解題未動 思想先行

1. 引言

數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，基于數(shù)學(xué)內(nèi)容又高于數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種隱性知識，一種數(shù)學(xué)的觀點和方法，要在反復(fù)學(xué)習(xí)和體驗中才能認識、理解、掌握和運用.正因為如此，我們需要反復(fù)地研究習(xí)題，通過習(xí)題挖掘其內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，從而達到內(nèi)化和提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

本文通過實例分析在具體解題時是從分解開始，還是從綜合開始，探究解題教學(xué)中應(yīng)重視分解、綜合思想的滲透和運用。

2.實例分析

例1 （2023年全國Ⅰ卷概率壓軸題，節(jié)選）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若沒命中則換為對方投籃，無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中均為0.6，乙每次投籃命中均為0.8.由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的是甲，乙的概率各為0.5，求第 i 次投籃的人是甲的概率

分析設(shè)第 i 次投籃的是甲為事件 ，則 與 為樣本空間 的一個劃分，樣本空間中任意一事件 B ，可由 與 來表示，即 ，因此可 B 分解成 與 之和，繼而概率 可分解成 與 之和。

解不妨設(shè)第 i 次投籃的是甲為事件 ， ，設(shè) ，則 與 共同構(gòu)成樣本空間的一個劃分，因此 $＼begin{array}{c} ＼begin{array} { r c l } { P （ A _ { i } A _ { i + 1 } ） } amp; { + } amp; { P （ ＼overline { { A _ { i } } } A _ { i + 1 } ） } ＼end{array} = ＼begin{array} { r c l } { P （ A _ { i } ） P （ A _ { i + 1 } } amp; { | } amp; { A _ { i } ） } amp; { + } ＼end{array} ＼end{array}$ 因此 是以 為首項，公比 的等比數(shù)列， 即， （20

評析 全概率公式 隱含了分解與綜合的思想，從解題上看，更多體現(xiàn)分解思想，它的主要用途是把復(fù)雜事件拆分為多個簡單的事件和來計算，具有化繁為簡功能。

例2 （2023年全國乙卷，理）已知橢圓 c 的離心率是 ，點 A （ - 2 ， 0 ） 在C 上.（1）求 C 的方程；（2）過點（-2，3）的直線交 c 與點 P ， Q 兩點，直線 與 y 軸的交點分別為 M ，N . 證明：線段 M N 的中點為定點。

分析若設(shè)直線 A M ， A N 方程分別為 + 2 】， ， 則 M N 的中點縱坐標可由兩直線斜率來表示。

解（1）易得 （過程略）.

（2）直線 A M ， A N 的斜率顯然存在，設(shè)其方程分別為 記點

B （ - 2 ， 3 ） ，令 x = 0 ，得 ， M N 的中點（0，+k）.由{=h（（x +2）， 得 ，則得 .同理可得

.由 三點共線可得 ，綜上所述 M N 的中點（0，3）為定點。

評析點動成線，線動成點，本題運用后者，動直線 斜率）生成動點 P ， Q ， M ， N ，因此，題目所有變量均可由兩直線斜率來表示，本題所求線段中點縱坐標可分解成兩斜率之和。

例3 （2024年九省聯(lián)考第11題）以maxM表示數(shù)集中最大的數(shù).設(shè) 0 lt; a lt; b lt; c lt; 1 ，已知 b ？ 2 a 或 a + b ？ 1 ，則 的最小值為

分析 由于所有約束不等式和 m a x 函數(shù)內(nèi)的多項式次數(shù)均為一次，因此可考慮選擇 ， 作為一種\"基底”，將多項式 b - 2 a 和 b + 1 分別分解成 和 ，計算得 b - 2 a = 2 （ b - a ） + （ c - b ） + （ 1 - c ） - 1 ， - a - b + 1 = （ b - a ） + 2 （ c - b ） + 2 （ 1 - c ） - 1 .

解記 ，則

當 b ？ 2 a 時，由 b - 2 a = 2 （ b - a ）

得 2 （ b - a ） + （ c - b ）

，再由

4 M ？ 2 （ b - a ） + （ c - b ） + （ 1 - c ） ？ 1 ，得 中 .當 a + b ？ 1 時，由 - a - b + 1 = （ b - a ） +

得

+ 2 （ 1 - c ） ？ 1 ，再由 得 ，得 綜上所述， （20

評析對于不等式問題，通常所涉及多元變量，如何利用題干已知條件進行減元，便成為解題的關(guān)鍵，因此，尋找變量間的關(guān)系，通過等價代換的方法是較優(yōu)的解題方法.在這過程體現(xiàn)了分解思想：適當?shù)剡x擇某些變量作為“基底”，剩余變量可由這組“基底”來表示，從而達到減元的目的。

