大概念視角下初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)策略優(yōu)化研究

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A【文章編號】1002-3275（2025）03-60-04

一、大概念的概述

大概念是對知識的高度總結(jié)與抽象，是在學(xué)科教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解核心思想、構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)的重要載體。數(shù)學(xué)大概念強調(diào)知識的系統(tǒng)性和整體性，致力于引導(dǎo)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，形成邏輯清晰的認知體系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念被視為上位概念，通過提煉和建構(gòu)大概念，能夠統(tǒng)攝多個子概念，幫助學(xué)生把握知識的內(nèi)在聯(lián)系，促進學(xué)生對知識的理解和遷移。[]以大概念為引領(lǐng)，教師能夠在教學(xué)中更好地回應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，注重學(xué)生知識和能力的同步發(fā)展，從而提升學(xué)生解決實際問題的能力和數(shù)學(xué)思維水平。

本文從大概念引領(lǐng)初中函數(shù)單元教學(xué)的角度，通過提煉、解構(gòu)、形成、應(yīng)用大概念，優(yōu)化教學(xué)策略，幫助學(xué)生理解函數(shù)的核心思想，提升其數(shù)學(xué)思維能力和解題水平，最終實現(xiàn)知識的系統(tǒng)化和能力的提升。

二、大概念視角下初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)策略的優(yōu)化路徑

（一）研讀課程標準，提煉數(shù)學(xué)概念

函數(shù)單元的教學(xué)設(shè)計需要以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（本文簡稱課程標準）為依據(jù)，明確函數(shù)單元在初中數(shù)學(xué)知識體系中的定位。根據(jù)課程標準，模型觀念是核心素養(yǎng)的重要組成部分。而函數(shù)模型則是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中建立數(shù)量關(guān)系、理解變化規(guī)律的關(guān)鍵工具。教師應(yīng)當在教學(xué)設(shè)計中突出模型觀念的培養(yǎng)，將常量與變量、函數(shù)的定義、函數(shù)的表示方式、函數(shù)的初步應(yīng)用四個基礎(chǔ)知識作為核心概念，并結(jié)合實際學(xué)習(xí)情境進行系統(tǒng)整合。首先，教師應(yīng)明確常量與變量的教學(xué)重點。變量是函數(shù)概念的基礎(chǔ)，理解變量的變化性和常量的不變性是學(xué)生掌握函數(shù)核心思想的關(guān)鍵。其次，對于函數(shù)的定義的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)聚焦于幫助學(xué)生理解函數(shù)是描述變量之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。再次，對于函數(shù)的表示方式的教學(xué)設(shè)計，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解函數(shù)在數(shù)學(xué)中常用的表示方法，如解析法、列表法、圖象法。[2]最后，對于函數(shù)的初步應(yīng)用部分，要在實際問題中培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)解決問題的能力。教師應(yīng)通過設(shè)計貼近學(xué)生生活的問題情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中運用所學(xué)的函數(shù)知識進行建模分析。

（二）分析概念關(guān)系，確定教學(xué)目標

在提煉出函數(shù)單元中的核心概念后，教師應(yīng)將核心概念進行分解，轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠逐步學(xué)習(xí)和掌握的小概念或子概念，使教學(xué)內(nèi)容更加層次化、系統(tǒng)化，從而更好地服務(wù)于具體的教學(xué)目標設(shè)定。其中，常量與變量可以分解為兩個小概念：變量的變化性和常量的穩(wěn)定性。引導(dǎo)學(xué)生理解變量是指在某個過程中數(shù)值會發(fā)生變化的量，而常量則是數(shù)值固定不變的量。函數(shù)的定義可以轉(zhuǎn)化為三個子概念：自變量、因變量以及它們之間的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的表示方式可以進一步細分為解析法、列表法、圖象法。函數(shù)的初步應(yīng)用可以分解為兩個小概念：函數(shù)建模與問題解決?；诟髦R點間的邏輯聯(lián)系，可將教學(xué)目標制訂如下：

① 數(shù)學(xué)抽象：能夠從實際問題中抽象出常量與變量，理解它們的關(guān)系。 ② 邏輯推理：掌握自變量和因變量之間的唯一對應(yīng)關(guān)系，并能進行推理判斷。 ③ 數(shù)學(xué)建模：能夠根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)表示方式（解析法、列表法、圖象法）進行建模。 ④ 直觀想象：通過圖象理解函數(shù)的性質(zhì)，并能直觀地聯(lián)結(jié)函數(shù)與實際問題。 ⑤ 數(shù)學(xué)運算：能夠運用函數(shù)知識進行數(shù)學(xué)運算，解決實際問題。 ⑥ 數(shù)據(jù)分析：能夠從數(shù)據(jù)中提取規(guī)律，進行簡單的函數(shù)分析和應(yīng)用。

