新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)建模試題研究及教學(xué)啟示

摘 要：近年的新課標(biāo)卷試題加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)建模能力的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要價值。解析新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)建模試題發(fā)現(xiàn)它們具有“描述性分析—量化關(guān)系精煉—數(shù)學(xué)模型化”三階段考查特征，因而提出關(guān)注生活素材、聚焦試題特點(diǎn)精準(zhǔn)教學(xué)、整體規(guī)劃與分步實施相結(jié)合等教學(xué)優(yōu)化路徑。具體實施中，教師可以以試題特點(diǎn)為引領(lǐng)、以生活素材為載體、分步實施教學(xué)，強(qiáng)調(diào)素材真實化、教學(xué)精準(zhǔn)化、能力結(jié)構(gòu)化，引導(dǎo)學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)建模全過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析與創(chuàng)新應(yīng)用能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)卷；數(shù)學(xué)建模；考查特征；高考綜合改革；高考試題研究

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）08-0009-04

2020年教育部考試中心發(fā)布的《中國高考評價體系》中明確了高考對基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的“四翼”考查要求［1］。數(shù)學(xué)建模試題既是考查基礎(chǔ)性、應(yīng)用性的有效載體，又能發(fā)揮考查綜合性、創(chuàng)新性的作用。數(shù)學(xué)建模試題能夠深化基礎(chǔ)性考查要求的內(nèi)涵，其設(shè)計背景和考查內(nèi)容都基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，通過靈活的呈現(xiàn)方式考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本思想方法的深入理解和綜合運(yùn)用；在綜合性方面，解答數(shù)學(xué)建模試題往往需要學(xué)生調(diào)動和組織各模塊有關(guān)的知識和技能，甚至融合其他學(xué)科的知識；在創(chuàng)新性方面，數(shù)學(xué)建模試題能夠設(shè)置一個真實的生活情境，提出具有開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生打破思維定式，在學(xué)習(xí)中提升自我，并鼓勵學(xué)生培養(yǎng)發(fā)散思維、批判性思維等思維品質(zhì)。

近幾年高考數(shù)學(xué)試題中，出現(xiàn)了不少以數(shù)學(xué)建?；顒訛檩d體的題目，分值是17分到22分之間，占總分10%以上。本研究以2022—2024年新課標(biāo)卷6套數(shù)學(xué)試卷中的試題為研究對象，深入分析數(shù)學(xué)建模試題的基本考查特征，分享據(jù)此得出的教學(xué)啟示。

一、數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與研究現(xiàn)狀

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)［2］。建模被視為理解現(xiàn)實世界的一個創(chuàng)造性過程：描繪、控制或者優(yōu)化問題情境的不同方面，解釋結(jié)果，同時修改不完善的模型。

數(shù)學(xué)建模能力是由明確目標(biāo)能力、簡化假設(shè)能力、數(shù)學(xué)化能力、數(shù)學(xué)求解能力、檢驗和解釋能力等若干個數(shù)學(xué)建模子能力構(gòu)成的一種復(fù)雜的數(shù)學(xué)能力。吳長江認(rèn)為數(shù)學(xué)建模能力包括閱讀理解能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)化能力、計算能力和自我監(jiān)控能力等五種數(shù)學(xué)能力［3］。李明振則認(rèn)為數(shù)學(xué)建模能力是指在給定的現(xiàn)實世界中識別問題、變量或者提出假設(shè)，然后將其翻譯成數(shù)學(xué)問題加以解決，進(jìn)而聯(lián)系現(xiàn)實問題解釋和檢驗數(shù)學(xué)問題解答的有效性的能力［4］?？梢园l(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模能力的定義涉及識別、提煉、建模應(yīng)用等思想?；诖?，再結(jié)合高考數(shù)學(xué)建模試題的特點(diǎn)，可將數(shù)學(xué)建模的考查分為三個階段：描述性分析、量化關(guān)系精煉、數(shù)學(xué)模型化。在實際教學(xué)過程中，可以根據(jù)不同階段的特點(diǎn)，研究并采用不同的教學(xué)方法。

二、數(shù)學(xué)建模能力的考查方法與試題分析

近幾年數(shù)學(xué)建模能力在高考中的考查題型多種多樣，有單選題、多選題、填空題以及解答題。選取的素材也是豐富多彩，有噪聲污染問題、“一帶一路”倡議相關(guān)的現(xiàn)實情境，也有數(shù)字幻方等數(shù)學(xué)情境，還有信號傳輸?shù)瓤茖W(xué)情境。下面從描述性分析、量化關(guān)系精煉、數(shù)學(xué)模型化三個方面對近三年的新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析。

