基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學學科育人系統(tǒng)研究

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094(2025)04-0094-05

課堂教學作為實現(xiàn)教育目標的核心途徑，對培育人才具有決定性作用。然而，目前初中數(shù)學教學仍存在若干問題：重視應用而輕視內(nèi)涵，教師普遍過分強調(diào)知識的實用性而忽視對概念和命題深層次含義的闡釋，忽略對知識體系的全面構(gòu)建；教師過分追求教學過程的生動性，導致學生陷入“一聽就明白、一學就上手、一用就出錯”的窘境，無法靈活運用所學知識解決實際問題，難以有效提升自主學習的能力；教學模式單一化，忽視了學生全面發(fā)展的需求及認知發(fā)展規(guī)律，從而導致學生在發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題方面的能力不足。為有效解決上述現(xiàn)實問題，本研究構(gòu)建了基于CPFS結(jié)構(gòu)的教學實踐路徑，并在實踐中凝練其學科育人系統(tǒng)。

一、CPFS結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵與價值

數(shù)學學科核心素養(yǎng)隱藏在知識體系和結(jié)構(gòu)中，概念和命題通過推理的方式形成了中學數(shù)學的邏輯體系。CPFS結(jié)構(gòu)是概念域（conceptfield）概念系（concept system）命題域（propositionfield）、命題系（proposition system）形成的結(jié)構(gòu)[1]，是數(shù)學知識在學生頭腦中經(jīng)過梳理形成的條理化、網(wǎng)絡層次化的結(jié)構(gòu)，是經(jīng)過心理活動內(nèi)化了的知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。概念域即某個概念的一組等價定義在個體頭腦中形成的知識網(wǎng)絡；概念系是存在某種關系的一組概念在個體頭腦中形成的知識網(wǎng)絡；命題域是針對某個特定命題的一組等價的命題網(wǎng)絡；命題系是存在一些特定數(shù)學抽象關系的一組命題，某些沒有直接的推出關系但具有潛在聯(lián)系的命題網(wǎng)絡稱為廣義命題系。CPFS結(jié)構(gòu)是優(yōu)良的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，有助于知識的理解、遷移以及能力的發(fā)展。

教師教好數(shù)學、學生學好數(shù)學是教學中發(fā)展學生核心素養(yǎng)的基本要義[]?；贑PFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學教學，以“學生”作為研究和實踐的基本出發(fā)點，堅持“學生是教育主體”的基本立場，在課堂教學中落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)和立德樹人根本任務，從而實現(xiàn)學生全面而有個性的發(fā)展?；贑PFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學教學，從知識結(jié)構(gòu)以及知識的關聯(lián)性出發(fā)，科學定位教學目標，引導學生開展高質(zhì)量的數(shù)學學習活動，突出數(shù)學的思想和方法，促進學生形成終身學習所需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想方法和綜合運用能力，最終實現(xiàn)數(shù)學學科育人的目標。

二、基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學學科育人系統(tǒng)

學科育人是學科教學的根本任務，數(shù)學學習的實質(zhì)就是學生在教師的引導下能動地建構(gòu)數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，并使自己得到全面發(fā)展的過程[3?；贑PFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學學科育人系統(tǒng)包含“教師—教學路徑一教學課例一學生”四個要素和“育人情境創(chuàng)設一育人實踐路徑一育人實踐載體一育人實踐主體”四個維度（如圖1）。

CPFS結(jié)構(gòu)是促進學生能力發(fā)展的重要抓手，基于CPFS結(jié)構(gòu)的學科育人系統(tǒng)，以育人為核心導向，以課堂為主陣地，以學生全面、健康、可持續(xù)發(fā)展為目標，凸顯學生的主體地位?；贑PFS結(jié)構(gòu)的教學路徑、具有整體結(jié)構(gòu)特征的教學課例，遵循了學生的認知發(fā)展規(guī)律，能幫助學生構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)。

