中點(diǎn)四邊形模型及其應(yīng)用

【摘要】本文系統(tǒng)闡述中點(diǎn)四邊形模型的定義及其性質(zhì)，深入探究不同類(lèi)型原四邊形對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)四邊形的特征，并結(jié)合實(shí)例剖析其在解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】中點(diǎn)四邊形；初中數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

中點(diǎn)四邊形模型作為初中平面幾何的經(jīng)典模型，在解決平面幾何問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用.這一模型巧妙融合了三角形中位線定理與四邊形的性質(zhì)等眾多關(guān)鍵知識(shí)，是鍛煉學(xué)生邏輯推理能力和空間想象能力的優(yōu)質(zhì)素材.深入研究中點(diǎn)四邊形模型，可以幫助學(xué)生洞察幾何圖形內(nèi)在規(guī)律，提高解題效率.本文系統(tǒng)介紹中點(diǎn)四邊形模型的性質(zhì)及其在解題中的應(yīng)用.

1中點(diǎn)四邊形模型及其性質(zhì)

定義順次連接任意四邊形四條邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形，稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形.如圖1，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形.

性質(zhì)1如圖1，已知四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為連E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH為平行四邊形.

證法1如圖2，連接AC.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為邊AB，BC中點(diǎn)，所以EF為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可知EF∥AC且EF=12AC.類(lèi)似地，因?yàn)镚，H分別為CD，AD中點(diǎn)，所以GH為△ACD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可知GH∥AC且GH=12AC.因此，EF∥GH且EF=GH，所以四邊形EFGH為平行四邊形.

證法2如圖3，連接BD.因?yàn)镋，H分別為AB，AD中點(diǎn)，所以EH為△ABD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可知EH∥BD且EH=12BD.類(lèi)似地，因?yàn)镕，G分別為BC，CD中點(diǎn)，所以FG為△BCD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可知FG∥BD且FG=12BD.因此，EH∥FG且EH=FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形.

評(píng)注證法1和證法2的思路類(lèi)似，都是通過(guò)連接四邊形ABCD的對(duì)角線構(gòu)造出兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形有一條公共邊，再利用三角形中位線定理證明四邊形EFGH有一組對(duì)邊與四邊形ABCD的對(duì)角線平行且該組對(duì)邊相等，從而證明四邊形EFGH為平行四邊形.兩種證法的區(qū)別在于所連接的四邊形ABCD的對(duì)角線不同.

性質(zhì)2如圖4，已知四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH為矩形.

證明根據(jù)性質(zhì)1的證法1可知EF∥AC，根據(jù)性質(zhì)1的證法2可知EH∥BD，又根據(jù)條件可知AC⊥BD，所以EF⊥EH.又由性質(zhì)1可知四邊形EFGH為平行四邊形，所以四邊形EFGH為矩形.

性質(zhì)3如圖5，已知四邊形ABCD的對(duì)角線相等，邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH為菱形.

證明根據(jù)性質(zhì)1的證法1可知EF=12AC，根據(jù)性質(zhì)1的證法2可知EH=12BD，又根據(jù)條件可知AC=BD，所以EF=EH.又由性質(zhì)1可知四邊形EFGH為平行四邊形，所以四邊形EFGH為菱形.

性質(zhì)4如圖6，已知四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直且相等，邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH為正方形.

證明因?yàn)榭芍狝C⊥BD，根據(jù)性質(zhì)2可知四邊形EFGH為矩形.又因?yàn)锳C=BD，根據(jù)性質(zhì)3可知四邊形EFGH為菱形. 所以四邊形EFGH為正方形.

評(píng)注由于矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，于是可在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)臈l件，可使得中點(diǎn)四邊形成為特殊的平行四邊形.

2中點(diǎn)四邊形模型的應(yīng)用

例1如圖7，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn).若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積為.

解析因?yàn)锳C⊥BD，根據(jù)性質(zhì)2及其證明可知四邊形EFGH為矩形，且EF=12BD=3，EH=12AC=4，所以四邊形EFGH的面積為EF·EH=12.

例2如圖8，在四邊形ABCD中，AC=BD=5，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接EG，HF，相交于點(diǎn)O，則EG2+FH2的值為.

解析因?yàn)锳C=BD，根據(jù)性質(zhì)3及其證明可知四邊形EFGH為菱形，且EF=12AC=52，所以EG⊥FH，點(diǎn)O為EG，F(xiàn)H的中點(diǎn)，所以△OEF為直角三角形.因此EG2+FH2=2OE2+2OF2=4OE2+OF2=4EF2=25.

3結(jié)語(yǔ)

中點(diǎn)四邊形模型是一種特殊的幾何模型，該模型以任意四邊形四條邊的中點(diǎn)為基礎(chǔ)構(gòu)建，形成的新圖形為平行四邊形，通過(guò)增加幾何條件可形成特殊的平行四邊形，如矩形、菱形、正方形等.在日常教學(xué)中，要合理引導(dǎo)學(xué)生理解中點(diǎn)四邊形模型的構(gòu)建過(guò)程、性質(zhì)特征以及應(yīng)用方法，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、總結(jié)歸納，不斷提升學(xué)生的幾何素養(yǎng)和解題能力.

參考文獻(xiàn)：

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