（一）描述性分析

描述對象包括外在描述和內(nèi)在描述兩個方面，本研究中的描述主要指外在描述，是指把事物的特性、關(guān)系、知識，以某種形式重新呈現(xiàn)出來。描述性分析是數(shù)學(xué)建模能力考查的基礎(chǔ)階段。美國現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙認(rèn)為，表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來的。在描述性分析階段，可以提供諸如表格、圖形等多種信息，要求學(xué)生正確理解題意，把日常生活中的語言、圖表轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)關(guān)系。

比如2024年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第4題考查了稻田畝產(chǎn)量問題。通過非連續(xù)文本（表格）呈現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)，學(xué)生需要通過理解表格數(shù)據(jù)，分析題中的描述語言，結(jié)合數(shù)字特征中位數(shù)、極差等才能得出結(jié)論。又比如2022年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第19題以2022年全民較為關(guān)注的某流行疾病與年齡的關(guān)系為背景，用頻率直方圖描述100位患者的年齡。學(xué)生通過讀圖、識圖，求出疾病患者的平均年齡。依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中學(xué)業(yè)要求，借鑒南京師范大學(xué)喻平教授對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的劃分，該描述類問題屬于水平一——“能夠熟練地掌握數(shù)和符號之間的關(guān)系，理解一些簡單的數(shù)學(xué)模型，比如函數(shù)、方程、代數(shù)式等，解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題”或者水平二——“在情境中學(xué)會分析問題特征，抽象出數(shù)學(xué)問題并建立數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)、分析并解決一些較復(fù)雜的問題”。

（二）量化關(guān)系精煉

量化關(guān)系精煉就是通過實際的探索，學(xué)生經(jīng)由內(nèi)心體驗、思考辨析，操作實踐，獨(dú)立思考，自我探究，發(fā)揮主觀能動性，尋找數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)家歐拉曾說，數(shù)學(xué)這門學(xué)科，需要觀察，還需要實驗。通過實驗可以忽略次要因素，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵要素，為接下來解決問題提供幫助。量化關(guān)系精煉是數(shù)學(xué)建模能力考查的主要階段，在這個階段教師可以讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展過程，讓他們在實踐中去探究發(fā)現(xiàn)并總結(jié)結(jié)論，通常按照思維從特殊到一般的順序進(jìn)行歸納總結(jié)，也可從具體到抽象進(jìn)行升華。在考查的過程中，可以讓學(xué)生做中學(xué)，體會知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，考查學(xué)生的思維過程和思維方法。

比如2023年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第12題以信號傳輸為情境考查二項分布及其應(yīng)用。該題源于人教A版數(shù)學(xué)教科書必修第二冊第252頁練習(xí)第1題、第253頁練習(xí)第3題、第253頁習(xí)題10.2第4題和第6題，信號傳輸屬于科學(xué)情境。學(xué)生對科學(xué)情境類問題比較陌生。學(xué)生解題的障礙是題目信息量大，題目的文字語言多、科學(xué)術(shù)語多、涉及因素多，學(xué)生無法區(qū)分哪些信息對解題有用。因此，在解答該題時，學(xué)生需從題目中提煉關(guān)鍵信息，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，需透過現(xiàn)象看本質(zhì)，利用概率加法公式及概率乘法公式求概率，把要求概率的事件拆分成兩兩互斥事件，再逐一推證。這樣的設(shè)計使學(xué)生體會統(tǒng)計與概率知識跟科學(xué)緊密相關(guān)，同時也引導(dǎo)學(xué)生去思考與研究數(shù)量之間的關(guān)系。又比如2024年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第8題以函數(shù)和不等式為素材，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境。該題的亮點(diǎn)是融入了斐波那契數(shù)列。以函數(shù)與不等式的形式呈現(xiàn)出數(shù)字背后的規(guī)律——斐波那契數(shù)列。量化關(guān)系精煉的試題大部分屬于數(shù)學(xué)建模水平二的試題。

（三）數(shù)學(xué)模型化

數(shù)學(xué)模型化就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的概念、方法和知識，從真實的問題中，構(gòu)建出一個能夠解決實際問題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用于解決實際問題的一種有效的手段。建模是對現(xiàn)實對象的信息進(jìn)行提煉、分析、歸納、翻譯，最終運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將目標(biāo)的本質(zhì)特性精確地表述出來的過程。數(shù)學(xué)模型化是對數(shù)學(xué)建模能力的一種較高層次的考查，學(xué)生在這一階段需要從實際問題出發(fā)，經(jīng)歷分析問題、探索模型、建立模型、求解模型、檢驗?zāi)Ｐ?、完善模型的整個流程。