三、基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學教學實踐路徑

學習過程是認知結(jié)構(gòu)形成、發(fā)展和完善的過程。CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學特有的認知結(jié)構(gòu)，能形象、直觀地體現(xiàn)數(shù)學的邏輯特征。筆者立足培養(yǎng)學生問題意識與思維能力，以具有整體結(jié)構(gòu)特征的課例為實踐載體，構(gòu)建了以“創(chuàng)設情境為前提，提出問題為核心，解決問題為目的”的教學實踐路徑，并在不同課型中進行了教學探索。

（一）厘清內(nèi)涵，揭示概念命題抽象過程

數(shù)學新授課主要是對新概念或新命題的學習，在提出一個新概念或新命題后，引導學生探究與該概念或命題有等價或推出關系的概念或命題，從多種背景、多重層次去揭示概念和命題的內(nèi)涵，幫助學生建構(gòu)良好的知識網(wǎng)絡，形成CPFS結(jié)構(gòu)。

例如在正方形概念的教學中，教師可以引導學生從矩形和菱形、平行四邊形或四邊形等多種背景、多重層次去抽象和揭示正方形概念 識網(wǎng)絡，形成正方形的概念域（如圖2）。的內(nèi)涵，使學生在頭腦中繪制正方形概念的知

（二）優(yōu)化重組，促進復習教學深入進行

基于CPFS結(jié)構(gòu)的教學復習課，立足于學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，對知識體系和方法規(guī)律等進行必要的重構(gòu)。通過新舊知識的碰撞，引發(fā)學生個體CPFS結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、調(diào)整和重組，促使學生在原來的知識結(jié)構(gòu)上生長出新的、更加全面完整的知識結(jié)構(gòu)。CPFS結(jié)構(gòu)不斷豐富并擴大，促進了學生進一步的學習[4]

例如，在求二次函數(shù)表達式的復習教學中，設如下問題情境：已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過點（-6.0）和（2.0），且有最大值為8，請求出此二次函數(shù)的表達式，畫出它的圖像并探究它的性質(zhì)。初中二次函數(shù)學習的一個重要內(nèi)容是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式，頂點式和一般式是二次函數(shù)最常用的兩種表達形式，當二次函數(shù)圖像與 x 軸有交點時，也可以運用交點式，這三種形式中的任意一種可以推出其他兩種形式，它們是等價的關系。在這個問題中，引導學生分析所給點的特征，選擇運用哪種形式解決問題并進行比較，形成二次函數(shù)表達式的命題域（如圖3）。

在解決上述問題的同時，教師應引導學生對二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行總結(jié)概括，并結(jié)合學生的理解進程設計問題。如：求將此二次函數(shù)圖像沿著 軸或y軸翻折后的表達式，求拋物線的頂點、與坐標軸交點所圍成的三角形或四邊形的周長及面積等，驅(qū)動學生進行層次性探索，從特殊到一般、由易到難，探究二次函數(shù)學習的經(jīng)驗系統(tǒng)。學生綜合運用二次函數(shù)的不同形式解決問題，體驗方法的多樣性。在問題解決過程中，不應以“完成習題”為標志，而是以是否形成了合理、完善和優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)為認知目標。本節(jié)課不僅僅是讓學生掌握二次函數(shù)表達式的求法，更為重要的是明晰了各知識之間的聯(lián)系，通過三種表達式命題網(wǎng)絡中知識結(jié)點之間的相互激活，突出了問題解決不止于得出答案，更在于關系性理解與認知能力的遷移。

（三）合理定位，形成單元立體知識體系

合理、優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)，一方面表明學生的頭腦中貯存了豐富的知識；另一方面又確定了這些知識的合理定位，容易找到要提取的知識。在教學中，可通過繪制結(jié)構(gòu)圖形成單元知識網(wǎng)絡。結(jié)構(gòu)圖的各要素緊密關聯(lián)，與學生頭腦中的數(shù)學知識上下勾連、左右貫通，為遷移的產(chǎn)生提供通道。

