例析幾道數(shù)學競賽中動球和多球問題的解法

在數(shù)學競賽中，有一類動球和多球問題，它們的呈現(xiàn)形式抽象，學生往往不易找到合適的解法.本文列舉幾例，旨在將抽象的動球和多球問題具象化。

例1（2019年數(shù)學聯(lián)賽重慶市預賽第6題）已知正四面體可容納10個半徑為1的小球，則正四面體棱長的最小值為——。

解析 考慮到正四面體的對稱性，當符合要求的正四面體棱長取最小值時，10個小球分布在三“層”，自上往下每層分別有1，3，6個小球，且相鄰兩層的小球之間都是相切的，并且邊緣的球均與正四面體的表面相切．設四面體的棱長為 ，此時，取四個兩兩相切小球的球心構成一個小正四面體，由球的外切知小正四面體的棱長為2，則小正四面體的高為 ：由于正四面體的中心分四面體的高為1：3，所以大正四面體的高 ·2+1，解得a =4+2√6。

題）半徑分別為6，6，6，7的四個球兩兩外切，它們都內(nèi)切于一個大球，則大球的半徑是 （答案：14）

例2（2018年數(shù)學聯(lián)賽湖南省預賽 B 卷第8題）四個半徑都為1的球放在水平桌面上，且相鄰的球都相切（球心的連線構成正方形）.有一個正方體，其下底與桌面重合，上底的四個頂點都分別與四個球剛好接觸，則該正方體的棱長為——。

評注本題是多球之間的相切問題．通過對10個小球空間位置的建構，將多球之間的相切問題簡化為4個球圓心所構成的正四面體的高．將所有小球分為“三層”，將大正四面體的高分為4個部分，隨后頂點至底面直觀地列出等式．求解的關鍵在于化歸為熟知的正四面體結構。

訓練題 （2018年數(shù)學聯(lián)賽天津市預賽第12

解析 如圖1，記正方體的棱長為 ，上底面為正方形 ABCD且中心為點O，計算得OA =a 由球和正方體的對稱性知，球心 在面 A B C D 上的投影 M 落在對角線 A C 或 B D 上，并且球 與鄰球的切點 P 在面 A B C D 上的射影 N 在過點 o 且平行于正方形邊長 A B 或 B C 的直線上，于是 + A M ，其中 M N = 1 又 ，則 A M = √0A2-0M2=√1-（1-2，從而√=√2 ，即 ，得 或 a = 2 ．由于上底面四個頂點都分別與四個球恰剛好接觸，從而 ，故

評注本題是球與其它空間體相切問題．解法中通過將四個球心和球之間的切點投影到上底面ABCD中，根據(jù)MN兩種不同的計算方法，列出關于棱長 的關系式，并根據(jù)問題條件選擇合適的值.求解的關鍵在于通過底面投影，分析問題的局部，化歸為平面上的線段計算。

訓練題 （2019年數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第4

題）已知正四棱錐 T 的高為3，側面與底面所成角為

，先在 內(nèi)放入一個內(nèi)切球 ，然后依次放入球

，使得后放入的各球均與前一個球及

T 的四個側面均相切，則放入所有球的體積之和為（答案：

例3（2010年數(shù)學聯(lián)賽新疆預賽第8題）已知半徑為 的球和半徑為 R 的兩個相切的球都相切，且它們都與大小為 的二面角的兩個半平面相切.則

解析 如圖2，不妨設半徑為 r 的球的球心為 ，兩個半徑為 R 的球的球心分別為 ：由于每個球均與二面角的兩個半平面相切，故每個球的球心都在二面角的分角面上，由于平面 是二面角的分角面，它與任一個平面（不妨設底面為 α ）的夾角為 設 A ， 為各球心在底面 α 上的投影，由于三個球兩兩外切，從而在 中，有 R，故 S△OO=·2R·√（r+R）2-R2 =R· 在 Δ A B C 中，有 A B = 2 R ， B C = A C = ，故 ，由平面 和平面 A B C 的夾角為 ，所以

，于是 ，化簡得到 ，于是

評注本題是球與兩個平面相切的問題．解法中通過分析球心，發(fā)現(xiàn)每個球心恰好在二面角的分角面上，從而刻畫出球 ∴ 所在平面的位置．注意到 和 Δ A B C 的邊長都能用 R 和 表示，再由 列出一個等式后，直接計算R ： r 的值．求解的關鍵為探尋出球心所在的截面和半平面之間的關系.

