一個(gè)不定方程模型在強(qiáng)基、競(jìng)賽中的變形考查

在高中排列組合的教學(xué)中，常見(jiàn)下面一個(gè)排列組合問(wèn)題：

問(wèn)題方程 ）有多少組非負(fù)整數(shù)解？有多少組正整數(shù)解？

這個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)不定方程問(wèn)題，由隔板法不難得到該問(wèn)題的答案為：

結(jié)論不定方程 ）的非負(fù)整數(shù)解有 組，正整數(shù)解有 組.

筆者發(fā)現(xiàn)這個(gè)不定方程模型在數(shù)學(xué)競(jìng)賽、高校自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃中多次變形考查，形式多變，難度較大，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的極好素材.下面筆者選取幾例，探討他們的解題策略。

1.系數(shù)的變化

例1（2020年復(fù)旦大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題）方程 的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為

解因?yàn)? ，所以 4 ∣ x ∣ ，不妨設(shè) x = 4 k ，則 3 k + y + 3 z = 5 0 5 ，即31（ 5 0 5 - y ） ，又5 0 5 = 3 × 1 6 8 + 1 ，所以 ，不妨設(shè) y = 3 t + 1 ，所以 k + t + z = 1 6 8 ，從而方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)等價(jià)于方程 k + t + z = 1 6 8 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即有 組。

例2（2017年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃試題）方程 x + 2 y + 3 z = 1 0 0 的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)是

A.883 B.884 C.885 D.886

解 x + （ 2 y + 3 z ） = 1 0 0 ，則 2 y + 3 z ？ 1 0 0 ，知 所以 z ？ 3 3

當(dāng) z = 0 時(shí)， x + 2 y = 1 0 0 ，相應(yīng)的 y 有51個(gè)，故此時(shí)非負(fù)整數(shù)解有51個(gè).

當(dāng) z = 1 時(shí)， x + 2 y = 9 7 ，相應(yīng)的 y 有49個(gè)，故此時(shí)非負(fù)整數(shù)解有49個(gè)。

當(dāng) z = 2 時(shí)， x + 2 y = 9 4 ，相應(yīng)的 y 有48個(gè)，故此時(shí)非負(fù)整數(shù)解有48個(gè)。

當(dāng) z = 3 時(shí)， x + 2 y = 9 1 ，相應(yīng)的 y 有46個(gè)，故此時(shí)非負(fù)整數(shù)解有46個(gè)。

當(dāng) z = 4 時(shí)， x + 2 y = 8 8 ，相應(yīng)的 y 有45個(gè)，故此時(shí)非負(fù)整數(shù)解有45個(gè)。

當(dāng) z = 5 時(shí)， x + 2 y = 8 5 ，相應(yīng)的 y 有43個(gè)，此時(shí)非負(fù)整數(shù)解有43個(gè)，….

當(dāng) z = 3 2 時(shí)， x + 2 y = 4 ，相應(yīng)的 y 有3個(gè)，此時(shí)非負(fù)整數(shù)解有3個(gè)。

當(dāng) z = 3 3 時(shí)， x + 2 y = 1 ，相應(yīng)的 y 有1個(gè)，故此時(shí) 非負(fù)整數(shù)解有1個(gè)，規(guī)律是，雖 z 每 + 1 ，個(gè)數(shù)變化的規(guī) 律是 z 的偶數(shù)到奇數(shù)差2，奇數(shù)到偶數(shù)差1，所以共有 5 1 + 4 9 + 4 8 + 4 6 + 4 5 + 4 3 + 4 2 + 4 0 + 3 9 + 3 7 + 3 6 + 3 4 + 3 3 + 3 1 + 3 0 + 2 8 + 2 7 + 2 5 + 2 4 + 2 2 + 2 1 + 1 9 + 1 8 + 1 6 + 1 5 + 1 3 + 1 2 + 1 0 + 9 + 7 + 6 + 4 + 3 個(gè)，故選 B

例3 不定方程 2022（其中 a lt; 2 2 ， b lt; 3 3 ， c lt; 5 5 ， d lt; 7 7 ） 的非負(fù)整數(shù)解有（）組。

解注意到每個(gè)變量的系數(shù)所包含的所有質(zhì)因子是2，3，5，7，我們來(lái)考察 模這些質(zhì)因子的情況。

首先注意到2022是偶數(shù)，所以 必為偶數(shù)；同理， 1 0 5 a ， 4 2 c ， 3 0 d 和2022均是3的倍數(shù)，所以 b 一定為3的倍數(shù)。