例4試證明定義在 R 上的任一函數(shù) F （ x ） 可表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。

解記 g （ x ） = F （ x ） + F （ - x ） ， h （ x ） = F （ x ） ，易證得 為偶函數(shù)， h （ x ） 為偶函數(shù)，令 ，因此 R 上的任一函數(shù)F （ x ） 可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。

評析本例是向量基底思想在函數(shù)中應(yīng)用，也可看成是一種分解思想的運用．由待定系數(shù)法令 得 ，因此任意函數(shù) F （ x ） 可由一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)表示。

例5若平面向量 滿足 1 且 ，求 最大值與最小值。

解 可表示三個力 合力的大小，又因為 ，故 當且僅當 同向，且與 反向時，合力最小為1；當且僅當 三個力同方向時合力最大為5。

評析上述解法是分解思想的相反過程：綜合思想，先給向量賦予實際意義，通過力的合成求得答案，既簡潔又優(yōu)美，體現(xiàn)了思想方法在解題的重要性。

例6若 ，則

·（請用一個排列數(shù)來表示）。

解現(xiàn)有 n 個不同小球（其中有2個黑球， n - 2個白球），現(xiàn)要從中選出 m 個球排序，總共有 種排法；這等價于按選取的黑球的個數(shù)進行分類：選出2個黑球，有 種排法；選出1個黑球，有 種排法；選出0個黑球，有 種排法，所以

評析本例通過給排列公式賦予實際意義，發(fā)

現(xiàn) 恰好為在 n 個元素中選

出 個元素排序，總共有 種排法，其中體現(xiàn)綜合

思想．若把問題改為 ，這時更傾向于分解思想。

3.實施原則[1]

3.1 目標簡單化原則

不管是從認識規(guī)律，還是從解決問題需要便易、簡捷考慮，分解與綜合思想方法的首要原則應(yīng)該是將目標簡單化.目標簡單化原則是指應(yīng)朝著目標簡單的方向進行，即復(fù)雜的待解決問題應(yīng)分解成簡單的較易解決的問題.這里的簡單，一是指問題結(jié)構(gòu)關(guān)系形式表示上的簡單；二是指問題處理方式、方法上的簡單。

3.2 具體化原則

具體化原則是指分解與綜合的方向一般應(yīng)由抽象到具體.即分析問題和解決問題時，應(yīng)著力將問題向較具體的問題轉(zhuǎn)化，以使其中的數(shù)量關(guān)系更易把握，如盡可能將抽象的式用具體的形來表示，將抽象的語言描述用具體的式或形表示，以使問題中的各種概念以及概念之間的相互關(guān)系具體、明確，如應(yīng)用表達式的幾何意義、給表達式賦予實際應(yīng)用意義等。

3.3 統(tǒng)一性原則

在數(shù)學(xué)問題中，給出的條件有時會在量、形關(guān)系上顯得較為雜亂，無從下手，這時，需要我們根據(jù)待解問題的表現(xiàn)形式，對所給的量、形關(guān)系作統(tǒng)一分解轉(zhuǎn)化，使待解問題在表現(xiàn)形式上一致，在量、形、關(guān)系方面趨于統(tǒng)一的方向進行，使問題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更勻稱和。

3.4 低層次化原則

低層次化原則是說解決數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)盡量將高維空間的待解問題分解成低維空間的問題，高次數(shù)的問題分解成低次數(shù)的問題，多元問題分解成少元問題解決，這是因為低層次問題比高層次問題更直觀、具體、簡單。

4.結(jié)語

數(shù)學(xué)思想方法是解題指導(dǎo)思想，是對解題方法的總結(jié)與提升，它可以幫助學(xué)生提升解題思維，構(gòu)建解題模型，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)[3]的關(guān)鍵所在.在大單元教學(xué)推廣中，數(shù)學(xué)思想提煉無論教學(xué)設(shè)計，還是教學(xué)過程的都尤其重要，它具有極強的育人價值.分解和綜合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中都有著重要價值，它能讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦，懂得數(shù)學(xué)價值，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考、解決問題.我們只有充分地在教材中去挖掘出分解與綜合思想方法，充分地認識到它的價值，有目的有意識地長期滲透，才能讓學(xué)生在操作中掌握，在掌握后領(lǐng)悟，最終形成能力，提升素養(yǎng)。

參考文獻

[1]錢珮玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法（第2版）［M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[2]苗強．向量基底思想的應(yīng)用［J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2015（12）：68.