（三）基于教材內(nèi)容，形成教學(xué)結(jié)構(gòu)

基于教材內(nèi)容和學(xué)生的認知發(fā)展特點，教學(xué)設(shè)計應(yīng)遵循由易到難、由淺入深的原則，形成“常量與變量一函數(shù)的定義一函數(shù)的表示一函數(shù)的初步應(yīng)用”四個主題單元的教學(xué)結(jié)構(gòu)。

1.常量與變量的識別

在教學(xué)的第一階段，重點是幫助學(xué)生理解常量和變量的基本概念。此階段應(yīng)從生活中的具體實例入手，如描述汽車行駛速度（變量）與時間的關(guān)系、水位高度在一定時間內(nèi)的變化等，引導(dǎo)學(xué)生識別哪些量在變化，哪些量保持不變。教師可以通過簡單的數(shù)學(xué)表達式，如 s = v t （其中 s 為行駛路程， v 為速度， 為時間），解釋變量和常量在數(shù)學(xué)中的表示方式。

2.函數(shù)的定義與關(guān)系

在學(xué)生理解了常量與變量后，教學(xué)應(yīng)逐步過渡到函數(shù)的定義部分。此階段的核心是幫助學(xué)生認識函數(shù)自變量與因變量之間的對應(yīng)關(guān)系。通過具體實例，如票價隨購買人數(shù)變化的關(guān)系，可以定義函數(shù)的基本概念。例如可以用簡單的線性函數(shù) y = k x + b 表示票價與人數(shù)之間的關(guān)系，其中 x 是自變量（人數(shù)）， y 是因變量（票價），在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解二者的關(guān)系。

3.函數(shù)的表示方式

在明確函數(shù)的定義后，教學(xué)重點應(yīng)轉(zhuǎn)向函數(shù)的表示方式。教材中提到的解析法、列表法、圖象法是學(xué)生理解函數(shù)的重要工具。在教學(xué)中，教師可以先通過具體的函數(shù)解析式，如 y = 2 x + 1 ，幫助學(xué)生理解如何用數(shù)學(xué)表達式表示函數(shù)關(guān)系。隨后，引導(dǎo)學(xué)生將相同的函數(shù)關(guān)系用列表法表示，例如當 x 取值為1、2、3時， y 的對應(yīng)值分別為3、5、7。最后，引導(dǎo)學(xué)生將這些點繪制在平面直角坐標系中，形成直觀的函數(shù)圖象。

4．函數(shù)的初步應(yīng)用

最后，教學(xué)應(yīng)過渡到函數(shù)的圖象表示，讓學(xué)生通過在坐標系中繪制點，形成直觀的函數(shù)曲線。在單元教學(xué)的最后階段，教學(xué)活動應(yīng)聚焦于函數(shù)在實際問題中的初步應(yīng)用。此部分的重點是培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)知識解決生活中的簡單問題和一些科學(xué)問題，如商品價格與購買量的關(guān)系、物體自由下落時的速度隨時間變化的情況，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)的函數(shù)模型分析相關(guān)問題。例如當學(xué)習(xí)到自由下落的運動時，教師可以引入公式 （其中 h 為下落的高度， g 為重力加速度， 為時間），增強學(xué)生實際運用函數(shù)模型的意識。

（四）以任務(wù)為驅(qū)動，開展教學(xué)活動

基于上述教學(xué)結(jié)構(gòu)，教師可以設(shè)計任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)活動，以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的概念和進行實際應(yīng)用。

1.常量與變量：探究變化過程

在此階段，教師可以設(shè)計實際情境來啟發(fā)學(xué)生思考：設(shè)想一輛汽車在公路上行駛，且其行駛速度保持不變。為了幫助學(xué)生理解此情境，教師展示一張數(shù)據(jù)表格，列出汽車在不同時間點的行駛路程，如表1所示。