比如2024年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第18題以投籃為載體，考查概率、數(shù)學(xué)期望。該題源于人教A版數(shù)學(xué)教科書選擇性必修第三冊第91頁第10題，屬于生活實踐情境試題。這道試題與2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第21題有異曲同工之妙，都涉及分析重復(fù)試驗的實踐關(guān)系，基于事件關(guān)系的概率求解、期望求值等。試題以某投籃比賽為背景，用了大量的篇幅講解比賽規(guī)則。學(xué)生要解決問題，必須先充分理解比賽規(guī)則，對比賽第一階段和第二階段的關(guān)系做出準(zhǔn)確的判斷，緊接著根據(jù)比賽規(guī)則的特征，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具分析甲乙兩隊員的比賽成績，建立關(guān)于數(shù)學(xué)期望的模型。求解模型后，根據(jù)結(jié)果做出誰參加第一階段比賽的決策。根據(jù)喻平教授對數(shù)學(xué)建模水平三的描述，“有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力，能夠綜合利用模型，去研究一些新的問題，設(shè)計新的解題思路，能夠解決一些開放性的復(fù)雜問題”，該題屬于數(shù)學(xué)建模水平三的試題。

三、指向數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的教學(xué)建議

（一）關(guān)注生活素材，注重實踐

波利亞曾說，對學(xué)生而言，非常重要的一點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)那些可以使用數(shù)學(xué)的情境，并嘗試去描述有用的問題。數(shù)學(xué)建模試題的考查目的之一，就是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)和真實世界之間的關(guān)系，建立起科學(xué)的數(shù)學(xué)觀。題目材料與現(xiàn)實生活緊密相關(guān)，更加直接地反映出了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值?？v觀近幾年新課標(biāo)卷中的數(shù)學(xué)建模試題，素材大部分取自現(xiàn)實生活和生產(chǎn)，而且試題涉及描述性分析、量化關(guān)系精煉、數(shù)學(xué)模型化等不同層次，并且凸顯了應(yīng)用性、創(chuàng)造性的考查要求。所以教師在教學(xué)時，需要引導(dǎo)學(xué)生由“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”。例如在教學(xué)函數(shù)時，根據(jù)出租車收費(fèi)的情境改編建模練習(xí)題“假設(shè)出租車司機(jī)小張每年行駛60 000千米，現(xiàn)在他想買一輛新車。請你幫他想一想，他應(yīng)該買一輛混合能源車還是純電動車”。學(xué)生要解決這個問題需要考慮購車價格、燃料和稅收成本、每年大致行駛路程等。教師也可以提問：“出租車司機(jī)應(yīng)該有怎樣的收入？”這個問題開放性非常強(qiáng)，教師可以鼓勵學(xué)生去思考出租車不同的計費(fèi)方式，但不限于從數(shù)學(xué)角度展開思考，還可以讓學(xué)生從社會學(xué)的角度進(jìn)行思考與辯論，比如思考出租車司機(jī)的身份是公司雇員還是個體運(yùn)營者，論述為什么只要司機(jī)是公司雇員且在路上工作，他每小時的付出都該得到報酬，而不僅僅是有客人的時候。在建模過程中，需要考慮一些非數(shù)學(xué)因素，并將其簡化。

數(shù)學(xué)建?；顒硬粦?yīng)局限于課堂，還可以拓展到課堂外，比如采用研學(xué)旅行的方式進(jìn)行。例如組織學(xué)生進(jìn)行“估測稻田產(chǎn)量”的研學(xué)旅行。教師組織學(xué)生去稻田實地考察、測量、記錄，通過抽樣調(diào)查，估測稻田畝產(chǎn)量，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融合勞育、德育等。教師還可以結(jié)合教材中的建模活動組織學(xué)生開展實踐研究。例如開展“茶水口感與溫度”活動時，每名學(xué)生都可以根據(jù)常識提出解決問題的創(chuàng)新思路。學(xué)生組建小組，開展實踐研究，建立多樣化的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，利用模擬軟件進(jìn)行模擬和驗證，在數(shù)學(xué)建?；顒舆^程的頭腦風(fēng)暴中體驗創(chuàng)新帶來的樂趣和成就感。

（二）聚焦試題特點(diǎn)，精準(zhǔn)教學(xué)

高考數(shù)學(xué)建模試題的考查分為三個類型：描述性分析、量化關(guān)系精煉、數(shù)學(xué)模型化。針對不同的類型，教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)不一樣，不能一概而論。

