通過問題探究提升數(shù)學素養(yǎng)

【摘要】本文以一道中考幾何題目為例，借助一系列遞進式的問題，引導學生構建等腰三角形和直角三角形的知識框架.通過這種探究式學習，旨在提升學生的系統(tǒng)思維能力，并加深對數(shù)學核心素養(yǎng)的理解.

【關鍵詞】三角形；初中數(shù)學；解題教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出立足發(fā)展學生核心素養(yǎng)的課程目標，這就要求教師對課程內容進行結構化整合，并通過對教學內容的全面分析，幫助學生利用數(shù)學思維推導出結論，構建數(shù)學邏輯體系.本文以2024年深圳中考適應性考試的一道題目為案例，探討如何通過問題驅動的分層設問方式，幫助學生突破解題難點.

1試題呈現(xiàn)

（2024年深圳中考適應性考試第15題）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°，對角線AC與BD相交于點E，若BE=3DE，則BD=.

2試題分析

這是一道中等難度的幾何題，基本圖形結構來源于教材.題目圍繞等邊三角形、直角三角形和線段比值展開，題干簡潔，圖形結構清晰，但內涵豐富，緊密聯(lián)系教材內容.題目旨在考查學生對這些幾何圖形結構的識別、構造和應用能力，同時融入幾何直觀、模型觀念、運算能力、推理能力和創(chuàng)新意識等數(shù)學核心素養(yǎng).

3教學實施

本節(jié)課安排在中考復習階段三角形單元的復習課中.本節(jié)課的目標是深入研究這道題目，通過探究三角形的相關性質和判定方法，旨在豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，提高他們的數(shù)學思維和問題解決能力.本題涵蓋等邊三角形的三線合一性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半性質、相似三角形的線段比和直角三角形的勾股定理等知識點，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力、發(fā)展核心素養(yǎng)的典型題目.

3.1聚焦核心概念

問題1等邊三角形的性質和判定方法分別有哪些？等腰三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，求證：△ABC是等邊三角形.

問題2直角三角形關于邊的性質與判定定理有哪些？直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AC=6，斜邊上的中線等于多少？

問題3如圖2，△BGE∽△BFD，若BE=3DE，BG=33，你能求出哪些線段的長？

教學說明在解答問題1時，教師將引導學生回顧等邊三角形的定義和判定定理，讓學生從角和邊的數(shù)量關系出發(fā)，獨立完成證明.對于問題2，教師將引導學生復習直角三角形關于邊的性質與判定定理，鼓勵學生聯(lián)想到勾股定理及其逆定理、直角三角形斜邊上的中線的性質、特殊角的直角三角形三邊的數(shù)量關系、三角函數(shù)等知識點.對于問題3，教師將引導學生思考全等三角形是相似三角形的特殊情況，即相似比為1∶1的情況，并讓學生思考為什么全等三角形一定要存在邊相等的判定條件.通過這種方式，學生可以更深入地理解相似三角形與全等三角形之間的關系，并掌握如何運用這些概念來解決問題.

3.2搭建知識結構

問題4等腰三角形與直角三角形有哪些聯(lián)系？

問題5如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=90°.你能從這個圖形中獲取哪些信息？

教學說明對于問題4，在探討等腰三角形與直角三角形的聯(lián)系時，教師應強調三角形的基本元素——邊和角，以及特殊線段如高線、中線、角平分線和線段垂直平分線.教學中，教師應指導學生通過圖形分析、比較、組合和拼接來理解兩種三角形之間的聯(lián)系.例如，直角三角形斜邊上的中線可以形成兩個等腰三角形，而等腰三角形底邊上的中線可以構造出兩個全等的直角三角形.設置關聯(lián)性的問題有利于學生形成等腰三角形與直角三角形的知識網(wǎng)絡，這將幫助他們在解決問題時快速提取相關知識，靈活選擇解題策略，從而提高解題能力.對于問題5，連接AC后，可以得到兩個三角形，分別為等邊三角形和直角三角形，公共邊為AC，在教學過程中，

教師應指導學生識別圖形中的關鍵點，如AC的中點，這些點是解題的關鍵.教師應強調分析和比較圖形的基本元素，如邊、角、中線等，以找到圖形的關鍵點.教師在設計題目時，也應考慮如何巧妙地設置關鍵點，以提升題目的思考深度.