學(xué)生需要通過分析表格，找出哪些量是隨著時間變化而變化的，哪些量是保持不變的。在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考和討論：“為什么時間在增加？路程隨時間變化的過程中體現(xiàn)了什么規(guī)律？為什么汽車的速度保持不變？”學(xué)生通過討論和觀察，能夠逐步意識到時間是一個獨立的變量，其數(shù)值隨著時間的推移不斷變化；路程是依賴于時間變化的量，隨著時間的增加，路程也會隨之增加；速度在這個場景中保持不變，是一個常量。為了加深學(xué)生對常量與變量的理解，教師可以進一步引導(dǎo)學(xué)生思考假設(shè)情境：“如果在相同的時間內(nèi)，汽車的速度發(fā)生變化，路程會呈現(xiàn)怎樣的變化？”此時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生自主進行探究，通過計算每個時間點的路程變化量，探究其中的規(guī)律，即當速度保持不變時，路程與時間呈線性關(guān)系；而如果速度發(fā)生變化，則路程也會隨之改變。通過探究具體的實例和任務(wù)，學(xué)生不僅能夠清晰地理解常量和變量的定義，而且能夠通過實驗數(shù)據(jù)驗證概念。在學(xué)生的探究過程中，教師可以適時提供指導(dǎo)，幫助學(xué)生從實際現(xiàn)象中提煉出抽象的數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生在實際操作中深化對常量和變量的理解。隨著討論的深入，學(xué)生能夠認識到：變量是隨時間或其他條件變化的量，而常量則是恒定不變的量。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從具體到抽象、從直觀到嚴謹，逐漸升華，最終形成對常量和變量關(guān)系的深刻理解。

2.函數(shù)的定義：構(gòu)建函數(shù)關(guān)系

在理解常量與變量概念的基礎(chǔ)上，教師可以設(shè)計商場促銷活動的任務(wù)情境：每購買一件商品，顧客享受5元的固定優(yōu)惠。學(xué)生分成若干小組，記錄不同購買數(shù)量下商品的價格，如表2所示。

通過填寫表格，學(xué)生可以觀察到：隨著購買件數(shù)的增加，總價以固定的速度減少。這個規(guī)律為學(xué)生理解函數(shù)提供了契機。教師在此過程中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生思考：在這些數(shù)據(jù)中，哪個量是自變量，哪個量是因變量？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)購買件數(shù) （ x ） ）是自變量，因為它是可自由變化的量，而商品總價（y）則是因變量，因為它的數(shù)值會隨著購買件數(shù)的變化而變化。在此過程中，教師不僅要幫助學(xué)生識別自變量和因變量，而且應(yīng)進一步引導(dǎo)學(xué)生思考它們之間的關(guān)系。學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)逐漸發(fā)現(xiàn)，隨著購買件數(shù)的增加，總價按固定速率下降，每多購買一件商品，總價減少5元。此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出數(shù)學(xué)表達式： y = 2 0 - 5 x 。其中 x 代表購買件數(shù)， y 代表商品總價。此公式的推導(dǎo)不僅能夠幫助學(xué)生將實際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達式，而且能夠促使他們深入理解函數(shù)關(guān)系的核心特征。為了引導(dǎo)學(xué)生的認知走向深人，教師應(yīng)進一步解釋，在此函數(shù)關(guān)系中，購買件數(shù)（自變量）每增加1，總價（因變量）就減少5元，體現(xiàn)了函數(shù)中的“唯一對應(yīng)關(guān)系”一每一個自變量的取值對應(yīng)著唯一的因變量值。通過具體的任務(wù)情境和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，學(xué)生不僅能夠清晰地理解函數(shù)的定義，而且能夠體會到函數(shù)關(guān)系中的數(shù)學(xué)本質(zhì)：自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系是確定且唯一的。在此基礎(chǔ)上，教師還可以鼓勵學(xué)生討論和思考，如果顧客購買的商品數(shù)量為0或超過4件時，總價會如何變化，并引導(dǎo)其理解函數(shù)關(guān)系的實際意義。學(xué)生通過參與具體問題的分析和建模，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和解決實際問題的能力。

