例談最短路徑問(wèn)題的幾類情形

【摘要】最短路徑問(wèn)題不僅是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，也是中考的高頻考點(diǎn).由于其變式題型很多，因此學(xué)生在解題時(shí)常常感到吃力.除了考題中經(jīng)常出現(xiàn)的與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的題型，最短路徑問(wèn)題也涉及三角形、平面直角坐標(biāo)系等.為了幫助學(xué)生更加透徹理解該類問(wèn)題，本文對(duì)不同情形下最短路徑問(wèn)題進(jìn)行探討和分析.

【關(guān)鍵詞】最短路徑；初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合

與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最短路徑問(wèn)題的解題關(guān)鍵是作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)“折轉(zhuǎn)直”.但是針對(duì)不含動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，需要根據(jù)不同的情形，利用數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)“折轉(zhuǎn)直”.

1與一條直線有關(guān)的情形（兩點(diǎn)位于直線的同側(cè)或異側(cè)）

如圖1，現(xiàn)A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，請(qǐng)?jiān)趌上求一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小.

分析該類情形是初中最短路徑問(wèn)題中最基本的一種情形，掌握此類情形的解法是解決此類相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ).如圖2，作B點(diǎn)關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接 AB′ 與 l 的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) P.因?yàn)镻B=PB′，兩點(diǎn)之間直線段最短，所以此時(shí)的點(diǎn)P使PA+PB=AB′達(dá)到了最小值.

2與一組平行線有關(guān)的情形

如圖3，A，B兩個(gè)地方在一條河的兩岸，現(xiàn)在要在河上建一座橋CD（假設(shè)河的兩岸是一組平行直線，橋要與河垂直），問(wèn)將橋搭建在什么地方才能使從A到B的路徑最短.

分析該類情形是初中數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題的?？伎键c(diǎn)，學(xué)生經(jīng)常對(duì)于此類情形的解法感知比較模糊，只是知其然而不知其所以然，因此該類題型需要學(xué)生重點(diǎn)掌握.如圖4，只需要將點(diǎn)B向垂直于河岸且靠近河岸的方向，平移一個(gè)河寬的距離到E，連接AE交A側(cè)河岸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD垂直于B側(cè)河岸于點(diǎn)D，則BE平行且等于CD，DB=CE，因此AC+CD+DB=AC+CE+EB=AE+EB.而對(duì)于A側(cè)河岸上任意一異于C的點(diǎn)P，都有AP+PE＞AE，所以橋的位置建在CD處時(shí)，AB兩地的路程最短.

3與三角形有關(guān)的情形

如圖5，△ABC 中每一內(nèi)角都小于 120°，在 △ABC 內(nèi)求一點(diǎn) P，使得 PA + PB + PC 的值最小.

分析此類題型較為復(fù)雜且不常見(jiàn)，是不含動(dòng)點(diǎn)的一類情形，只要利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)作輔助線即可達(dá)到“折轉(zhuǎn)直”的目的.該題中所求的點(diǎn)一般將其稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖6，分別以AB，AC為邊作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE.在PE線段上取一點(diǎn)G使得PG=PC，則有GE=PA.因?yàn)橐字鰾AE≌△DAC（SAS），從而∠AEB=∠ACD，進(jìn)而有∠EPC=∠EAC=60°（兩個(gè)三角形有兩角相等，則第三角必等），GC=PC，∠PCG=60°（頂角為60°的等腰三角形CPG為等邊三角形）.再由∠PCA+∠ACG=60°=∠ECG+∠ACG，知∠PCA=∠ECG，△APC≌△EGC（SAS），所以GE=PA.

綜上可知，PA+PB+PC=GE+PB+PG=BE.

此時(shí)GE，PB，PG在一條直線上，即GE+PB+PG=BE，P點(diǎn)即為所求點(diǎn).

4與坐標(biāo)軸有關(guān)的情形

如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－34x－3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn) B，交直線x=a于點(diǎn) C，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，連接AD 交直線x=a于點(diǎn)E.

（1）求直線AD 的解析式；

（2）試在x軸上找到一點(diǎn)P，使PE+PD的和最小，求出最小值.

分析重點(diǎn)分析第（2）問(wèn)，這是基于平面直角坐標(biāo)系的最短路徑問(wèn)題，是將最短路徑與坐標(biāo)系進(jìn)行結(jié)合來(lái)考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，解題思路同樣是作對(duì)稱點(diǎn)從而實(shí)現(xiàn)“折轉(zhuǎn)直”.該題是以坐標(biāo)軸為背景，因此找到P點(diǎn)的具體位置更方便.解答如下：

由（1）得到，直線AD的解析式為：y=34x+3.

直線CE的解析式為x=a，

所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，34a+3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3）.

因?yàn)辄c(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以連接BE交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE取得最小值為BE，

BE=a2+（34a+3+3）2

=2516a2+9a+36=2516（a+7225）2+57625.

BE所在直線的方程為y=3a+244ax－3，其與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)，即（4aa+8，0）.

由BE的長(zhǎng)度表達(dá)式進(jìn)一步可知，當(dāng)參數(shù)a=－7225時(shí)，BE的最小值為57625=245，即PD+PE的最小值為245.

此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（－7225，2125），BE所在直線的解析式為y=－43x－3.

因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（－94，0）.

5結(jié)語(yǔ)

在遇到不同情形的最短路徑問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)不同情形進(jìn)行不同解答，但是究其根本都是需要利用數(shù)形結(jié)合思想，將不同的情形進(jìn)行轉(zhuǎn)化.很多學(xué)生對(duì)于從復(fù)雜圖形中正確、快速地分離出基本圖形比較吃力，因此本文幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的突破口，同時(shí)為學(xué)生以后專題復(fù)習(xí)提供幫助.其中涉及的轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，一題多解和一題多變思想，將會(huì)大幅地提升學(xué)生的解題能力.借助數(shù)形結(jié)合思想，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與問(wèn)題之間的聯(lián)系，真正做到使“復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化”.

參考文獻(xiàn)：

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