再考察 ∣ c ∣ ，由于 ，且 2（mod5），所以 ，最后對(duì) d ，因?yàn)?2 0 2 2 ≡ 6（mod7），而 ，所以

綜上，我們讓 ，代人原不定方程得到： ，其中 均為非負(fù)整數(shù).有 組

點(diǎn)評(píng)系數(shù)的變化類(lèi)型通?？梢悦杜e，可以同余，轉(zhuǎn)化為這個(gè)常見(jiàn)不定方程模型。

2.關(guān)系的變化

例4（2018年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽）求不定方程 x + y + z + w = 2 5 的滿足 x lt; y 的正整數(shù)解（ x 的組數(shù)。

解設(shè) ，則 2 x + d + z + w = 2 5 當(dāng) x 取遍 1 ～ 1 1 時(shí)， 的正整數(shù)的組數(shù)為 ，則其組數(shù)為

因?yàn)? ∑ C2n = n（n +1）（4n-1），所以p=C2+C2+. + C22 = （204

故原方程的正整數(shù)解有946組。

例5（2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試）方程 x + y + z = 2 0 1 0 滿足 x ？ y ？ z 的正整數(shù)解（ x 的個(gè)數(shù)是。

解首先易知 x + y + z = 2 0 1 0 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 方程 x + y + z = 2 0 1 0 滿足 x ？ y ？ z 的正整數(shù)解分為3類(lèi)：

均相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)顯然為1個(gè)；

中有且僅有2個(gè)相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)易知為1003個(gè)；

兩兩均不相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 k 個(gè).則k= 個(gè)

從而滿足 x ？ y ？ z 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 1 0 0 3 + 3 3 5 6 7 1 = 3 3 6 6 7 5 個(gè).

點(diǎn)評(píng)以上2個(gè)例題，增加了限制條件，難度增大，需要轉(zhuǎn)化或者分類(lèi)來(lái)確定解法。

3.形式的變化

例6（2019年內(nèi)蒙古高中數(shù)學(xué)預(yù)賽試題）方程 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 ·（用數(shù)字作答）

解當(dāng) 時(shí)， 非負(fù)整數(shù)解有 個(gè)；當(dāng) 時(shí) 非負(fù)整數(shù)解有 個(gè)；當(dāng) 時(shí)， 非負(fù)整數(shù)解有 個(gè)；當(dāng) 3時(shí) 非負(fù)整數(shù)解有4個(gè).故原方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 2 8 6 + 2 2 0 + 8 4 + 4 = 594個(gè)。

例7 （2022年北京邀請(qǐng)賽試題）方程 有 組整數(shù)解.

解先考慮方程

），并要求 中至少一個(gè)是完全平方數(shù).① 若 a ？ b ？ c gt; 0 ，則 ，即c =1，2.當(dāng) 時(shí)， ，滿足要求的 （ a ， b ， c ） ， ，

有 和 對(duì)應(yīng) 有10組解（204號(hào)

， ， （20 ，或 或 或或 .當(dāng) c = 2 時(shí)， 沒(méi)有滿足要求的 （ a ， b ， c ）

（ 2 ） a ？ b gt; 0 gt; c ，則 即 b = 1 此時(shí) 滿足要求的解只有 對(duì)應(yīng) 有4組解.

因此，原方程共14組整數(shù)解

點(diǎn)評(píng)以上例題，形式上變化很大，套用結(jié)論難以實(shí)現(xiàn)解答，需要針對(duì)某一個(gè)量進(jìn)行討論。

4.范圍的變化

上述例題限制條件是非負(fù)整數(shù)或正整數(shù)，其他范圍內(nèi)的整數(shù)還未涉及，筆者依據(jù)2018年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽進(jìn)行改編，得到下面的題目。

例8（2018年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽改編）求不定方程 x + y + z + w = 2 5 滿足 x ？ - 1 ， y ？ 3 ， z ？ - 2 ， w ？ 2 的整數(shù)解 （ x ， y ， z ， w ） 的組數(shù)

解令 w - 2 ，則 ，原方程可化為 （204號(hào) + y + z + w - 2 = 2 3 ，該方程的非負(fù)整數(shù)解有 （20 2600組，故原方程的整數(shù)解有2600組。

不定方程類(lèi)型眾多，沒(méi)有統(tǒng)一的方法，我們不必追求面面俱到，平時(shí)只需抓住一點(diǎn)進(jìn)行探究，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，未知問(wèn)題已知化，一般問(wèn)題特殊化，逐漸加深對(duì)問(wèn)題的了解，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，探尋規(guī)律，解決問(wèn)題。

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