訓練題半徑為1，2，3的球兩兩外切，平面 α 、 平面 β 與這三個球都相切，則平面 α 與平面 β 所成的 二面角的余弦值為_（答案 5[1]

例4一個棱長為4的立方體內(nèi)有一個半徑為1的球自由運動，則該立方體內(nèi)不能被球掃過的部分的體積為

解析注意到小球不能到達的部分為八個頂點和十二條棱周圍的部分. ① 考慮8個以立方體的頂點為頂點，且在立方體內(nèi)部的單位立方體.當小球與該頂點處三個平面均相切時，掃過的部分為單位球體積的 ，故小球在8個頂點周圍不能到達的部分的體積為 4π（ （204號 ② 考慮12個以立方體的棱為一條棱，底面邊長為1的正方形高為2的正四棱柱.當小球與一條棱的兩個面都相切時，掃過的部分是一個底面為四分之一單位圓且高為2的柱體，故小球在12條棱周圍不能到達的部分的體積為 （204號 6 π ：于是，小球在立方體內(nèi)不能被球掃過的部分的體積是V=V+V=32-π

評注本題是小球在幾何體內(nèi)的運動問題.求解中由觀察發(fā)現(xiàn)小球在立方體內(nèi)到達不了的部分共有兩種，分別是與立方體的8個頂點周圍和12條棱的周圍．所以分兩種情況考慮各自的局部特征，分別采用總體積減去掃過部分的體積計算出未掃過的體積．求解的關鍵在于通過分析問題的局部化歸為計算局部圖形體積的問題。

訓練題一個半徑為 r 的小球與一個半徑為 R

的大球在一個內(nèi)壁棱長為 l 的正四面體容器內(nèi)向各個方向自由運動.若 ，則該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是·（答案：88√3+128π）[2]。

例5（2007年數(shù)學聯(lián)賽遼寧省預賽第5題）底面半徑為2，高為42的封閉的圓柱形容器中最多能放入半徑為1的球的個數(shù)為——。

解析 記兩個球心連線與底面平行的球為同一“層”的小球，注意到底面圓的半徑為2，恰好為小球半徑1的兩倍，故當放置的小球數(shù)量最多時，每一“層”放置兩個球．分析相鄰“層”的四個球心，由對稱性，它們構成一個邊長為2的正四面體，并且兩球心連線，即棱長為2的正四面體的異面直線之間距離為 ：注意到最下面和最上面兩個球與圓柱底面和頂面的距離都是小球半徑1.假設能放置小球的層數(shù)為 x ，則 ，解得 ，并且 ，所以最多能放入半徑為1的球的個數(shù)為 （ 1 + 2 8 ） × 2 = 5 8。

評注本題是空間體內(nèi)與球相關的計數(shù)問題.求解中從對稱性的角度出發(fā)，考慮不同“層”小球之間的關系，轉化為局部四個小球的結構．同時將圓柱的高用不同“層”小球之間的球心之間的距離刻畫后，計算出小球最大的數(shù)量．求解的關鍵是從球心的角度簡化分析化歸為正四面體異面直線的距離問題。

訓練題 在半徑為4的大球內(nèi)，已任意放了24個棱長為 l 的正方體.證明：在大球內(nèi)至少還可以放置4個半徑為 的小球，使得這些小球及正方體都在大球內(nèi)且相互不重疊。[3]

參考文獻

[1]羅志強，琚國起.數(shù)學奧林匹克高中訓練題（100）[J].中等數(shù)學，2007，（08）：40-45.

[2]宋強.數(shù)學奧林匹克高中訓練題（131）［J].中等數(shù)學，2010，（07）：39-46.

[3]宋強.數(shù)學奧林匹克高中訓練題（138）［J].中等數(shù)學，2011，（02）：40-46.