2024年全國甲卷理科第20題的多解與推廣 浙江省諸暨中學(xué) (311800)

1.試題呈現(xiàn)

題目 （2024年高考全國甲卷理科第20題）已知橢圓 c 的右焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) 在橢圓 c 上，且 M F ⊥ x 軸.

（1）求橢圓 的方程；（ 2 ） P （ 4 ， 0 ） ，過 P 的直線與橢圓 c 交于 兩

點(diǎn)， N 為 F P 的中點(diǎn)，直線 N B 與 交于 Q ，證明：AQ （20 軸.

2.多解探究

第（1）問易得 c 的方程為 （過程略）

下面重點(diǎn)探究第（2）問.第（2）問考查橢圓中的坐標(biāo)問題，根據(jù)題目要證明的 A Q ⊥ y 軸，即轉(zhuǎn)化為證明 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.

證法1 當(dāng) A B 斜率為0時(shí)，顯然 A Q ⊥ y 軸

當(dāng)直線 A B 斜率不為0時(shí)，設(shè)過點(diǎn) P （ 4 ， 0 ） 的直線為 x = m y + 4 ，與橢圓 c 的方程聯(lián)立，消去 x 得（20 設(shè) ， ，則

由 N 為線段 F P 的中點(diǎn)知， ，即 二2my2+3，直線BN：y 令 x = 1 2my+3要證AQ⊥y 軸 （2最后一式顯然成立.故問題得證.

點(diǎn)評(píng)由于將直線設(shè)為 x = m y + 4 ，根與系數(shù)關(guān)系的式子更簡潔，再結(jié)合分析法，進(jìn)一步優(yōu)化了證明過程，減少了計(jì)算量。

證法2 由題可知直線 ？ ？ 斜率存在，設(shè)過點(diǎn)P （ 4 ， 0 ） 的直線為 ，聯(lián)立橢圓 C 的方程消去 y 得 設(shè) ，則 要證 A Q ⊥ y 軸，即證 ，即證 ，即證 ，即證 ，而 64k2-12=8，故AQ⊥y軸.

點(diǎn)評(píng)將所證問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形相似，利用相似比得到坐標(biāo)間的關(guān)系，然后結(jié)合韋達(dá)定理來證明.善于挖掘圓錐曲線試題的幾何關(guān)系，可簡化問題，減少運(yùn)算量。

證法3 當(dāng) A B 斜率為0時(shí)，顯然 A Q ⊥ y 軸

當(dāng)直線 A B 斜率不為0時(shí)，可設(shè) 與橢圓 聯(lián)立，整理得 +36=0.設(shè)A（x1，y），B（x，y），則 令x=1得yQ ，故 A Q ⊥ y 軸.

3y2點(diǎn)評(píng) 求證中得到的yo=-3-2my2 屬于“非對(duì)稱韋達(dá)”，直角處理會(huì)比較繁瑣，這里借助兩根之和 與兩根之積 的關(guān)系，消去 表達(dá)式中的 m ，從而得證.

證法4 設(shè) ，則

即 +

得 （20 由 得 又lBN：y

令x=1，得y=5-2x2

5λ-（5λ+3）= y1，故AQ⊥y軸。

點(diǎn)評(píng)：求證中采用了“定比點(diǎn)差法”，利用橢圓上兩點(diǎn) 及其定比分點(diǎn) P 的關(guān)系，引入變量 λ ，將點(diǎn) B 滿足的橢圓方程乘以 后，再與點(diǎn) A 的方程作差，利用 λ 為 與 與 滿足的關(guān)系“搭橋”，從而將 的坐標(biāo)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為 ，計(jì)算量較小，解答過程較為簡潔。

3.試題推廣

推廣1 已知 M 是橢圓 0）上一點(diǎn)， E 在 x 軸上且 M E ⊥ x 軸. E 的橫坐標(biāo)為n （ 0 lt; n lt; a ） ，直線 與 x 軸交于點(diǎn) P ，過點(diǎn)

P 的直線與橢圓 C 交于 兩點(diǎn)， N 為 E P 的中點(diǎn)，直線 N B 與 M E 交于 Q 則 A Q ⊥ y 軸

證明 由題可知直線 斜率存在，設(shè)過點(diǎn) 的直線為 聯(lián)立橢圓 c 的方 程消去y得（a2h2+b2）x22a22x 設(shè) ，則 （20

要證 A Q ⊥ y 軸，即證 ，即證 A B ： ，即證 ，即證

將 ① 式代人 ② 式可得 ，故 A Q ⊥ y 軸

推廣2已知 M 是拋物線 上一點(diǎn)， E 在 x 軸上且 M E ⊥ x 軸 E P 的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) o ，過點(diǎn) P 的直線與拋物線 C 交于 兩點(diǎn)，直線 σ B 與 M E 交于 Q . 則 A Q ⊥ y 軸

證明由題可知直線 A B 斜率存在，不妨設(shè)點(diǎn)E （ n ， 0 ） ，則點(diǎn) ，設(shè)過 P 點(diǎn)的直線為 y = k （ x + n ） ，與拋物線 c 的方程聯(lián)立，消去 y 得 （20

設(shè) ，則 ，要證A Q ⊥ y 軸，即證 ，即證 A B ？ P N = A Q ，即證 將 ③ 式代人 ④ 式，可知 ④ 式顯然成立.故 A Q ⊥ y 軸

P 的直線與橢圓""交于""兩點(diǎn)， N 為 E P 的中點(diǎn)，直線 N B 與 M E 交于 Q 則 A Q ⊥ y 軸

證明 由題可知直線""斜率存在，設(shè)過點(diǎn)"的直線為""聯(lián)立橢圓 c 的方程消去y得（a2h2+b2）x22a2x"""設(shè)""，則""（204號(hào)

要證 A Q ⊥ y 軸，即證""，即證 A B ："，即證"""，即證""

將 ① 式代人 ② 式可得"""，故 A Q ⊥ y 軸

推廣2已知 M 是拋物線""上一點(diǎn)， E 在 x 軸上且 M E ⊥ x 軸 E P 的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) o ，過點(diǎn) P 的直線與拋物線""交于""兩點(diǎn)，直線 σ B 與 M E 交于 Q . 則 A Q ⊥ y 軸

證明由題可知直線 A B 斜率存在，不妨設(shè)點(diǎn)E （ n ， 0 ） ，則點(diǎn)""，設(shè)過 P 點(diǎn)的直線為 y = k （ x + n ） ，與拋物線 c 的方程聯(lián)立，消去 y 得"""（20

設(shè)""，則""，要證A Q ⊥ y 軸，即證""，即證 A B ？ P N = A Q""，即證""將 ③ 式代人 ④ 式，可知 ④ 式顯然成立.故 A Q ⊥ y 軸

雙曲線的情形與橢圓類似，不再贅述。