例談網(wǎng)格里的中考數(shù)學(xué)題

【摘要】近幾年網(wǎng)格類題目屢屢出現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)試卷中，常涉及求線段長度，借助勾股定理結(jié)合網(wǎng)格邊長與坐標(biāo)差值來計(jì)算；求圖形面積，采用分割或拼湊成規(guī)則圖形的方法，依據(jù)網(wǎng)格邊長算出結(jié)果；圖形變換類題目，平移需按指定方向移動(dòng)圖形并找出坐標(biāo)變化規(guī)律，旋轉(zhuǎn)要繞格點(diǎn)按角度操作，軸對(duì)稱則要找出對(duì)稱點(diǎn)并連線畫圖；證明幾何關(guān)系，要依靠網(wǎng)格的平行、垂直等特性，通過算邊長、角度等去證明線段平行、垂直以及判斷三角形的類別等情況.

【關(guān)鍵詞】網(wǎng)格題；初中數(shù)學(xué)；解題方法

網(wǎng)格類題目已經(jīng)成為近幾年各地中考試題中的熱點(diǎn)問題.這類題目主要考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力及動(dòng)手操作能力，培養(yǎng)其探究意識(shí)和創(chuàng)新精神.網(wǎng)格中的數(shù)學(xué)問題的常見題型主要有：①面積、坐標(biāo)、三角函數(shù)等知識(shí)在網(wǎng)格中的應(yīng)用；②使用勾股定理的計(jì)算題在網(wǎng)格中的應(yīng)用；③在網(wǎng)格中運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題；④在網(wǎng)格中進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等操作；⑤網(wǎng)格圖形的操作方案設(shè)計(jì)問題；⑥相似、圓的知識(shí)在網(wǎng)格中的應(yīng)用；⑦各類知識(shí)在網(wǎng)格中的綜合應(yīng)用.在中考試卷中，網(wǎng)格類試題主要有以下幾個(gè)考查方向：

1空間觀念與幾何直觀

考查學(xué)生對(duì)圖形的觀察能力，要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確識(shí)別圖形在網(wǎng)格中的位置、形狀和大小.例如，通過觀察判斷一個(gè)三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形.考查圖形變換，包括平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱.學(xué)生需要根據(jù)題目要求對(duì)圖形進(jìn)行操作，并且能夠想象出變換后的圖形位置和形狀.

例1 （2023·鹽城·二模）鹽城市紡織染整產(chǎn)業(yè)園為國家級(jí)綠色紡織生產(chǎn)基地，現(xiàn)有一塊矩形布料的兩邊長分別是2米與3米，若把這個(gè)矩形布料按照如圖1的方式擴(kuò)大到面積為原來的2倍，設(shè)原矩形布料的一邊加長a米，另一邊長加長b米，可得a與b之間的函數(shù)關(guān)系式b=12a+3－2．某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”對(duì)此函數(shù)進(jìn)一步推廣，得到更一般的函數(shù)y=12x+3－2，現(xiàn)對(duì)這個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行探究，研究過程如下：

（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，請(qǐng)用描點(diǎn)法畫出y=12x+3－2的圖象，并完成如下問題：

①函數(shù)y=12x+3－2的圖象可以由函數(shù)y=12x的圖象向左平移 個(gè)單位，再向下平移 個(gè)單位得到，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為；

②根據(jù)該函數(shù)圖象指出，當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，y≥－1？

（2）若要使面積擴(kuò)大兩倍后的這塊布料周長最小，請(qǐng)你幫助該?！皵?shù)學(xué)興趣小組”設(shè)計(jì)出符合要求的擴(kuò)大方案．

分析（1）用描點(diǎn)法畫出圖象即可．①根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可解答；②先求出y=－1時(shí)，x的取值，然后結(jié)合函數(shù)圖象即可解答．（2）寫出周長的表達(dá)式，并將其中的b用a表示出來，再利用m+n≥2mn（m≥0，n≥0），當(dāng)m=n時(shí)，m+n取最小值，從而求出a和b的值．

詳解略.

