觀察式子結(jié)構(gòu)特征，巧解幾類競賽試題

高中數(shù)學(xué)競賽試題有些具有明顯的結(jié)構(gòu)特征，這種結(jié)構(gòu)特征實質(zhì)上暗示了解題思路的突破口，只要我們細(xì)心地通過觀察、直覺、想象、類比，分析題目的深層結(jié)構(gòu)，就不難尋找到解決問題的切入點.本文舉例說明，供讀者參考。

1.觀察結(jié)構(gòu)特征，借用幾何圖形

通過觀察條件代數(shù)式的特征，借用構(gòu)造圖形構(gòu)造合適的幾何圖形可達(dá)到解題目的。

例1（2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽試題）函數(shù) 的最小值為

解 可變形為 + .其表示拋物線 上的點 到兩定點 的距離之和，即 ，如圖1所示．過 P 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 Q ，其中 F （ 1 ， 0 ） 為拋物線的焦點，由拋物線的定義得 ，∴f（x）= ，再過 A 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 ，顯然在 三點共線，即 x = 2 ，時 （202

評注觀察函數(shù) f （ x ） 中兩個根式的結(jié)構(gòu)特征，不難讓我們聯(lián)想到兩點間的距離公式，于是將表達(dá)式 f （ x ） 轉(zhuǎn)化為動點 （，x）到兩定點F（1，0）、A （ 2 ， 2 ） 的距離之和，借用幾何圖形，問題迎刃而解。

例2（2020 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽試題）設(shè)函數(shù) （20號 ，則 f （ x ） 的最大值是

解 ，設(shè)點

，如圖2所示，點 P 在直線 上，又 B 關(guān)于直線 y = x 的對稱點為

，

∴ f （ x ） = ∣ P A ∣ -

5，當(dāng) 三點共線時取等號...

評注觀察函數(shù) f （ x ） 的結(jié)構(gòu)形式是兩個根式的差，讓我們類比、聯(lián)想到一個動點到兩個定點距離的差，于是整理原函數(shù)式為 f （ x ） 使其表示直線 y 上的動點 到兩定點A（-5，4）和B （ 0 ， - 2 ） 距離的差，結(jié)合幾何圖形，問題得到解決。

2.觀察結(jié)構(gòu)特征，采用三角換元

三角換元可以減少未知元的個數(shù)和冪次，使復(fù)雜的式子得到簡化，從而達(dá)到解決問題的目的。

例3（2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽試題）若實數(shù)x，滿足xy=5，則

解由已知 ，可設(shè) tanβ，則x+y

評注 條件 的結(jié)構(gòu)形式和三角恒等式中兩角差的正切公式是同出一轍的，于是讓我聯(lián)想到三角換元，問題順利得到突破。

3.觀察結(jié)構(gòu)特征，巧用函數(shù)模型

構(gòu)造函數(shù)模型就是構(gòu)造與問題相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象，使問題快速得到解決。

例4（2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽試題）已知函數(shù) f （ x ） 滿足 f （ m + n ） = f （ m ） f （ n ） ， ，則 +

解符合 f （ m + n ） = f （ m ） f （ n ） 的函數(shù)原型為指數(shù)函數(shù) ，且 ，又 f （ 1 ） = 3 ，∴a =3.于是f（x）= 3，：f（1D）+f（2） （204號

數(shù)形結(jié)合是以數(shù)思形，以形助數(shù)，數(shù)形對照，對用數(shù)形結(jié)合可使問題迅速地獲得解決

例5（2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽試題）若對任意的 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ，不等式 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是

解 ，即 對于任意的 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 恒成立，∴ a gt; 0，于是 ，

構(gòu)造函數(shù) 當(dāng) x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 時 單調(diào)遞增， 式轉(zhuǎn)化為 恒成立從而有 a （ e x + 1 ） ？ ，即 恒成立.

令 （20 當(dāng) t ∈ （ 1 ， e ） 時 遞增；當(dāng) t ∈ （ e ， + ∞ ） 時， 遞減，如圖3所示，所以當(dāng) 時， l取唯一的極值，且為極大值，即為最大值，： 1.故a∈

評注由于不等式左邊是指數(shù)式，右邊是對數(shù)式，為了兩邊形式統(tǒng)一，考慮指、對數(shù)可互化，于是兩邊同乘ex+1（xgt;0），而右邊ex+1變?yōu)閑ln（ex+1），即變?yōu)? ，從而做到兩邊式子“和諧統(tǒng)一”.聯(lián)想構(gòu)造函數(shù) f （ x ） = ，再利用 f （ x ） 的單調(diào)性將原不等式簡化為 ，問題終于水落石出。

綜上，我們根據(jù)所研究問題的式子結(jié)構(gòu)特征，運用類比、聯(lián)想、構(gòu)造等方法，靈活地將問題遷移到新問題中去，從而尋找到解決問題的切入點，這種解題方式對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是大有裨益的。