基于動態(tài)背景，助力思維養(yǎng)成

【摘要】動態(tài)背景是初中數(shù)學幾何題中的常見考點，基于動態(tài)背景的幾何綜合題，綜合考察了學生對各類幾何性質(zhì)與定理的靈活運用，考查基本知識的同時，還考察了綜合運用能力以及開放性思維等.本文以2024年吉林長春中考數(shù)學23題為例，在層層遞進的設問中分析動態(tài)背景下，學生解題中體現(xiàn)出的解題意識，助力數(shù)學思維的養(yǎng)成.

【關鍵詞】動態(tài)背景；中考數(shù)學；幾何綜合；數(shù)學思維

題目"如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D是BC邊上的一點（點D不與點B、C重合），作射線AD，在射線AD上取一點P，使AP=BD，以AP為邊作正方形APMN，使點M和點C在直線AD同側.

（1）連結PN，當PN⊥AC時，求正方形APMN的邊長；

（2）若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為_____.（寫出一個即可）

分析"（1）PN是正方形APMN的對角線，根據(jù)正方形對角線互相垂直的性質(zhì)可知，PN⊥AM，而從題干中可知PN⊥AC，則此時A、C、M三點共線，已知AP=BD，則求出DC的長即可求得正方形APMN的邊長.還是利用特殊角作垂線的思想，利用∠PAM=45°，∠C的三角函數(shù)進行解題.在Rt△CDH中，可以設DH=4a，CH=3a，CD=5a，AH=HD=4a，則AC=7a=5，可以求出a=5/7，DC=25/7， AP=BD=17/7.（2）從已知條件中可得EN=3CM，求CD的長，同樣是利用特殊角做垂線的解題方法，本題可以分為兩種情況，第一種情況就是點M和點N均在直線AC右側，通過分析知道AN∥PM，EN∥CM，因此△AEN∽△HCM，相似比即為3∶1，設正方形的邊長是3a，則HM=a，PH=2a，所以tan∠PAH=PH/AP=2/3.同樣利用特殊角作垂線的思路，過點D作DF⊥AC于點F，因為tan∠ACD=4/3，可以設DF=4b，CF=3b，CD=5b，又因為tan∠PAH=2/3，所以AF=6b，根據(jù)AC=6b+3b=5，可以得出b=5/9，所以CD=5b=25/9.第二種情況是點M和點N分別在直線AC兩側，同樣根據(jù)比例以及平行可以得到△QEN∽△QHM，設MQ=a，QN=3a，正方形的邊長為4a，tan∠AQN=AN/QN=4/3，而∠PAQ+∠QAN=∠QAN+∠AQN，可得tan∠PAC=tan∠AQN=4/3，我們知道tan∠C=3/4，可見∠ACB=∠DAC，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，CF=5/2，cos∠C=3/5，最終可得CD=25/6.

解析"（1）在正方形APMN中，AM⊥PN，又因為PN⊥AC，所以A、M、C三點共線.如圖2過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DH⊥AC于點H.因為AB=AC，AE⊥BC，所以CE=1/2BC=3，根據(jù)勾股定理可得AE=4，所以sin∠C=4/5，在△DHC中CH∶DH∶CD=3∶4∶5，設DH=4a，CH=3a，CD=5a，因為∠DAC=45°，所以AH=DH=4a，所以AC=7a=5，解得a=5/7，所以DC=5a=25/7，BD=BC－CD=6－25/7=17/7，因為AP=BD，所以AP=17/7.

（2）當點M和點N均在直線AC右側時，分別過點M、N作MQ⊥AC、NE⊥AC，過點D作DF⊥AC于點F，如圖3所示，

在正方形APMN中，AN∥PM，又因為MQ∥NE，所以△AEN∽△HQM，因為EN=3QM，所以AN=3HM.設HM=a，所以AP=AN=3a，PH=2a，所以tan∠PAH=PH/AP=2/3，因為tan∠ACD=4/3，設DF=4b，CF=3b，CD=5b，又因為tan∠PAH=2/3，所以AF=6b，因為AC=6b+3b=5，解得b=5/9，所以CD=5b=25/9.

點M和點N分別在直線AC兩側時，過點D作DF⊥AC于點F，如圖4所示，因為∠AEN=∠MHQ=90°，所以EN∥MH，所以△QEN∽△QHM，因為QN=3QH，所以AN=3HM，設MQ=a，QN=3a，AP=4a，所以tan∠AQN=AN/QN=4/3，因為∠PAQ+∠QAN=∠QAN+∠AQN，所以∠PAC=∠AQN，所以tan∠PAC=tan∠AQN=4/3，因為tan∠C=4/3，所以∠ACB=∠DAC，所以AD=DC，又因為DF⊥AC，所以CF=AC/2=5/2，又因為cos∠C=CF/DC=3/5，可得CD=25/6.

綜上CD的長為25/9或25/6.

評析"本題是在動態(tài)背景下的幾何綜合題，整個解題過程均圍繞“特殊角作垂線”這一解題思路作為突破點，其中在第四問中還涉及了分類討論的思想，整體解題過程考察了學生對三角函數(shù)、等腰三角形三線合一的特點以及平行構相似等幾何性質(zhì)的綜合運用與掌握.

結語

隨著新課程、新中考的推進，初中數(shù)學越來越重視學生數(shù)學思想的培養(yǎng)，基于動態(tài)背景的幾何綜合題，從初中數(shù)學的基礎情境出發(fā)，以螺旋上升式的問題難度，考查學生的思維發(fā)散，分層次考查學生的解題能力以及綜合運用能力，整個過程以一個解題思路貫穿全題，全方位考查學生的創(chuàng)新思維，有助于促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.