針對描述性分析這類型題目，教學(xué)中，以貼近學(xué)生學(xué)習(xí)與生活實際的案例為抓手，在具體的情境中，引導(dǎo)學(xué)生對諸如百分位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)等相關(guān)概念進(jìn)行描述性的說明；引導(dǎo)學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)膱D表諸如扇形圖、條形圖、頻率直方圖來描述問題，體會圖表在解決生活問題中的作用；引導(dǎo)學(xué)生動手計算樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)字特征，體會樣本數(shù)字特征的含義及意義。此外，注重指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)閱讀。在教學(xué)中，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)問題教授學(xué)生一些讀題、審題的方法，要求學(xué)生讀題時做到不添字、不漏字，用紅筆把題目中的關(guān)鍵字句圈出來，并把題目中的文字表述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。對于圖表信息的解讀，可以以學(xué)生常犯的錯誤為教學(xué)資源，設(shè)置一個學(xué)習(xí)任務(wù)，鼓勵學(xué)生尋找出學(xué)習(xí)任務(wù)中的漏洞或錯誤，進(jìn)而深化學(xué)生對圖表核心信息的理解。

量化關(guān)系精煉的題目是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的良好載體。這類問題有些題干文字比較多，涉及的背景知識也比較豐富，學(xué)生具備一定的分析問題能力和解決問題能力是解答此類題的前提，而學(xué)生分析問題能力往往比較薄弱。如何提升學(xué)生分析問題的能力，這既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)。首先，教師要注重核心概念、主干知識、重要思想方法的教學(xué)，積極通過課本題目、高考真題幫助學(xué)生建構(gòu)良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其次，在運(yùn)用數(shù)學(xué)基本原理、普適性思想解決問題上下功夫，促進(jìn)學(xué)生在深刻理解基礎(chǔ)知識與基本技能、形成結(jié)構(gòu)化知識體系的過程中實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的融會貫通，從而提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。最后，教師要注重選擇自然科學(xué)、人文社會科學(xué)等領(lǐng)域的素材以及現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)文化等作為背景，幫助學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實世界和社會發(fā)展，加強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生產(chǎn)生活中實際問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)模型化的試題較難解答。高考試題中涉及的數(shù)學(xué)模型通常有方程模型、函數(shù)模型、數(shù)列模型、幾何模型、概率模型與統(tǒng)計模型等。雖然由于各種因素的限制，一道題往往不能考查完整的數(shù)學(xué)建模過程，但當(dāng)前高考試題中出現(xiàn)的實際問題，都可以用學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)模型解決。教學(xué)中要以相關(guān)高考試題為背景，在分析與解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟如何恰當(dāng)選擇數(shù)學(xué)模型解決實際問題，特別是如何評價通過模型所得解與實際之間存在的誤差，并在誤差許可范圍內(nèi)解決問題。使學(xué)生在解決實際問題的過程中學(xué)會建構(gòu)知識，逐步提高用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。

（三）教學(xué)整體設(shè)計、分步實施

教師可以結(jié)合高考數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)采用整體設(shè)計、分步實施的方式開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)。教師引導(dǎo)學(xué)生對研究的問題進(jìn)行整體規(guī)劃，以思維導(dǎo)圖的形式把解決問題的步驟呈現(xiàn)出來，然后分步去探究。學(xué)生在探究過程中遇到困難時，教師可以進(jìn)行個別的、靈活的、保持獨(dú)立性的適當(dāng)干預(yù)。只有讓學(xué)生真正經(jīng)歷過一回數(shù)學(xué)建模的過程，他們才能夠逐漸地由類比、模仿向獨(dú)立創(chuàng)造，從部分實現(xiàn)到總體構(gòu)思轉(zhuǎn)變，才能對高考建模試題做到心中有數(shù)，從而提升分析和解決問題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

隨著高考綜合改革持續(xù)推進(jìn)，教師可以以高考新課標(biāo)卷中的試題為方向標(biāo)，建立清晰的數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法體系，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”，在培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的同時，落實立德樹人根本任務(wù)。

參考文獻(xiàn)

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［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］吳長江.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題：建?！卧ゎ}組·典型［M］.上海：上海大學(xué)出版社，2021.

［4］李明振.數(shù)學(xué)建模認(rèn)知研究［M］.南京：江蘇教育出版社，2013.

注：本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2024年度重大課題“素養(yǎng)為本視域下高中數(shù)學(xué)教師課程實施能力模型建構(gòu)與實踐研究”（2021ZJY148）、南寧市“十四五”教育科學(xué)規(guī)劃課題“深度教學(xué)視域下數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計研究”（2022C398）的研究成果。

（責(zé)編 劉小瑗）

作者簡介：梁竹，1985年生，廣西玉林人，碩士研究生，高級教師，主要研究方向為課堂教學(xué)與高考研究。