答案（1）畫圖略.

① 3，2，（－3，－2）．

② －3lt;x≤9．

（2）當(dāng)a=23－3，b=23－2時(shí)，這塊布料的周長最?。?/p>

點(diǎn)評(píng)本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，涉及平移等圖形變化方面的知識(shí)，熟練運(yùn)用基本幾何圖形的性質(zhì)作圖是解答本題的關(guān)鍵．格點(diǎn)作圖題具有一定難度，在對(duì)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換時(shí)，要能夠想象出圖形在空間中的位置變化，準(zhǔn)確把握?qǐng)D形的形狀、大小和方向.

2計(jì)算能力和邏輯推理能力

長度計(jì)算：利用網(wǎng)格邊長，結(jié)合勾股定理可算出線段長度.例如，已知網(wǎng)格中兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，就能據(jù)此求出兩點(diǎn)間連線的長度.面積計(jì)算：一是直接計(jì)算規(guī)則圖形面積，如矩形、正方形、直角三角形等；二是通過分割或拼接的方法計(jì)算不規(guī)則圖形的面積.

證明幾何關(guān)系，如證明兩條線段平行或垂直.可以利用網(wǎng)格中直線的平行和垂直關(guān)系，通過計(jì)算斜率（在初中可以通過線段所在直角三角形的邊長比例關(guān)系來簡單理解）或角度來進(jìn)行推理.

例2我們知道，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．

（1）如圖3所示，①在邊長為1的方格紙中，線段AB的長度為；

②在圖3中找到一點(diǎn)C，使得△ABC的兩條邊長分別為10，17，則三角形的面積為．

（2）現(xiàn)在有一個(gè)三角形的三條邊長分別為36a2+9b2，25a2+b2，a2+4b2，且滿足agt;0，bgt;0．請(qǐng)利用構(gòu)圖法求這個(gè)三角形的面積（用含a、b的代數(shù)式表示）．

（3）參照上面構(gòu)圖的思想方法，構(gòu)圖求代數(shù)式x2+25+20-x2+100的最小值．

分析（1）運(yùn)用勾股定理求邊長，利用割補(bǔ)法求面積；（2）利用勾股定理作圖，利用割補(bǔ)法求面積；（3）構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理表示AE=25+x2，DE=20－x2+100，再將問題轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關(guān)系求最值，最后再運(yùn)用勾股定理求解即可．

詳解略.

答案（1）①13；②112；（2）92ab;（3）25．

點(diǎn)評(píng)本題考查的是勾股定理，割補(bǔ)法求面積等，解題的關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)利用割補(bǔ)法求三角形面積，熟練掌握尺規(guī)作圖的常見作法并能夠根據(jù)題意正確作圖．考查邏輯推理能力，在證明幾何關(guān)系的題目中，學(xué)生需要利用網(wǎng)格的特性（如平行、垂直等），通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韥碜C明線段平行、垂直，三角形全等、相似等關(guān)系.熟悉網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．

3結(jié)語

綜上，網(wǎng)格數(shù)學(xué)題主要培養(yǎng)學(xué)生以下幾種能力：一是空間觀念，學(xué)生需要在腦海中構(gòu)建和操作圖形.二是幾何直觀能力，網(wǎng)格為幾何圖形提供了直觀的背景.學(xué)生可以直接觀察圖形在網(wǎng)格中的位置、大小，形成對(duì)幾何問題的直觀判斷能力.三是計(jì)算能力.涉及線段長度計(jì)算時(shí)，學(xué)生需要運(yùn)用勾股定理，這要求學(xué)生熟練掌握平方、開方運(yùn)算.對(duì)于圖形面積的計(jì)算，無論是規(guī)則圖形還是不規(guī)則圖形，要能夠靈活運(yùn)用面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算，從而提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和熟練程度.四是數(shù)學(xué)建模能力，解決網(wǎng)格中的不規(guī)則圖形面積等問題時(shí)，學(xué)生需要將實(shí)際的幾何圖形問題簡化為數(shù)學(xué)模型.