一道解三角形問題的多角度探究

在新教材背景中，解三角形知識成為平面向量中的一類基本應(yīng)用問題，是同時擁有“數(shù)”與“形”的一類綜合問題，可以巧妙融合初、高中階段的基礎(chǔ)知識，交匯高中階段中的不同知識模塊之間的聯(lián)系，成為充分落實新課標(biāo)中“在知識交匯點處命題”的指導(dǎo)思想的一個重要考點，倍受各方關(guān)注。

1.問題呈現(xiàn)

題目（2024年南京師大附中高三（下）聯(lián)考）在 Δ A B C 中，已知 分別為角 的對邊.若 =3c05C，且cos（A-B） =-√， ，則 （ ）.

（204號 A. B. C D. 或

此題以三角形為問題背景，結(jié)合三角形中角與邊的確定，利用相關(guān)邊與角的關(guān)系式構(gòu)建以及對應(yīng)角三角函數(shù)值的確定來創(chuàng)設(shè)場景，進(jìn)而求解相關(guān)角的余弦值，融入眾多的三角函數(shù)知識與對應(yīng)的公式，給問題的切入與求解創(chuàng)造更多的難度。

2.解法探析

解法1 （解三角形 三角恒等變換公式法）由 =3cosC，利用余弦定理可得2+b2 （20號 整理可得 .利用正弦定理有 ，結(jié)合二倍角公式的變式有

+ B ） cos （ A - B ） = 1 + cos C cos （ A - B ） 。

得 ，整理 ，即 ，亦即 由 可得 ，故選 C

評注根據(jù)題設(shè)關(guān)系式，利用解三角形思想中的余弦定理與正弦定理等進(jìn)行統(tǒng)一化思維，合理對角進(jìn)行分拆處理，借助兩角和與差的余弦公式來轉(zhuǎn)化與變形，給進(jìn)一步方程的構(gòu)建與求解創(chuàng)造條件.一般地，直接利用三角恒等變換公式來處理三角函數(shù)關(guān)系式時，要巧妙對相應(yīng)的角進(jìn)行必要的配湊、拆分等處理，聯(lián)系題設(shè)條件中的角與結(jié)論所求中的角之間的關(guān)系，創(chuàng)造條件，形成鏈接。

解法2 （解三角形 和差化積公式法）由 ，利用余弦定理可得 ，整理可得 .利用正弦定理有 ，結(jié)合二倍角公式的變式有 ，即 （204號

借助和差化積公式得 B）cos（A-B）-2 =0，結(jié)合cos（A-B） =-√， Cos（A +B）= -cosC得3cos2C-√3c ，即

，亦即 從而由 2可得 ，故選 $C _ { ☉ }$

解法3 （解三角形 積化和差公式法）由 ，整理得 （20號

利用余弦定理得 （20abcos C ，利用正弦定理有 借助積化和差公式可得 - cos（A-B）]cosC，又cos（A-B）=-√， 6，cos（A+B）=- cosC，可得3cos2C-√c ，即 ，亦即 從而由 2可得 ，故選

評注解法2，解法3中借助和差化積公式或積化和差公式的轉(zhuǎn)化來構(gòu)建相應(yīng)的方程，給三角函數(shù)值的求解提供條件.而涉及和差化積公式或積化和差公式可以作為輔助公式優(yōu)化一些解題的過程，提升解題速度。

3.變式拓展

變式1 在 Δ A B C 中，已知 分別為角 A B，C的對邊.若號+2b ，則

析解 由 ，結(jié)合余弦定理可得 ，整理

所以結(jié)合正弦定理與余弦定理的應(yīng)用得

變式2 在 Δ A B C 中，已知 分別為角 A ，

B，C的對邊.若 ， 則cosB

析解 由 ：3cosC，結(jié)合余弦定理得 整理得 而由 可得 0 （204號所以結(jié)合正弦定理與余弦定理得 ，整理得 由 ① ② 可得 ，所以

變式3 在 Δ A B C 中，已知 分別為角 A 的對邊.若 ，且 cos （ A - B ） = 則

析解 以上部分同原問題的解析過程可得 結(jié)合C∈（0，π），可得C=。

4.教學(xué)啟示

解三角形問題的情境應(yīng)用與綜合問題，往往可以有效融合解三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等，以及初中階段中的平面幾何相關(guān)定理與公式，同時又融合高中階段三角函數(shù)中的三角恒等變換公式以及其他的一些相關(guān)公式等，成為解三角形中“數(shù)”的內(nèi)涵的一個全面深入與拓展空間，合理加以數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的應(yīng)用，實現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

涉及解三角形中相關(guān)問題的綜合應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系式及其相應(yīng)的結(jié)論特征，合理抓住涉及三角形邊與角的關(guān)系式，回歸問題的本質(zhì)，或直接轉(zhuǎn)化，或合理配湊，巧妙將相關(guān)的解三角形、三角函數(shù)等知識巧妙地滲透與融合進(jìn)去，合理優(yōu)化解題過程，巧妙拓展數(shù)學(xué)思維，有效簡化數(shù)學(xué)運算過程，提升數(shù)學(xué)解題效益，真正起到事半功倍的神奇效果，值得深入推廣與拓展應(yīng)用。