理解運(yùn)算本質(zhì)，破解解幾中的共弦問題

新高考背景下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展，是新高考改革的重要目標(biāo).解幾何題的方法普遍“先用幾何眼光觀察與思考（幾何直觀），再用坐標(biāo)法解決（數(shù)學(xué)抽象）”，其核心是發(fā)現(xiàn)幾何特征，再用代數(shù)表達(dá).本文以一道高考解幾題的求解，從方程視角表達(dá)公共弦這一幾何特征角度，再利用方程思想研究幾何問題。

1.試題呈現(xiàn)

題目（2008年江蘇高考18題改編）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)""的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為""，請問圓是否過某個(gè)定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.

析解 如圖1，設(shè)圓""的方程為""D x + E y + F = 0 ，拋物線與 x 軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程""① 的解.

在圓的方程""（204號"中令y = 0 ，得"

"，因?yàn)?"既在拋物線上又在圓上，所以方程① ② 是同解方程

通過對比系數(shù)得 D = 2 ， F = b ，又因?yàn)閳A""經(jīng)過點(diǎn)""，即""，解得""1），即圓""的方程為""0，由圓""過定點(diǎn)則可知關(guān)于 b 的方程"""有無數(shù)個(gè)解．則只需"求解方程組即可求出圓"

過定點(diǎn)（-2，1），（0，1）.

評注本題求解的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖形中重要的幾何特征：“""是拋物線的弦同時(shí)也是圓""的弦”.從弦 A B 的位置關(guān)系來看，""兩點(diǎn)可以看為拋物線與 x 軸的交點(diǎn)，也可看作圓""與 x 軸的交點(diǎn).轉(zhuǎn)化代數(shù)表達(dá) ① ② ，分析得到 ① ② 是同解方程.

在上述的求解過程中，緊抓公共弦這個(gè)幾何特征進(jìn)行分析，但弦 A B 的位置較為特殊，一般位置狀態(tài)下的弦能否也這樣研究呢？

2.變式拓展

變式如圖2，已知拋物線""的焦點(diǎn)為 F ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn).過焦點(diǎn) F 作斜率為 k = 1 的直線與 c 交于""兩點(diǎn)，求Δ A B O 的外接圓方程.

析解 常規(guī)方法是設(shè)圓的一般式并利用待定系數(shù)法求解，此時(shí)需要

求出""兩點(diǎn)的坐標(biāo).由題意易得直線 A B 的方程為y = x + 1 ：""兩點(diǎn)坐標(biāo)的求解過程運(yùn)算量較大，給解題帶來困難.此時(shí)不妨換個(gè)視角來分析，從方程的視角來分析求解

首先，分析幾何特征. A B 是 Δ A B O 的外接圓的弦， A B 是拋物線的弦，此時(shí) A B 是拋物線與 Δ A B O 外接圓的公共弦

其次，幾何特征代數(shù)化.再將‘""在拋物線 上”進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化只需將直線與拋物線聯(lián)立方程即 可，由此可得方程""，將“""在圓 c 上”代數(shù)轉(zhuǎn)化只需將直線與圓 c 的方程聯(lián)立.

設(shè)圓""，由 o 在圓 C 上可知 F = 0 ，也即圓 C 的方程為""E y = 0 ，與直線方程聯(lián)立可得""

最后，分析兩方程的解.由于弦 A B 是公共弦，故"兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)""都是方程 ① 和方程 ② 的解.即方程 ① 和方程 ② 為同解方程，兩個(gè)同解二次方程在代數(shù)結(jié)構(gòu)上滿足對應(yīng)的系數(shù)成比例，即"""，解得"

由此求得圓的方程為"

3.拓展應(yīng)用

例1 （2023年1月福建七市高三聯(lián)考）如圖3，雙曲線""x2=1的下焦點(diǎn)為F，過點(diǎn) F 作直線 l 與 C 交于""兩點(diǎn)，若過點(diǎn) A B 和點(diǎn)""的圓的圓心在 x 軸上，則直線 l 的斜率是

分析 利用圓心在 x 軸上，求出經(jīng)過點(diǎn)

"和點(diǎn)""的圓的方程，但運(yùn)算量大.轉(zhuǎn)換視角，聚焦分析公共弦 A B 線段""是雙曲線 c 的弦，也是外接圓""的弦.由題中的條件“圓""的圓心在軸上”便知道了圓心的位置，選用標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓""的方程為""為了從代數(shù)視角表達(dá)公共弦，可設(shè)直線 l 方程 y = k x - 2 ，只需要分別聯(lián)立直線與雙曲線，直線與圓分別得到關(guān)于x 的一元二次方程，從而得到兩個(gè)同解方程

解設(shè)直線 l 的方程 y = k x - 2 ，將直線與雙曲線聯(lián)立可得""消去 y 得""（20"因?yàn)閳A""的圓心在 x 軸上，設(shè)圓心為 （ a ，0），則圓""的方程為""，又因?yàn)閳A""過""，則""，所以圓""的方程為"""聯(lián)立直線與圓""的方程，消去 y 得""（204號

即方程 ① ② 是同解方程.通過對比系數(shù)"""，解得"

例2 如圖4，已知橢圓（""和 x 軸上一點(diǎn) P （ 4 ，0），A，B是橢圓 c 上關(guān)于 x 軸對稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接 P B 交橢圓 c 于另外一點(diǎn)E ，求證：直線 A E 與 x 軸相交于定點(diǎn)。

分析該題并沒有出現(xiàn)\"公共弦”，是不是不能用同解方程來處理呢？其實(shí)公共弦反映的是弦的兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解，而由本題中的一個(gè)重要條件“""是橢圓中關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)”可知點(diǎn)""的橫坐標(biāo)相同，即弦""的橫坐標(biāo)相同，因此，分別將直線""與橢圓聯(lián)立方程得到兩個(gè)關(guān)于 x 的一元二次方程，即這兩個(gè)方程是同解方程

證明 設(shè)""，設(shè)直線 A E 的方程為""，聯(lián)立方程"消去 y 得"""所以""是方程 ① 的兩根.設(shè)直線 P B 方程為""，聯(lián)立方程"消去 y 得"""可知""也是方程 ② 的兩根，所以方程""是同解方程．所以"""解得 m = 1 或 m = 4 （舍去）.故直線 A E 與 x 軸相交于定點(diǎn)（1，0）.

評注本題求解中運(yùn)用了方程思想解決圓錐曲線中一類多動(dòng)點(diǎn)問題，其關(guān)鍵是關(guān)注有強(qiáng)相關(guān)關(guān)于軸對稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，從而通過構(gòu)造關(guān)于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)同解的兩個(gè)一元二次方程便可輕松地解決此類問題。