幾何圖形陰影面積的不同求解方法總結(jié)

【摘要】 "幾何圖形的陰影面積求解是初中階段必須掌握的數(shù)學問題，不規(guī)則的圖形是需要關(guān)注的重點.解答初中數(shù)學的幾何陰影面積問題，可以運用不同方法，如割補法、和差法等.掌握更多求解方法和思路，有助于更高效地解答相關(guān)問題.

【關(guān)鍵詞】陰影面積計算；初中數(shù)學幾何；解題方法

和差法、割補法都是常見求解幾何圖形面積問題的方法，也同樣適用于幾何圖形陰影面積問題的解答.每種方法對應(yīng)的解題思路和特點各不相同，需要學習理解掌握.本文結(jié)合例題對不同解題方法進行分析，幫助學生更靈活地運用不同方法解答問題.

1"和差法

和差方法具體是指將常見的規(guī)則幾何圖形面積進行加減，通過和差形式來表示所求陰影圖形面積大小.這種方法適用于圖形可以直接或間接轉(zhuǎn)化的面積問題.輔助線的添加，可以使面積求解更有路徑可循，也是解答的關(guān)鍵所在.

例1"如圖1所示，邊長為2cm和3cm兩個正方形并排放在一起，則陰影部分的面積是_____cm2.（結(jié)果保留π）

分析"首先陰影面積可以用圖形AFEC減去空白圖形EFC得到，此時圖形AFEC是不規(guī)則的，不能直接用公式計算，可轉(zhuǎn)化為梯形AFEB和扇形ABC面積之和，這屬于直接和差方式，通過規(guī)則圖形面積加減，即可得到陰影面積大小.

解"因為四邊形BEFH和四邊形ABCD是正方形，

所以BE=EF=2，AB=BC=3，∠OBC=∠FEC=90°，

所以S陰影=S扇形BAC－S△BCO+S△AFO

=S扇形BAC－S△BCO+S△GFO+S△GFA

=S扇形BAC－S△BCO+S正方形BGFE－S梯形BOFE+S△GFA

=S扇形BAC+S正方形BGFE+S△GFA－S△CEF

=90π×32/360+2×2+1/2×2×（3－2）－1/2×2×（3+2）

=9π/4（cm2）.

故陰影面積為9π/4平方厘米.

例2"如圖2，四邊形ABCD是一個正方形，E，D，A，F(xiàn)四點在一直線上，且ED=DA=AF=2厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14）

分析"求解陰影部分面積的思路是用總體面積減去空白部分的規(guī)則圖形的面積，和差法適用于該題.

解"由題意得，S△CDE=1/2CD·DE=1/2×2×2=2（cm2），

S正方形ABCD=2×2=4（cm2），

S△ABF=1/2AB·AF=2（cm2），

S陰影=S扇形EDC－S△EDC+S正方形ABCD－S扇形ADC+S△ABF－S扇形AFG

=90×π×22/360－2+4－90×π×22/360+2－45×π×22/360

=243（cm2）.

故陰影部分的面積為243平方厘米.

2"割補法

割補法與和差法相比，具有一定差異，主要體現(xiàn)在對圖形進行平移、旋轉(zhuǎn)和割補，使不規(guī)則復(fù)雜的陰影面積問題迎刃而解.割補法適用于直接求面積比較復(fù)雜或無法計算的情況，通過對部分圖形的轉(zhuǎn)變，使求解的圖形面積從不規(guī)則到規(guī)則，屬于必須掌握的一種面積求解方法.

例3"已知正方形ABCD的邊長為1cm，分別以B，D為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧或畫圓，如圖3所示，求圖中陰影部分所示的圖形的面積.（計算結(jié)果保留π）

分析"由于所求陰影面積有一部分不能直接求出，需要考慮添加輔助線將曲線部分一分為二，由于陰影部分屬于軸對稱圖形，只要求出其中一部分面積即可.根據(jù)正方形減去扇形的差，求得面積即可得到最終陰影面積的大小.

解"如圖4所示，連接AC，

以點B為圓心，半徑為1cm的弓形面積為：

S1=90/360×π×12－1/2×1×1=π/4－1/2（cm2），

以點D為圓心，半徑為1cm的弓形面積為：

S2=90/360×π×12－1/2×1×1=π/4－1/2（cm2），

S3+S4=S正方形ABCD－（S1+S2）=12－2（π/4－1/2）=2－π/2（cm2），

圓心角為270°，半徑長為1cm的扇形面積為：

270/360×π×12=3π/4（cm2），

所以圖3中陰影部分的面積為：2－π/2+3π/4=2+π/4（cm2）.

上述分別介紹了求解幾何圖形陰影面積問題的不同方法，并且分析了適用范圍以及對應(yīng)解答思路，不難發(fā)現(xiàn)，雖然陰影面積大多數(shù)是不規(guī)則圖形，但也能通過不同方法對其轉(zhuǎn)化，從而得到具體值.掌握這些方法的掌握，學生能夠掌握更多解題思路，也能促進學生總結(jié)與思考.

參考文獻：

［1］顧勇進.陰影圖形面積的求解思路分析[J].中學數(shù)學，2024（12）：105-106.

［2］武云輝.例談初中數(shù)學陰影面積的求法[J].考試周刊，2019（21）：110.