例如，蘇科版“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”的單元教學中，可以學校開展的“筑夢天宮，探秘蒼穹”航天知識競賽作為問題情境，給出隨機抽樣的七、八兩個年級學生的成績平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的統(tǒng)計表，合格、良好、優(yōu)秀等第的條形統(tǒng)計圖。教師提出問題：估計八年級優(yōu)秀等第的人數(shù)，分析哪個年級的學生競賽成績更好些，等等。根據(jù)“樣本估計總體”的思想，可知優(yōu)秀等第的人數(shù)，七、八年級的競賽成績可以從平均分相等，而中位數(shù)、眾數(shù)和方差不同等方面進行分析。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，其橫向關系表現(xiàn)為平均數(shù)的每一個值都參與運算具有精確性，但容易受異常值影響，而中位數(shù)和眾數(shù)不受異常值影響，能夠較好地刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢但不精確，方差和標準差則描述了數(shù)據(jù)的離散程度。如果從概念關系看，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的關系框圖就是最為常見的CPFS結(jié)構(gòu)（如圖4）。此外，用樣本估計總體的思想與已有知識各要素緊密關聯(lián)，形成了本單元的立體知識體系。“筑夢天宮，探秘蒼穹”的問題情境激發(fā)學生的民族自豪感和文化自信，將德育自然地融入課堂教學之中。

（四）問題導引，激發(fā)學生內(nèi)在學習需要

問題解決是學生CPFS結(jié)構(gòu)的一種表達方式，教師要合理預判學生在學習過程中可能遇到的困難，在教學中創(chuàng)設符合知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律、學生思維特點及認知水平的情境與問題，用問題去驅(qū)動和激發(fā)學生內(nèi)在的學習需要。同時，根據(jù)學生學習的實際情況，以數(shù)學知識的邏輯關系與相互聯(lián)系為基本依據(jù)，整體把握教學內(nèi)容，為學生搭建知識框架，解決知識的碎片化問題。學生在選擇中獲得結(jié)構(gòu)圖式，建立知識體系，形成CPFS結(jié)構(gòu)。

以“數(shù)據(jù)的收集、整理和描述”的單元教學為例，教師可提出如下問題：要調(diào)查某社區(qū)家庭每季度的平均用水量，從本社區(qū)家庭中隨機抽取一定戶數(shù)，將調(diào)查的結(jié)果繪制成不完整的用戶季度用水量頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，求頻數(shù)分布表中的未知頻數(shù)和頻率，并補全頻數(shù)分布直方圖。在此問題中，教師以“節(jié)約用水”為問題情境，引導學生經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)一整理、描述、分析數(shù)據(jù)一作出估計、推斷”的統(tǒng)計過程。這個過程對培養(yǎng)學生的問題解決能力，發(fā)展統(tǒng)計觀念十分重要。其中，隨機抽樣、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖等概念和概念關系自然生成，學生頭腦中會自然形成如圖5所示的CPFS結(jié)構(gòu)。

在上述應用數(shù)學知識解決問題的過程中，學生利用數(shù)學概念原理分析問題，經(jīng)歷數(shù)學活動獲得數(shù)學對象和知識結(jié)構(gòu)，說明問題的解決不止獲得解答方案，更在于實踐應用，反映了數(shù)學服務生活的和諧與統(tǒng)一。

新課程改革倡導教師的“教”是為學生的“學”服務?；贑PFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學教學實踐，從關注學生的“學”出發(fā)，堅持教學與育人融合，寓教育于教學之中，在實踐和反思中引導學生感悟數(shù)學思想方法，注重培養(yǎng)學生的理性精神、創(chuàng)新意識和實踐能力，促進學生形成適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格，形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，為新時代背景下深化數(shù)學教育改革、落實立德樹人根本任務提供新的思路和方法。

參考文獻：

[1]喻平，單遵.數(shù)學學習心理的CPFS結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學教育學報，2003(1)：12-16.

[2]章建躍.核心素養(yǎng)導向的初中數(shù)學教學變革[J]中學數(shù)學教學參考，2023(2)：2-5+21.

[3]鄭學明.數(shù)學教學中滲透數(shù)學史對中學生CPFS結(jié)構(gòu)的影響研究[D].贛州：贛南師范學院，2010：19.

[4]唐萍.基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學復習教學策略[J]江蘇教育研究，2018(6A)：44-48.

責任編輯：趙贊