3.3探究圖形變換

問題6在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=60°，平面內有一動點D，且∠ADC=90°，則BD的取值范圍是.（求解可參照圖4）

問題7如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°，對角線AC與BD相交于點E，若BE=nDE，求BD的長（用含有n的式子）表示.（求解可參照圖5）

教學說明在前面的問題探究中，總結了等腰三角形與直角三角形的基本元素和它們之間的聯(lián)系，這為學生提供了一種分析和解決問題的框架.當學生面對原試題時，更有利于學生識別關鍵點和尋找突破口，通過結合基本模型，學生可以完成輔助線的作圖，從而發(fā)展他們的推理能力.

教師在教學中應引導學生實現(xiàn)從靜態(tài)圖形向動態(tài)圖形的思維轉變.盡管三角形ADC是動態(tài)變化的，但斜邊AC的長度始終不變.因此，點D的運動與AC的中點密切相關，這有助于我們確定點D的運動軌跡是一個圓.進一步地，利用三角形的三邊關系，我們可以確定BD的取值范圍.

此外，教師應鼓勵學生將固定的線段比用字母來進行表示，重新建構圖形間的關系，并在求解過程中進行有序的探索和研究.這種方法不僅加深了學生對等邊三角形和直角三角形性質與判定的理解，而且鍛煉了他們的分析和推理能力.通過這些活動，學生能夠構建起知識結構，總結解題方法，并在實踐中形成等腰三角形與直角三角形的知識網(wǎng)絡，提高解題能力.

4教學啟示

本節(jié)課通過7個問題系統(tǒng)地探討了等腰三角形、直角三角形和相似三角形的性質與判定方法，深入分析了等腰三角形與直角三角形的聯(lián)系.通過圖形解構與重組，引導學生構建知識體系，提升數(shù)學思維與核心素養(yǎng).

在問題6～7的深入探究中，學生能夠自主應用先前學習的數(shù)學思想和方法來解決問題，這使得他們對圖形的理解更加深入.遞進式問題設計符合大單元教學脈絡，適應學生認知和思維發(fā)展.

根據(jù)新課程標準，教學應著重于通過圖形變化來提升學生的幾何直觀感知.在教學過程中，要確保學生有足夠的時間進行思考、理解和吸收知識，這對于他們積累學習經(jīng)驗、增強問題解決能力以及提升思維品質至關重要.

邏輯推理是解決問題的基本技能，它要求學生從已知事實出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導出新的結論.這種能的養(yǎng)成不僅關系到解題的精確性，還需要深入理解事物之間的聯(lián)系，以便指導解題過程.波利亞的觀點“掌握數(shù)學即善于解題”強調了解題能力的重要性，但如何培養(yǎng)解題能力是一個挑戰(zhàn).在數(shù)學學習中，發(fā)現(xiàn)和提出問題是基本活動，教師需要引導學生根據(jù)題目條件探索可能的解題思路.結合新課標提出的核心素養(yǎng)要求，教師在教學中應選擇素養(yǎng)立意高的題目，并深度剖析題目，設計合理的探究路徑，發(fā)展學生的推理能力，培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思維，促進核心素養(yǎng)的落地.

單元整體教學強調系統(tǒng)思維，即從全面的角度來思考和研究問題.這種思維方式有助于學生將零散的知識點結構化.以等腰三角形和直角三角形的基本元素為例，學生可重新組合這些元素來構建新圖形.通過這樣的數(shù)學活動，學生能夠建立起知識結構體系，實現(xiàn)知識的連貫性和深度整合，最終形成全面的知識體系和思維模式，進而促進核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和實現(xiàn).

參考文獻：

[1]章飛，顧繼玲.單元教學的核心思想與基本路徑[J].數(shù)學通報，2019，58（10）：23-28.