圖象性質(zhì)齊上陣

【摘要】最近幾年的中考試題出現(xiàn)了二次函數(shù)的多項選擇題，解這類題要熟悉二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，善于捕捉圖象中的數(shù)量關(guān)系式．

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；圖象性質(zhì)；初中數(shù)學(xué)

二次函數(shù)中有這樣一類題：無圖象且含參數(shù)的多項選擇題．解這類題，要熟知二次函數(shù)性質(zhì)，學(xué)會根據(jù)題意畫圖象，善于在圖象中捕捉數(shù)量關(guān)系式．以下是利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來破解二次函數(shù)多選題的一些關(guān)鍵要點．

1二次函數(shù)的圖象性質(zhì)

1.1二次函數(shù)的一般式為y=ax2+bx+c（a≠0）

a決定開口方向：當(dāng)agt;0時，拋物線開口向上；當(dāng)alt;0時，拋物線開口向下．

影響開口大?。簗a|越大，開口越?。?/p>

對稱軸：對稱軸公式為x =－b2a．

頂點坐標：把x =－b2a代入函數(shù)可求得頂點縱坐標y =4ac－b24a，所以頂點坐標為（－b2a，4ac－b24a）．

1.2分析多選題的常見考點及方法

（1）函數(shù)圖象的大致形狀

看開口方向：根據(jù)a的正負判斷開口向上還是向下，可排除不符合的選項．

觀察開口大小：若給出幾個二次函數(shù)，通過比較|a|的大小來確定開口大小關(guān)系是否正確．

（2）對稱軸位置

先根據(jù)公式算出對稱軸x =－b2a．

然后看選項中關(guān)于對稱軸位置的描述，比如在y軸左側(cè)（即－b2alt;0，也就是a、b同號時），在y軸右側(cè)（－b2agt;0，即a、b異號時）等是否正確．

（3）頂點坐標

準確計算出頂點坐標（－b2a，4ac－b24a）．

核對選項中給出的頂點坐標數(shù)值是否與計算結(jié)果相符，包括橫坐標和縱坐標都要檢查．

（4）函數(shù)的增減性

當(dāng)agt;0時，在對稱軸左側(cè)（xlt;－b2a）函數(shù)單調(diào)遞減，在對稱軸右側(cè)（xgt;－b2a）函數(shù)單調(diào)遞增．

當(dāng)alt;0時，在對稱軸左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，在對稱軸右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減．

依據(jù)這些性質(zhì)來判斷選項中關(guān)于函數(shù)在某區(qū)間上增減性的描述是否正確．

（5）與坐標軸的交點

與y軸交點：令x = 0，則y = c，所以與y軸交點坐標為（0，c），檢查選項中此交點坐標是否正確．

與x軸交點：令y = 0，即求解方程ax2+bx+c= 0，其判別式△=b2－4ac．

當(dāng)△gt;0時，函數(shù)與x軸有兩個不同交點；

當(dāng)△= 0時，函數(shù)與x軸有一個交點（頂點在x軸上）；

當(dāng)△lt;0時，函數(shù)與x軸無交點．根據(jù)△的值以及求出的具體交點（若有）來判斷選項相關(guān)內(nèi)容正誤．

2二次函數(shù)多選題

例1（2024·江蘇連云港·中考）已知拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，alt;0）的頂點為（1，2）．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①abclt;0；②當(dāng)xgt;1時，y隨x的增大而減小；③若ax2+bx+c=0的一個根為3，則a=－12；④拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（）

（A）①②．（B）②③．

（C）③④． （D）②④．

分析根據(jù)拋物線的頂點公式可得－b2a=1，結(jié)合alt;0，a+b+c=2，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．

詳解略.答案選（B）.

點睛本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，拋物線的“三要素（開口方向、對稱軸和頂點）”與系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；判定二次函數(shù)的增減性一看二次項系數(shù)的正、負；二看對稱軸的左、右兩側(cè)，“減參”法和分類思想蘊含其中．用a表示b、c的值是本題的關(guān)鍵．

例2（2024·四川宜賓·中考）如圖，拋物線y=ax2+bx+calt;0的圖象交x軸于點A－3，0、B1，0，交y軸于點C．以下結(jié)論：①a+b+c=0；②a+3b+2clt;0；③當(dāng)以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，c=7；④當(dāng)c=3時，在△AOC內(nèi)有一動點P，若OP=2，則CP+23AP的最小值為973．其中正確結(jié)論有（）

（A）1個．（B）2個．（C）3個．（D）4個．

分析根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點B1，0，當(dāng)x=1時，y=a+b+c=0，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸公式求出b=2a，c=－3a，則a+3b+2c=a+6a－6a=a，拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為x=－1，則AC≠BC，求出AB=4，OC=c，再分當(dāng)AC=AB=4時， 當(dāng)BC=AB=4時，兩種情況，求出對應(yīng)的c的值即可判斷③；當(dāng)點P在線段CH上時，CP+PH的值最小，即此時CP+23AP的值最小，最小值為線段CH的長，利用勾股定理求出CH即可判斷④．

詳解略．①②④正確，正確的有3個，選（C）．

點睛本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例3（2024·山東煙臺·中考）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

下列結(jié)論：①abcgt;0；②關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)－4lt;xlt;1時，y的取值范圍為0lt;ylt;5；④若點m，y1，－m－2，y2均在二次函數(shù)圖象上，則y1=y2；⑤滿足ax2+b+1x+clt;2的x的取值范圍是xlt;－2或xgt;3．其中正確結(jié)論的序號為．

分析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出a、b、c的值即可判斷①；利用根的判別式即可判斷②；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷③；利用對稱性可判斷④；畫出函數(shù)圖形可判斷⑤；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

詳解略．答案為①②④．

點睛此題將二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與拋物線上點的坐標特征、一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系式融合一起．作函數(shù)的圖象，利用三個二次的相互轉(zhuǎn)化解題.

3結(jié)語

總之，破解二次函數(shù)多選題要熟練掌握二次函數(shù)的各項圖象特征和性質(zhì)，仔細分析每個選項所涉及的內(nèi)容，通過準確計算和對比來確定正確答案．