幾只，即問 AG，BG 各為多少.

本題巧妙地將腳的只數(shù)轉(zhuǎn)化為長方形的面積，延長 DH 交 BE 于點(diǎn) C ，便可先得到 BG 的長度，進(jìn)而得出兔和雞的只數(shù).面積模型數(shù)是假設(shè)法的延展，假設(shè) S_kHHABCD 代表的全是雞，則 S_kπππCEFH 表示少的24只腳.

在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考從實(shí)際問題到圖形構(gòu)建再到數(shù)學(xué)計(jì)算的思維流程.首先，根據(jù)雞、兔的頭數(shù)確定長方形的一條邊（AB）的長度，根據(jù)雞、兔的腳數(shù)確定長方形另一條邊（BC和BE）的長度；然后，通過面積的計(jì)算 （204號 = 9 4" 來求解雞、兔的數(shù)量.在這個(gè)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象概括能力.

數(shù)與形在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化.[11教師在日常教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)公式與具體的圖形解釋緊密聯(lián)合.數(shù)形結(jié)合思想作為重要的解題思想，需要滲透在學(xué)生的做題思路里，不能單單在某一單元使用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，而應(yīng)該在任何條件下鼓勵(lì)學(xué)生多畫圖、多思考，產(chǎn)生思維的碰撞，讓學(xué)生真正體會數(shù)形結(jié)合的便捷，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化思想的魅力.

3結(jié)語

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想與大概念的深度融合，要求教師以“結(jié)構(gòu)化課程設(shè)計(jì)\"替代“碎片化教學(xué)\"模式，實(shí)現(xiàn)知識體系的系統(tǒng)性整合.具體而言，在課程設(shè)計(jì)層面，應(yīng)以轉(zhuǎn)化思想為線索，整合單元內(nèi)容；在教學(xué)策略層面，需通過問題鏈、類比任務(wù)、多模態(tài)表征等方式，使轉(zhuǎn)化過程顯性化；在評價(jià)導(dǎo)向?qū)用?，?yīng)關(guān)注學(xué)生在陌生情境中能否自主調(diào)用轉(zhuǎn)化策略，而非機(jī)械套用公式.

未來研究可進(jìn)一步探索轉(zhuǎn)化思想與其他大概念（函數(shù)思想、模型思想）的協(xié)同機(jī)制，以及其在跨學(xué)科學(xué)習(xí)中的遷移價(jià)值.唯有以轉(zhuǎn)化思想為紐帶，方能助力學(xué)生織就“數(shù)學(xué)知識之網(wǎng)”，實(shí)現(xiàn)從知識積累到素養(yǎng)生成的根本性跨越，

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