3.函數(shù)的表示方式：多角度探究表示方法

為了幫助學(xué)生全面理解函數(shù)的多種表示方式，教師可以設(shè)計系統(tǒng)的探究任務(wù)，要求學(xué)生從解析法、列表法、圖象法三個角度來分別表示函數(shù)關(guān)系。教師可以先給定一個線性函數(shù)的解析式，如 y = 2 x + 3 ，引導(dǎo)學(xué)生深入分析此函數(shù)，讓學(xué)生通過計算，自主探究和討論，體驗三種表示方法之間的聯(lián)系與差異。在解析法的探究中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)給定的解析式，計算自變量 x 取不同值時，因變量 y 對應(yīng)的值。通過計算，學(xué)生可以明確當自變量 x 的值發(fā)生變化時，因變量 y 會隨之變化，并且此變化遵循明確的線性關(guān)系。計算完成后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)果整理到表格中，即用列表法表示。表格清晰地呈現(xiàn)每一組自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生在此過程直觀地理解函數(shù)中的輸入與輸出是如何通過解析式轉(zhuǎn)換的，進一步加深對函數(shù)定義的理解。隨后，教師可以讓學(xué)生通過將列表法中的計算結(jié)果轉(zhuǎn)化為坐標點，并繪制函數(shù)的圖象，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在坐標平面上準確定位每個點，并用直線連接這些點，形成線性函數(shù)的圖象。在此過程中，學(xué)生不僅能夠直觀地看到解析式所代表的函數(shù)在坐標系中的具體表現(xiàn)，而且能夠理解函數(shù)圖象如何反映自變量和因變量之間的關(guān)系。在對三種不同的表示方法的探究中，學(xué)生能夠認識到它們之間的緊密聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別。如解析式提供了精確的數(shù)學(xué)表達，列表法將數(shù)學(xué)表達轉(zhuǎn)化為一組離散的數(shù)值，而圖象法則將數(shù)值可視化，能夠更清晰地觀察自變量和因變量之間的線性關(guān)系和變化規(guī)律。最后，學(xué)生在多角度的探索中建立起更加立體的函數(shù)概念，全面掌握函數(shù)的三種表示方法及其相互關(guān)系。

4.函數(shù)的初步應(yīng)用：解決實際問題

在函數(shù)單元的最后階段，教師要鼓勵學(xué)生將所學(xué)大概念應(yīng)用于實際情境中，鞏固和拓展知識。[3]教師可以設(shè)計貼近實際生活的任務(wù)情境，即讓學(xué)生為班級的一次集體活動制訂預(yù)算方案，并根據(jù)參與人數(shù)預(yù)測總費用。教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用函數(shù)模型 y = 5 0 x + 200，其中y表示總預(yù)算金額， x 表示參與人數(shù)，50元是每人費用，200元是固定成本。首先，教師可以提供一些歷史數(shù)據(jù)或具體的情境設(shè)定。如活動的固定成本包括場地租賃費和設(shè)備費用共200元，而每個參與者的費用為50元。可以將學(xué)生分成小組，讓他們通過討論明確任務(wù)目標，即根據(jù)參與人數(shù)的變化來預(yù)測活動的總費用。教師鼓勵學(xué)生代人不同的參與人數(shù)（如10人、20人、30人等）進行函數(shù)計算，計算不同 x 值對應(yīng)的y值。在此過程中，學(xué)生逐漸體會到函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用方式，并掌握如何使用數(shù)學(xué)公式進行精準預(yù)測。其次，學(xué)生可以在小組討論中分析數(shù)據(jù)的變化趨勢，并討論在不同情況下如何優(yōu)化活動的預(yù)算。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：如果增加一個人參與，預(yù)算會增加多少？是否存在一個合理的人數(shù)范圍，使得活動成本預(yù)算最優(yōu)？促使學(xué)生在計算中不僅關(guān)注數(shù)值，而且理解預(yù)算變化的規(guī)律，從而在實際問題中找到解決方案。最后，教師可以通過開放性討論，引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)模型在其他實際情境中的應(yīng)用。例如教師提出問題：在家庭預(yù)算、商業(yè)活動、資源分配中，如何運用類似的函數(shù)模型進行規(guī)劃？教師可以引導(dǎo)學(xué)生分享其在生活中遇到的類似問題，如家庭購物預(yù)算、出行費用計算等，嘗試用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題。學(xué)生通過討論，分享彼此的見解，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，強化對函數(shù)在現(xiàn)實生活中重要性的認識。

綜上所述，基于大概念視角，通過提煉、解構(gòu)、形成和應(yīng)用大概念，開展初中函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計，能夠幫助學(xué)生循序漸進地構(gòu)建數(shù)學(xué)認知框架。通過任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)實踐，學(xué)生在不同情境中深人理解常量與變量、函數(shù)的定義、函數(shù)的表示方式、函數(shù)的初步應(yīng)用，從而提升數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力。

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