一道解析幾何題的巧解及推廣

1.題目

如圖1，已知橢圓方程為 ，過(guò)點(diǎn) P （ 2 ， 1 ） 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B 作斜率為 的直線交橢圓于另一點(diǎn) c ，試探究直線 A C 是否過(guò)定點(diǎn)。

這道題目若用常規(guī)解法，計(jì)算非常復(fù)雜.本文將給出該題的幾個(gè)巧妙解法與推廣。

2.巧解

解法1設(shè) ， ， 則 又 ，兩式相減得 （由 ① 得）， 又由 ① 得 ，代人 ② 整理得 直線 x + 2 y = 3 + λ 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B ，又其斜率為 ，故直線 B C 的方程為 x + 2 y = （20 3 + λ

設(shè)點(diǎn) 的中點(diǎn) ，由 相減得 （20號(hào) ，又 在直線 B C 上）， 3+③.又由①得 代人 ③ 變形得 直線 A C 過(guò)定點(diǎn)

解法2 平移坐標(biāo)系至橢圓右頂點(diǎn) o ，則點(diǎn) P 坐標(biāo)為（0，1），橢圓方程為（x+2）2 ，即 設(shè)直線 A B 的方程為 m x + n y = 1 ，代人上式得 ，即 （20 0.

設(shè)直線 的斜率分別為 ，則 為關(guān)于 k 的一元二次方程 的兩根，： ：直線 的方程為（ 一

設(shè)直線 的斜率為 ，同理可得直線 B C 的方程為 的方程為 直線 A B 過(guò) P （ 0 ， 又 變形得（204號(hào) ，與直線 C A 的方程對(duì)比知， C A 過(guò)定點(diǎn) ，在原坐標(biāo)系中C A 過(guò)定點(diǎn)

解法3 先作仿射變換：令 則由題設(shè)得（如圖2）⊙0：x2+y2 = 1，P'（1，1），？？Bc = ， 垂直平分

連接 ， ，由 關(guān)于

圖2對(duì)稱(chēng)及 知 o 四點(diǎn)共圓，： ∠ 4 = ∠ 5 = ∠ 6 . 又 " ，直線 過(guò)定點(diǎn) ：直線A C 過(guò)定點(diǎn)

2.推廣

已知曲線 ，過(guò)定點(diǎn)P （ m ， n ） （ m n ≠ 0 ，點(diǎn) P 不在曲線上）的直線交曲線于 A ， B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B 作斜率為 的直線交曲線于另一點(diǎn) c ，求證：直線 A C 過(guò)定點(diǎn).

證明 設(shè) 則 ，又 ，兩式相減得 λ .又由 ④ 得 ，代人上式整理得 λ ） r ，其中 ，直線 2 a m x + 2 b n y = 1 - λ + （ 1 + λ ） r 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B ，又其斜率為 ：直線 B C 的方程為 2 a m x + 2 b n y = 1 - λ + （ 1 + λ ） r . （20號(hào)

設(shè)點(diǎn) 的中點(diǎn) ，由 與 相減得 又由 D 在直線 B C 上得 ，由 ⑤ ⑥ 消去 得 （204號(hào) 又由 ④ 得 m （ 1 + λ ） （20號(hào) ，同理由 ⑤ ⑥ 消去 得 直線 A C 過(guò)定點(diǎn) ，即。